Lãi suất hiệu dụng của
kỳ thứ n

i
nk
= i

Trong đó : t 0
i : lãi suất
k : vốn gốc

Riêng đối với hàm tích luỹ và lợi tức thu được của lỳ n, ta có bảng sau :
Giá trị tích luỹ đến
cuối kỳ t
Tổng lợi tức đạt được đến
cuối kỳ t
t = 1 A(t)
đ
= A(t)
k
I
tđ
=I
tk

t < 1 A(t)
đ
> A(t)

2. 9 tháng.
3. 5 năm.
Giải :
k = 200.000.000 đồng.
i = 9%/năm.
Ta có bảng sau:
Thời gian
đầu tư
Giá trị tích luỹ đạt được theo lãi
đơn
A(t)
đ
= k(1+ i.t)
Giá trị tích luỹ đạt được theo lãi
kép
A(t)
k
= k(1+ i)
t

t = 1 năm
A(t)
đ
= 200(1+9%) = 218
triệu
I
tđ
= 18
triệu
A(t)

triệu
t = 5 năm A(t)
đ
= 200(1+5.9%) = 290
triệu
I
tđ
= 90
triệu
A(t)
k
= 200(1+9%)
5
= 307,725
triệu
I
tk
= 107,725
triệu
Ghi chú :
Trong một số trường hợp, hàm tích luỹ kết hợp cả hai tình huống : đối với
phần nguyên của t, ta sử dụng hàm tích luỹ của lãi kép, và phần lẻ của t, ta sử
dụng hàm tích luỹ vốn của lãi đơn.
a(t) = (1+i)[t].[1+(t – [t]).i] (12)

A(t) = k.a(t) (13)
Trong đó : [t] là phần nguyên của t.

Tiết 4, 5, 6


Giả sử ta mong muốn đạt được giá trị tích luỹ là 1VND sau một kỳ đầu tư
với lãi suất là i. Khoản vốn phải bỏ ra đầu tư ban đầu sẽ là :

Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau t kỳ, vốn gốc đầu tư ban đầu phải là :
(14)
Trong đó : a(t) là hàm vốn hoá
a(t)
-1
là hàm hiện tại hoá
Vốn gốc đầu tư ban đầu để đạt giá trị tích luỹ là k sau k kỳ là :

A(t)
-1
gọi là giá trị hiện tại của A(t).
Như vậy :
Nếu dùng phương pháp lãi đơn : (15)

Nếu dùng phương pháp lãi kép : (16)
Ví dụ:
Một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền theo lãi kép với lãi suất
7,8%/năm. Sau 3 năm 9 tháng thu được 50 triệu đồng. Tính giá trị của số tiền
gửi ban đầu.
Giải:
i = 7,8%/năm.
t = 3 năm 9 tháng = 3,75.
A(t) = 50.000.000 đồng. 1.5. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng (effective rate of discount)
1.5.1. Lãi suất chiết khấu hiệu dụng

A(n - 2) = (1 – d
n-1
).A(n - 1) = (1 – d
n-1
).(1 – d
n
).A(n)
…
A(0) = (1 – d
1
)…(1 – d
n-1
).(1 – d
n
).A(n)
Từ công thức này, ta có thể tính vốn gốc A(0) hoặc giá trị tích luỹ A(n)
theo lãi suất chiết khấu hiệu dụng.
1.5.2. Mối quan hệ giữa lãi suất hiệu dụng và lãi suất chiết khấu hiệu dụng
của 1 kỳ
Giả sử ta cho vay 1VND với lãi suất chiết khấu hiệu dụng là d trong một
kỳ. Như vậy, ta sẽ đưa cho người vay một khoản tiền là (1 – d) VND và nhận
được 1 VND vào cuối kỳ. Khoản lãi người vay phải trả là d VND, vốn gốc cho
vay ban đầu là 1 – d. Do đó, lãi suất hiệu dụng tương ứng với lãi suất chiết khấu
hiệu dụng sẽ là:
(20)
Ta cũng sẽ có:
(21)
Ví dụ:
1. a. Nếu lãi suất chiết khấu hiệu dụng là 7%, lãi suất hiệu dụng
tương ứng:

kép.
1.5.3. Chiết khấu đơn
Đối với chiết khấu đơn, ta sẽ giả thiết là các khoản tiền chiết khấu của mỗi
kỳ đều bằng nhau và bằng d. Như vậy, vốn gốc ban đầu phải là (1 – dt) VND để
đạt được giá trị tích luỹ là 1 VND sau t kỳ . Ta sẽ có:
a(t)-1 = (1 – d.t) với 0 t < d
-1
(22)
với 0 t < d
-1

với 0 t < d
-1
(23)
i : lãi suất đơn tương ứng.
d : lãi suất chiết khấu hiệu dụng đơn
1.5.4. Chiết khấu kép
Đối với chiết khấu kép, ta giả thiết lãi suất chiết khấu hiệu dụng của các
kỳ không đổi là d. Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau 1 kỳ, vốn gốc ban đầu là (1 –
d) VND. Để có giá trị tích luỹ là 1VND sau 2 kỳ, giá trị tích luỹ đến cuối kỳ thứ
nhất phải là (1 – d) VND. Và để có giá trị tích luỹ là (1 – d) VND ở cuối kỳ 1, vốn
gốc đầu kỳ 1 phải là (1 – d).(1 – d) = (1 – d)². Như vậy, muốn đạt giá trị tích luỹ là
1 VND sau 2 kỳ, vốn gốc ban đầu là (1 - d)². Tương tự, muốn đạt giá trị tích luỹ
là 1 VND sau t kỳ, vốn gốc ban đầu là (1 - d)
t
.
Ta có:
a(t)-1 = (1 - d)t với 0 t (24)
= (1 - d)
t

được vốn hoá vào cuối mỗi kỳ nhỏ m.
Ký hiệu i
(m)
có nghĩa là lãi suất danh nghĩa trong đó lợi tức được vốn hoá
m lần trong 1 kỳ.
Ví dụ :
Nếu lãi suất i
(12)
= 9%, lợi tức sẽ được vốn hoá 12 lần/năm, một tháng một
lần và lãi suất sử dụng cho mỗi tháng sẽ là : . Nếu một khoản vốn
gốc ban đầu là 10.000.000 được đầu tư với lãi suất danh nghĩa là 9%, vốn hoá
hàng tháng, nghĩa là i
(12)
= 9%. Giá trị tích luỹ của khoản vốn này vào cuối năm
thứ 1 sẽ là :

Lúc này, lãi suất hiệu dụng là sẽ là :

Một cách tổng quát, lãi suất hiệu dụng i tương đương với lãi suất i
(m)
sẽ
xác định được từ giá trị tích luỹ sau một kỳ từ khoản vốn ban đầu là 1VND theo
lãi suất i và i
(m)
.
(26)
Từ phương trình này ta có thể tính được lãi suất hiệu dụng i tương đương
với lãi suất danh nghĩa i
(m)
và ngược lại :