Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-1
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
 Tín hiệu tuần hoàn   Chuỗi Fourier
 Tín hiệu không tuần hoàn   Biến đổi Fourier
 Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T
1
x(t)
-T
1
T
1
1
0
t
0
ω
0
k
ω
ω
k
a

(t) là dãy xung chữ nhật thì chuỗi Fourier của nó được biểu
diễn thành
0
0
0
0 0
1
( ) ( )
1
( )
2
jk
T
k
jk
k
x t X jk e
T
X jk e
ω
ω
ω
ω ω
π
∞
=−∞
∞
=−∞
=
=

∫
∫
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-3
Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn
 Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không
 Biến đổi Fourier là
Chú ý, các giá trị là thực
1
T
π
x(t)
-T
1
T
1
1
0
t
 Nguyên lý bất định
Heisenberg
Khoảng thời gian
tồn tại tín hiệu tỷ lệ
nghịch với băng
thông
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-4
Định nghĩa phép biến đổi Fourier
 Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau
thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích
 Ký hiệu cặp biến đổi Fourier
 Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến

Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-8
Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị
 Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau
 Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω
 Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-9
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-10
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
 Với mọi t, x(t+T) = x(t)
 Tín hiệu tuần hoàn được biểu
diễn bằng chuỗi Fourier
 a
k
tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên
lần tần số cơ bản 1/T
 Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier
tồn tại
 Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung
trong pbđ Fourier
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-11
 Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số

1
4
T T
π
( )
X j
ω
0 1
1
0 1 0
0 1
0
sin( )
4
( ) ( ) 2 ( )
k
k
k T
T
X j T k
T k T
ω
π
ω δ ω ω δ ω ω
ω
∞
=−∞
≠
= − −
∑

∫
với mọi k
 Do đó biến đổi Fourier của x(t) là
0 0
( ) ( )
k
X j k
ω ω δ ω ω
∞
=−∞
= −
∑
……
t
0 T 2T
-T
-2T
x(t)
1
……
( )
X j
ω
ω
0
ω
0
ω
−
0

 sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần
theo hàm 1/x
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-17
Bảng biến đổi Fourier
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-18
Bảng biến đổi Fourier
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-19
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến
đổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
5-20
• Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
• Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
• Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
• Biến đổi Fourier ngược
Tính chất tuyến tính
 Nếu
và
thì
 Chứng minh từ định nghĩa của biến đổi Fourier (vì toán tử tích phân
là tuyến tính)
 Được mở rộng cho tổ hợp của một số bất kỳ các tín hiệu
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-21
Tính chất dịch thời gian
 Nếu
thì
 Chứng minh
Thay thế t bởi t – t

x(t) hẹp hơn
↔
phổ rộng hơn
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-24
Đạo hàm và tích phân
 Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp
 Do đó
 Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép
nhân trong miền tần số
 Tương tự với tích phân
Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC)
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-25