TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
1
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
HỌC TỐT PHẦN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác
tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lòng cơng thức thì học sinh rất dễ nhầm
lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều có ít nhất một câu giải phương
trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ.
Theo tơi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những cơng việc sau:
1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các cơng thức lượng giác.
2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác
hay rút gọn một biểu thức lượng giác.
3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng
cơng thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.
4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.
Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài cách nhớ cơng thức lượng giác và một
số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tơi nhận thấy cơng thức lượng giác học
sinh thường khơng nhớ và đa số học sinh rất e ngại phương trình lượng giác có điều kiện.
Vì vậy để giúp các em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác trong các kỳ thi tôi
mạnh dạn viết đề tài này.

x
sin
cos
4/ tanx . cotx = 1
5/ 1 + tan
2
x

=
x
2
cos
1
6/ 1 + cot
2
x =
x
2
sin
1

K
H
α
M
O
B'
B
A'
A

Π
+ x) = - cosx
sin (
2
Π
- x) = cosx sin (
Π
+ x) = - sinx
tan(
2
Π
- x) = co tx
cot (
2
Π
- x) = tanx
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
3
Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc
α
, giáo viên lưu ý
tọa độ điểm ngọn cung M là (x;y) và sin
α
= y,
cos
α
= x, tan
α
=
( 0)

một đẳng thức lượng giác.
cos( - x) = cosx
sin (
Π
- x) = sinx
tan (
Π
+ x) = tanx
cot (
Π
+ x) = cotx
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Hai cung hơn kém nhau
2
Π
là x và
2
Π
+ x
cos(
2
Π
+ x) = - sinx tan(
2
Π
+ x) = - co tx
cot(

+
−
( cơng thức tan ( a
±
b) và cot( a
±
b) học sinh tự chứng minh)
cot ( a – b) =
ab
ab
cotcot
1cot.cot
−
+

4/CÔNG THỨC NHÂN: ( phần này các em tự chứng minh , xem như bài tập)
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a cos3a = 4 cos
3
a – 3cosa
sin 2a = 2 sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin
3
a

a
a
2cos1
2cos1
+
−
6/CÔNG THỨC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan
2
a
sina =
2
1
2
t
t
+
, cosa =
2
2
1
1
t
t
+
−
, tan a =
2
1
2
t

[ ]
baba −++ coscos
2
1
sina.sinb =
( ) ( )
[ ]
baba −−+− coscos
2
1
sina.cosb =
( ) ( )
[ ]
baba −++ sinsin
2
1

BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2
2
cos
2
cos
baba −+

cosa - cosb = - 2
2
sin
2
sin

6
k k Z
π
π
+ ∈
2/ x =
( )
6
k k Z
π
π
+ ∈
3/ x =
( )
6 2
k
k Z
π π
+ ∈
Giải:
Phương pháp: Vì k
∈
Z nên ta lần lượt chọn các giá trị k = 0,1,2, sau đó biểu diễn ngọn cung trên
đường tròn lượng giác đến khi ngọn cung vừa biểu diễn trùng với ngọn cung đầu tiên thì ta dừng laị , đếm
số ngọn cung đã biểu diễn trên đường tròn lượng giác và kết luận.
1/ Khi k = 0 thì x =
6
π

⇒

π
)
O
x
y
CÁCH NHỚ : tang mình cộng với tang ta
Bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình
CÁCH NHƠ : Ù 1/ Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin
2/ cos nhân cos bằng
2
1
của cos cộng cos
Sin nhân sin bằng trừ
2
1
của cos trừ cos
Sin nhân cos bằng
2
1
của sin cộng sin
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2/ Khi k = 0 thì x =
6
π

⇒
ngọn cung của x nằm ở M (

3/ Khi k = 0 thì x =
6
π

⇒
ngọn cung của x nằm ở M (
6
π
)
Khi k = 1 thì x =
6 2
π π
+
⇒
ngọn cung của x nằm ở P
Khi k = 2 thì x =
6
π
π
+
⇒
ngọn cung của x nằm ở N
(N là điểm đối xứng của M qua O)
Khi k = 3 thì x =
3
6 2
π π
+
⇒
ngọn cung của x nằm ở Q

Z) thì x có n ngọn cung nằm ở đỉnh đa giác đều n cạnh nội tiếp
trong đường tròn lượng giác.
III/ BÀI TOÁN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG
Phương pháp: Để viết được cung x ta càn nhớ phần tổng quát ở bài toán tìm ngọn cung khi biết cung ,
do đó ta nhóm những ngọn cung nào tạo thành một đa giác nội tiếp trong đường tròn lượng giác lại và
viết thành một cung, còn các ngọn cung khác nếu không gom lại được thì ta viết riêng
Ví dụ : Cho cung x có các ngon cung nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ .Hãy tìm cung x ?
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
6
A
M()
N
P Q
A
/
y
x
O
y
O
x
N
M()
O
x
N
M()
P
Q
Hình 1

2
2
hx
kx
β
α
với
Π±=
βα
thì ta ghi x =
Π+
l
α
( k , h , l
Z∈
)
2/ Nếu






Π
+=
Π
+=
)2(
2
)1(

)2(
2
)1(
2
n
hx
m
kx
β
α
với m ngọn cung của (1) là tập hợp con của n ngọn cung của (2)
thì ta ghi x =
2h
m
β
Π
+
(k , h,n , m
Z∈
)
IV/ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số :
1/ Khi hai vế phương trình có những thừa số giống nhau và có chứa x thì ta phải chuyển
về một vế và đưa về phương trình tích .
Gi ả i : sinx ( 2 cosx -1 ) = cos
2
x.sinx
⇔
sinx ( cos
2

( , )
6 3
k
x
k h Z
h
x
π
π π

=

∈


= +


TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

⇔
2
sin 0
cos 2cos 1 0
x
x x
=


− + =

π
=
( k
Z∈
)
2/ Nếu các góc trong phương trình có dạng u , 2u , thì ta thường dùng công thức nhân
đôi hoặc công thức hạ bậc nâng cung để đưa về phương trình chỉ theo một góc
Gi ả i : sin 2x = 2 cos
2
x
⇔
2 sinx cosx - 2 cos
2
x = 0
⇔
2cosx ( sinx – cosx ) = 0

⇔
cos 0
sin cos 0
x
x x
=


− =

⇔
cos 0
sin( ) 0

4
x k
x h
π
π
π
π

= +



= +


( k,h
Z∈
)
hoặc sin 2x = 2 cos
2
x
⇔
sin2x = 1 + cos2x
⇔
sin2x – cos2x = 1
Gi ả i : cos
4
x

- sin

x h
π π
π
π

= +

=

⇔ ∈


=


= +


3/ Nếu trong phương trình có chứa cos
2
x , sin
2
x thì ta dùng công thức hạ bậc nâng cung
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
8
Ví dụ2 : Giải phương trình : sin 2x = 2 cos
2
x
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin
2

⇔
cos2x + cos4x = cos6x + cos8x

⇔
2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx

⇔
cosx ( cos7x – cos3x) = 0⇔
cos 0
cos7 cos3
x
x x
=


=


⇔
2
7 3 2
7 3 2
x k
x x h
x x h
π
π


=



=



⇔
2
5
h
x
h
x
π
π

=



=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
2
5
h

cos
2
x
x
=



= −

⇔
2
2
3
k
x
x h
π
π
π

=



= ± +


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
2
⇔
cos6x = cos2x
⇔
6 2 2
6 2 2
x x k
x x k
π
π
= +


= − +
⇔
2
4
4
k
x
k
x
k
x
π
π

( )
( )
2
cos x cosx 1
4) 2 1 sinx
sinx + cosx
−
= +
5)
2
cos2x 1
cot x 1 sin x sin 2x
1 tan x 2
− = + −
+
6)
2 2
cos 3x.cos2x cos x 0− =

7)
( ) ( )
2cos x 1 2sin x cosx sin 2x sinx− + = −
8/ sin
3
x + cos
3
x = sinx – cos x
9/ 9 – 13 cosx = -
x
2

x = 1
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số
1/ Có thể đặt ẩn phụ t = tan
2
x

2
2 2
2 1
sin , cos
1 1
t t
x x
t t
−
⇒ = =
+ +
( hoặc t = tanx
2
2 2
2 1
sin 2 , cos2
1 1
t t
x x
t t
−
⇒ = =
+ +
)

cos2
1
t
x
t
−
⇒ =
+
Khi đó phương trình (1) trở thành : 6t
2
= 2 (
2
2
1
1
t
t
−
+
) + 1
⇔
6t
4
+ 7t
2
– 3 = 0

⇔

2

1
tan tan
6
3
x
x
π
π

= =



 
= − = −
 ÷

 


⇔
6
6
x h
x h
π
π
π
π


⇔
( tanx + cotx ) + ( tan
2
x+ cot
2
x ) +( tan
3
x+ cot
3
x ) = 6
Đặt t = tanx + cotx =
2
sin 2x
, vì
sin 2 1x ≤
nên
2
2
2
t
t
t
≥

≥ ⇔

≤ −

⇒
tan

2
sin 2x
= 2
⇔
sn2x = 1
⇔
x =
4
h
π
π
+
( h
Z∈
) ( thỏa đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x =
4
h
π
π
+
( h
Z∈
)
3/ Phương trình có chứa đồng thời
( ) ( )
sin cos , sin .cos
m n
x x x x±
thì ta đặt t = sinx

+
) . Điều kiện : t
[ 2; 2]∈ −
⇒
sin
3
x

+ cos
3
x

= ( sinx + cosx)
3
– 3sinxcosx( sinx + cosx) = t
3
– 3t (
2
1
2
t −
)
Khi đó phương trình (1) trở thành: t
3
– 3t (
2
1
2
t −
) = 2t – 1

) =
1
sin
4
2
π
=

⇔
2
2
2
x k
x k
π
π
π
=



= − +


Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
2
2
2
x k
x k

π
≠
( k
Z∈
)
Đặt t = tanx – cotx
⇒
tan
2
x + cot
2
x = t
2
+ 2
Khi đó phương trình (1) trở thành:
3
( t
2
+ 2) + 2 (
3
- 1)t – 4 - 2
3
= 0 ⇔
3
t
2
+ 2 (


= − − =

= − + =



⇔
x h
x h
α π
β π
= +


= +

( k, h
Z∈
)( thỏa đk)
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
12
Ví duï 4:Giải phương trình:
3
(tan
2
x + cot
2
x ) + 2 (
3

−
=
2
3

⇔
cot2x = -
1
3
= cot ( -
3
π
)

⇔
2x = -
3
π
+ l
π
⇔
x = -
6 2
l
π π
+
( l
Z∈
)( thỏa đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

+

5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 6/
4 4
3
cos x sin x cos x .sin 3x 0
4 4 2
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
7/
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
 
+ + =
 ÷
 
8/
( )
6 6
2 cos x sin x sin x cos x
0
2 2sin x
+ −
=
−
9/ 2 + cosx = 2tan

2
2
2
1
2 tan 2 0
cos
m
m x m
x
−
− − + =
có đúng ba nghiệm thuộc ( -
;
2
π
π
)
C/ Tìm m để phương trình : cos
2
x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0; 2
π
]
D/ Tìm m để phương trình : tan
4
x + ( 2m – 1)tan
3
x + ( m
2
– 2m) tan
2

b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( -
;
2 2
π π
)
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
13
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
G/ Cho phương trình : sin
3
x – cos
3
x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 :
π
]
H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = - 1
b/Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm :
Khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao của hai
tập hợp T
1
, T
2
, vấn đề đặt ra là làm sao một học sinh trung bình có thể tìm T
1
∩
T



⇔
2
cos3 0
cos3 1
cos 3 1
x
x
x
≥

⇔ =

=


VT (1) = 2( 1 + 2sin
2
2x)
≥
2 vì sin
2
2x
≥
0
Đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
1 + 2sin
2

/
x
O
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2 2
cos3 2 cos 3 2(1 sin 2 )x x x+ − = +
(1)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Ta có (*)
⇔

2
3
2
k
x
l
x
π
π

=




=




, :
3 2
k l
k l Z
π π
∃ ∈ =4
3 3
k k
l k⇔ = = +
( nên rút theo vì hệ số đi với 1 nhỏ hơn)
Do
, 3
3 3
k k
l k Z Z m Z k m∈ ⇒ ∈ ⇔ = ∈ ⇔ =

Thay vào tập nghiệm đầu tiên của hệ ta có nghiệm của phương trình (1) là
Giải:
Ta có: (1)
⇔
(sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin
2
4x + cos
2
4x) + cos4x = 0
⇔
sin5x + cos4x = 2 (2)

/
P()
B
B
/
x
O
N()
Q()
y
Ví dụ 6: Giải phương trình:
sin 4 (cos 2sin 4 ) cos4 (1 sin 2cos4 ) 0x x x x x x− + + − =
(1)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Ta có (*)
⇔
10 5
2
k
x
l
x
π π
π

= +





π π π
∃ ∈ + =
1
4 5 1
4
l
k l k l
−
⇔ = − ⇔ = +

Do
1 1
, 4 1
4 4
l l
l k Z Z m Z l m
− −
∈ ⇒ ∈ ⇔ = ∈ ⇔ = +
Từ đó thay vào tập nghiệm thứ 2 nghiệm của phương trình là:
2
2
x m
π
π
= +

Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị các vế. Mỗi nhận xét cho ta cách giải
riêng. Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn hơn.
Cách 1: Biến tích thành tổng
Ta có: (1)

, :
40 10 24 6
k l
k l Z
π π π π
∃ ∈ + = − +

5 2 2( 1)
1
3 3
l l
k
− −
⇔ = = +
Do
1 1
, 3 1
3 3
l l
l k Z Z m Z l m
− −
∈ ⇒ ∈ ⇔ = ∈ ⇔ = +

NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
16
Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x = 1 (1)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Thay vào tập nghiệm thứ 2 của hệ phương trình. nghiệm của phương trình (1) là:
8 2
m

x
x
 =
= ±


⇔ ⇔
 
= ±
=




Mặt khác do: sin4x.cos16x = 1 > 0 nên sin4x và cos16x cùng dấu
Do đó
sin 4 1 sin 4 1
cos16 1 cos16 1
x x
x x
= = −
 
∨
 
= = −
 
(2)
Từ (1) (2) nhưng nếu (2) thỏa thì (1) cũng thỏa. Vậy (1) (2)
a/
sin 4 1


Biểu diễn các điểm ngọn cung của hai phương trình
trên đường tròn lượng giác. Có 4 điểm ngọn cung trùng
nhau là M,N,P,Q.
Vậy nghiệm của hệ (a) là:
8 2
m
x
π π
= +
Cách 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định:
Hệ có nghiệm chung nếu :
, : 4 1
8 2 8
k l
k l Z l k
π π π
∃ ∈ + = ⇔ = +

Thay vào tập nghiệm phương trình thứ 2 của hệ, nghiệm phương trình đã cho là:

(4 1)
8 8 2
k
x k
π π π
= + = +

NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
17


⇔
 
= −


= +


Hệ có nghiệm chung nếu :
, : 2 8 3
8 2 16 8
k l
k l Z l k
π π π π
∃ ∈ − + = + ⇔ = −
Vô lí vì VT chẵn, VP lẻ
Hệ (b) vô nghiệm
Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là
8 2
m
x
π π
= +

b/ Việc chọn nghiệm phương trình được nảy sinh do giải phương trình lượng giác chứa tang,
cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu:
Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại này là:
− Đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa.
− Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay không?


≠ +



Với điều kiện (1)
tan5 (1 tan 2 .tan3 ) tan 2 tan3x x x x x+ = −
(2)
Nhận xét:
1 + tan2x.tan3x
≠
0 vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0
⇒
tan2x = tan3x (VT=0 VP=0)

2
1 tan 2 0x⇒ + =
vô lý
Vậy (2)
tan 2 tan3
tan5 tan( )
1 tan 2 .tan3
x x
x x
x x
−
= = −
+

5

k
π
= ( 2m + 1)
6
π
⇔
k = 2m + 1 là số nguyên lẻ
Vậy điều kiện (b) thỏa nếu k = 2n , khi đó nghiệm pt là x =
3
n
π
c/ Điều kiện (c) bị vi phạm nếu
,n h Z∃ ∈
:
3
n
π
= ( 2h + 1)
10
π
⇔
10n = 6h + 3 ( vô lý vì n, h
∈
Z)
Vậy x =
3
n
π
thỏa điều kiện (c) .Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là : x =
3


⇔
x =
2
l
π
Điều kiện (a) bị vi phạm nếu
,k l Z∃ ∈
sao cho
10 5 2
k l
π π π
+ =

⇔
k = 2l +
1
2
l −
Vì k,l là số nguyên nên
1
2
l −
= m là số nguyên
⇔
l = 2m + 1
Suy ra điều kiện (a) không bị vi phạm nếu l = 2n
⇒
nghiệm x = n
π

tan5 tan3x x=
, với
3 1x − ≤
(1)
Ví dụ 10: Giải phương trình:
( )
2
cot 1
cos4 .cot 2 cos
2cot
x
x x x
x
−
− =
(1)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Điều kiện :
cos 0
sin 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
x x x l
x
π
≠


≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

⇔
sin4x = cosx = sin (
2
x
π
−
)

⇔
2
10 5
2
6 3
k
x
k
x
π π
π π

= +



= +


a/ Nghiệm
2
10 5

= +
là nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 1
của (1) với k
≠
5m + 1
b/ Nghiệm
2
6 3
k
x
π π
= +
vi phạm điều kiện nếu :
2
6 3 2
k l
π π π
+ =
⇔
1 + 4k = 3l
⇔
l = k +
1
3
k +
Do k,l
∈
Z nên
1
3



= + ≠ −


( k,m,n
∈
Z )
c/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh do biến đổi phương trình ban đầu về phương trình hệ
quả
Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tích các cos mà góc sau gâp đôi góc trước nên ta thường
nhân hai vế của (1) cho sin góc nhỏ nhất.
Giải:
a/ Xét sinx = 0
⇔
x = l
π
không thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx
≠
0
⇔
x
≠
l
π
.Nhân hai vế của (1) cho sinx :
(1)
⇔
sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x =

1
8
sin8xcos8x =
1
16
sinx
⇔
sin16x = sinx
⇔
2
15
2
17 17
k
x
k
x
π
π π

=



= +


(2)
Ta phải loại bỏ các nghiệm x = l
π

k
π
là nghiệm của phương trình (1) với k
≠
15m
b/ Nghiệm x =
2
17 17
k
π π
+
= l
π

⇔
k = 8l +
1
2
l −
Do k,l
∈
Z nên
1
2
l −
= n
∈
Z
⇔
l = 2n + 1 , suy ra k = 17n + 8

= + ≠ +


Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tổng các cos mà các góc tạo thành một câp số cộng với
công sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin
2
d
Giải:
a/ Xét sinx = 0
⇔
x = n
π
không thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx
≠
0
⇔
x
≠
n
π
.Nhân hai vế của (1) cho sinx , ta có :
(1)
⇔
sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = -
1
2
sinx

⇔

∈
Z sao cho :
11
k
π
= n
π

⇔
k = 11.n
Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x =
11
k
π
với k
≠
11.n ( k, n
∈
Z)
M Ộ T S Ố ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN
Giải các phương trình : 1/ cos2x + cos
3
4
x = 2 ĐHTM 97 ĐS : x = 8n
π
2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0 ĐS : ptvn
3/ sinx( cos
4
x
- 2sinx) + cosx( 1 + sin

2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π

= +



= +


9/ tan2x.tan7x = 1 ĐS : x =
( )
5 9
18 9
k
k t
π π
+ ≠ − −
C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Bộ đề thi Đại Học của Bộ Giáo Dục
2/ Các đề thi Đại Học những năm vừa qua

hảo hơn.

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
24
NĂM HỌC MÔN TOÁN ĐIỂM TỪ 5 – 10 ĐIỂM TỪ 8-10 HỌC SINH GIỎI KHEN THƯỞNG
3 KHỐI SL % SL % TOÁN
2006-2007 182 104 57,1 18 17,3 2 Bằng khenUBND TỈNH
2007-2008 217 198 91,2 21 9,6 Giấy khen SỞ GD-BP
2008-2009 192 178 92,7 20 10,4 4 CSTĐCS- SỞ GD-BP
2009=2010 202 191 94,5 24 11,8 6 CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________

____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
NĂM HỌC 2010-2011 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
25