C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
Chuyên đề 1: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số
nguyên.
II. TÍNH CHẤT:
1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể
có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn.
3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n
∈
N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số
chính phương nào có dạng 3n + 2 (n
∈
N).
5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là số chính phương.
4
+ y
4
= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2
V ì x, y, z
∈
Z nên x
2
∈
Z, 5xy
∈
Z, 5y
2
∈
Z
⇒
x
2
+ 5xy + 5y
2
∈
N nên n
2
+ 3n + 1
∈
N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính
phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4
1
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
=
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒
S =
4
1
.1.2.3.4 -
4
1
.0.1.2.3 +
9
110 −
n
. 10
n
+ 8.
9
110 −
n
+ 1
=
9
9810.810.410.4
2
+−+−
nnn
=
9
110.410.4
2
++
nn
=
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
2
2
2
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7
2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8
Kết quả: A =
+
3
210
n
; B =
+ 99…9.10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ ( 10
n-2
– 1 ) . 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ 10
2n
– 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 225.10
2n
– 90.10
n
+ 9
= ( 15.10
n
++
nn
=
+
3
210
n
là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không
thể là một số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n
∈
N , n ≥2 ).
Ta có ( n-2)
2
+ (n-1)
2
+ n
2
+ ( n+1)
2
+ ( n+2)
3
+2n
2
= n
2
.( n
4
– n
2
+ 2n +2 ) = n
2
.[ n
2
(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
3
2
2 2
2
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
= n
2
[ (n+1)(n
3
– n
2
+ 2) ] = n
2
(n+1).[ (n
3
+1) – (n
⇒
n
2
– 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số
hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính
phương đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng
chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là
1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5
2
là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a
2
có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số
tận cùng của a là 4 hoặc 6
⇒
a
2
⇒
a
2
4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36,
56, 76, 96
Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t
∈
N) do đó a
2
+ b
2
không thể là
số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1
không thể là các số chính phương.
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p
2 và p không chia hết cho 4 (1)
a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m
2
(m
∈
N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ
⇒
m
2
lẻ
⇒
m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k
∈
N). Ta có m
2
= 4k
3
⇒
2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k
∈
N)
⇒
2N-1 không là số chính phương.
b.
2N = 2.1.3.5.7…2007
Vì N lẻ
⇒
N không chia hết cho 2 và 2N
2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1
⇒
2N không là số chính phương.
c.
2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1
2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
⇒
2N+1 không là số chính phương.
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 1 2007 chữ số 0
Chứng minh
1+ab
là số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11…1 =
3
210
2008
1+ab
=
+
3
210
2008
=
3
210
2008
+
Ta thấy 10
2008
+ 2 = 100…02
3 nên
3
210
c. 13n + 3 d. n
2
+ n + 1589
Giải
a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)
⇒
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2
⇔
k
2
– (n+1)
2
= 11
⇔
(k+n+1)(k-n-1) = 11
5
2
2
⇔
(2n + 3)
2
- 4a
2
= 9
⇔
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên
ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1
⇔
2n + 3 + 2a = 9
⇔
n = 1
2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y
2
( y
∈
N)
⇒
13(n – 1) = y
2
– 16
⇔
13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
±
8k + 1 (Với k
∈
N) thì 13n + 3 là số chính phương.
d.
Đặt n
2
+ n + 1589 = m
2
(m
∈
N)
⇒
(4n
2
+ 1)
2
+ 6355 = 4m
2
⇔
(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể
viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a. a
2
+ a + 43
b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c. n
2
+ 4n + 97
d. 2
n
+ 15
Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n
2
là số chính phương.
Giả sử 2006 + n
2
là số chính phương thì 2006 + n
2
= m
2
(m
∈
N)
Từ đó suy ra m
2
– n
2
= 2006
⇔
(m + n)(m - n) = 2006
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
⇒
2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính
phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng
trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
7
2
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số
chính phương thì n là bội số của 24.
Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k
2
, 2n+1 = m
2
(k, m
∈
N)
Ta có m là số lẻ
⇒
m = 2a+1
⇒
m
2
= 4a (a+1) + 1
⇒
n =
2
1
Ta có k
2
+ m
2
= 3n + 2
≡
2 (mod3)
Mặt khác k
2
chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m
2
chia cho 3 dư 0 hoặc 1.
Nên để k
2
+ m
2
≡
2 (mod3) thì k
2
≡
1 (mod3)
m
2
≡
1 (mod3)
⇒
m
2
= a
2
(a
∈
N) thì
2
n
= a
2
– 48
2
= (a+48)(a-48)
2
p
.2
q
= (a+48)(a-48) Với p, q
∈
N ; p+q = n và p > q
⇒
a+48 = 2
p
⇒
2
p
– 2
q
= 96
A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k
2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m
2
với k, m
∈
N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d
∈
N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
⇒
Ta có A = abcd = k
2
B = abcd + 1111 = m
2
⇒
m
2
– k
2
= 1111
⇔
(m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
8
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
k+10 = 101
⇒
k = 91
⇒
abcd = 91
2
= 8281
Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ
số cuối giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n
2
với a, b
∈
N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n
2
= aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb
11
⇒
a + b
11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18
⇒
a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n
2
= 11
abcd chính phương
⇒
d
∈
{ 0,1,4,5,6,9}
d nguyên tố
⇒
d = 5
Đặt abcd = k
2
< 10000
⇒
32 ≤ k < 100
k là một số có hai chữ số mà k
2
có tận cùng bằng 5
⇒
k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương
⇒
k = 45
9
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
⇒
abcd = 2025
Vậy số phải tìm là 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và
viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b
∈
a + b = 11
Khi đó ab
- ba = 3
2
. 11
2
. (a - b)
Để ab
- ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1
hoặc a - b = 4
• Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11
⇒
a = 6, b = 5, ab = 65
Khi đó 65
2
– 56
2
= 1089 = 33
2
• Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11
⇒
a = 7,5 ( loại )
Vậy số phải tìm là 65
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta
cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng
các chữ số của nó.
⇒
a + b = 10 không là số chính phương
⇒
loại
Vậy số cần tìm là ab = 27
Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống
nhau.
Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n
∈
N)
10
2 2
2 2
2 2
2
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
Ta có A= ( 2n-1 )
2
+ ( 2n+1)
2
+ ( 2n+3 )
2
= 12n
2
+ 12n + 11
Theo đề bài ta đặt 12n
2
+ 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9
⇒
⇔
10a + b = a
2
– ab + b
2
= ( a + b )
2
– 3ab
⇔
3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 )
a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó
a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a
a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b
⇒
a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7
Vậy ab = 48 hoặc ab = 37.
Chuyên đề 2
A_ĐỒNG DƯ THỨC
1_Định nghĩa:
Cho là số nguyên dương. Hai số nguyên và được gọi là đồng dư với nhau theo
module m nếu hiệu
Ký hiệu được gọi là một đồng dư thức.
Nếu không chia hết cho , ta viết
2_Các ví dụ:
11
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
Điều kiện nghĩa là a
Phép chia hai vế đồng dư thức đòi hỏi phải kèm thêm một số điều kiện
Tính chất 6 Ta có thể chia hai vế của một đồng dư thức cho ước chung của chúng,
nếu ước này nguyên tố với modun m
Tính chất 7 Ta có thể nhân hai vế và modun của đồng dư thức với một số nguyên
dương
, với c>0
Ta có thể chia hai vế và modun của một đồng dư thức cho ước chung dương của
chúng
Nếu d là ước chung dương của a,b và m thì
với d>0
Tính chất 8 (from sách )
Đa thức với các hệ số nguyên và nếu có
thì
Chuyên đề 3
13
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
!"#$%
&!'!(#!')!" !#
(*%+(",-
!"#
%
%
$
"
&
"
./+0+,
4?3>33@A>!7
B
./01
C!D
!"#.
14
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
3xy
2
– 12xy + 12x = 3x(y
2
– 4y + 4) = 3x(y – 2)
2
%
%
= 3xy(x
2
– 2y – y
2
– 2ay – a
O
Q
Q
ORO
!
!
OR
J>2PI4?!<LMSF0F1?O
!
!
#2!FO
!
T
!
J>2QIFHO
!
HT
!
H<!LM;3+3!'3
!"#D'
Hướng dẫn
OEPOQUO*VQ-*VU-OPWO*VP-*VW-OEEPO*VE-*VEP-
"!<LMSF0FOXOPW*O
!
ULMK!I
15
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
'
'
$
(
-4QA(
ULMK!!I
'
%
%(
(-4U*PLMQLM-
'
)+,-.#/0
1*234565
Lời giải
'
!"#F'$
"
Lời giải
4E7'$
""$
"""
= (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x
2
+ 12x + 4) – 9 = (3x + 2)
2
– 3
2
= (3x – 1)(3x + 5)
>
?
@! ! AB/
?
=52C7
!
!!
!
!
!
!
!
Lời giải
N-K9WX21#D/02YFYFF* '
&Z'
,#I523#FUV,,#IK)+,F9
4E7'
4P7'
)+JKD.F,3LT7
lZkEC'_*H-SZLMF0i_*H-$!ZHOE<_*H-
$HVE
R65=F
"
,"&.K#I523#
CZ,#IK)<97
'
lZkPC'_*H-SZLM"m<FGnF0SZLM"
m<FGo_*H-$!ZHOVE<_*H-$HTE
R65=F
"
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
lZkUC'* LMN7-!Zp 3
k q#*3k-OE3>2
i
k>2(>"
!"#U'
"
Hướng dẫn
R90C"KYFY")D;2E<* O X[5K523#C
'>9/a 'X[5,523#5 .b@O F* K523#C
FUV,,#IK)<97
'
%
""
"
!1V2!6W1X231415
1K*:<;%*Y-J*@ Z+O+O +<[
!"#$
4Q7
4P7
$1K*:<;%*Y-J*@ Z+O
!"#.
"
Lời giải
4P).#/0
7
"
"
c
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
5
- x
4
– x
2
- x + 1)
Y>6IRU=5
#
9
F
"
Q
!"#F7
i
%
%
Lời giải
4Ej2Tk&)/2EU902U=57
20
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
Ze
?
B \V,7
i
%
!V
^
_`a19b
!"#S7
%
Lời giải
)/02Y8YX[5K523#CFX[5,523#5 .
S5X[5,523#lm>9/
?
D.<9WB
<T2,U=5
U
U
UU
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
!
!!
Lời giải
Thay x bởi y thì P = y
2
(y – z) + y
2
( z – y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x – y).
)* E s2 F s2!F !s2B<X[5h2,1V
/J/_5L\V,Ef+O BS5+O !F!
Aa ,U=5X !!
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z, còn
tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi
x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta
được:
&X DX
Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
!9e!72f
^
c
d
c
d
(
j
(
!"#$7
22
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
!
!
!
Lời giải
d
cd
Ze
?
F !F!B
ZfV,U=57
)uVXELT,7
b
2
– (a
2
+ b
2
– c
2
)
2
3. 2ab
2
– a
2
b – b
3
23. a
4
+ b
4
+ c
4
– 2a
2
b
2
– 2b
2
c
2
6
– a
4
+ 2a
3
+ 2a
2
6. x
3
– x
2
– x + 1 26. (a + b)
3
– (a – b)
3
7. x
4
+ x
3
+ x
2
- 1 27. X
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – y
3
8. x
2
y
– z
3
12. a
2
+ 2ab + b
2
– 2a – 2b + 1 31. (b – c)
3
+ (c – a)
3
+ (a – b)
3
23
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
13. a
2
– b
2
– 4a + 4b 32. x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
14. a
3
– b
3
– 3a + 3b 33. (x + y)
2
– 3x + 1
17. x
3
– 4x
2
+ 4x - 1
18. 4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
– 1)
2
19. (xy + 4)
2
– (2x + 2y)
2
20. (a
2
+ b
2
+ ab)
2
– a
3. a
2
– 5a - 14 25. 4x
4
– 12x
2
+ 1
4. 2m
2
+ 10m + 8 26. x
2
+ 8x + 7
5. 4p
2
– 36p + 56 27. x
2
– 13x + 36
6. x
3
– 5x
2
– 14x 28. x
2
+ 3x – 18
7. a
4
+ a
2
+ 1 29. x
2
13. x
2
– 5x – 14 35. x
2
– 10x + 16
14. 4 x
2
– 3x – 1 36. 3x
2
– 14x + 11
15. 3 x
2
– 7x + 4 37. 5x
2
+ 8x – 13
16. 2 x
2
– 7x + 3 38. x
2
+ 19x + 60
17. 6x
3
– 17x
2
+ 14x – 3 39. x
4
+ 4x
2
- 5
18. 4x
2
+ 5xy + 12y
2
22. 2x
4
+ 5x
3
+ 13x
2
+ 25x + 15 44. x
3
+ 4x
2
– 31x - 70
24
C¸c Chuyªn ®Ò BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI to¸ N L ỚP 8 ( hay)
+=(i
1. x
4
+ x
2
+ 1 17. x
5
- x
4
- 1
2. x
4
– 3x
2
4
+ 4 21. m
3
– 6m
2
+ 11m - 6
6. x
4
y
4
+ 64 22. x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1
7. 4 x
4
y
4
+ 1 23. x
3
+ 4x
2
– 29x + 24
8. 32x
4
+ 1 24. x
10
– x
4
– x
3
– x
2
– x - 2
11. x
8
+ x + 1 27. x
8
+ x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
12. x
8
+ x
7
+ 1 28. x
9
– x
7
– x
6
– x
5
5
+ x + 1
16. x
5
+ x
4
+ 1
+=.i
! !!
"
&
"!" !!
!
!
!
!
Copyright: Tài liệu đại học ©