TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 NĂM 2013
TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN – KHỐI A, A1 (180 phút)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
21
1
x
y
x



.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()C
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với
()C
cách điểm
(0;1)A

một khoảng bằng 2.
Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình
(1 cos )cot cos2 sin sin2x x x x x   

Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình



ABCD
có mặt phẳng
()ABC
vuông góc với mặt phẳng
()BCD
, tam giác
BCD
vuông ở
D
. Biết rằng
15AB a
,
33BC a
,
6AC a
; góc giữa hai mặt phẳng
()ACD
và
()BCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD
và khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
()ACD
theo
a

thuộc
d
kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với
()C
tại
B
và
C
. Tìm tọa độ điểm
A
biết rằng diện tích tam giác
ABC
bằng 8.
Câu VIII.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho các điểm
( 1;0;1)A 
,
( 1;3;2)B 
,
(1;3;1)C
. Tìm điểm
D
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
( ): 0P x y z  
và
( ): 1 0Q y z  
sao
cho thể tích khối tứ diện
ABCD

(1;2)M
và tiếp xúc với
2

.
Câu VIII.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ): 2 5 0P x y z   
và
các điểm
(3; 1; 3)A 
,
(5;1;1)B
. Tìm điểm
C
thuộc
()P
sao cho mặt phẳng
()ABC
vuông góc với
()P

và diện tích tam giác
ABC
bằng
3
.
Câu IX.b (1,0 điểm) Tìm số phức
z

0
0
21
;
1
x
Mx
x





,
0
1x 
là tiếp điểm. Theo đề bài ta có
2MA 

Hay
22
0
2 2 2
00
0 0 0 0 0 0
0
00
0
2 1 2
1 4 4 ( 2)( 4 6) 0

0
2x 
, phương trình tiếp tuyến là
(2)( 2) (2)y y x y

  
hay
11
33
yx

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là
31yx
và
11
33
yx
(0,50 điểm)
Câu II (1,0 điểm) Điều kiện:
sin 0 ,x x k k

   

Khi đó phương trình đã cho tương đương với
cos
(1 cos ) cos2 sin 2sin cos
sin
x
x x x x x
x

xk

  







           






Vậy phương trình có nghiệm
42
xk


,
2
2
xk



,

( 1) 3( 1) 2 2 6 2 2 2 0x y x x x y y        

22
22
2 3 2 ( 2) 0 3 2 1 0
22
yy
x y x y
xx
          

(0,50 điểm)
Từ đây ta có
2
1
2
y
x


hay
2
2yx

Thay vào (1) ta có
2 2 2
( 2) 3 0 ( 1)( 3) 0 1 3x x x x x x x y             

Vậy nghiệm của hệ là
1, 3xy  

ln(1 )
1
1
dt
ut
du
t
dt
dv
v
t
t
















Khi đó
1

AB AC BC
nên
0
90BAC 
(1)
Kẻ
AH BC
tại
H
, vì (1) nên
H
thuộc đoạn
BC
. Vì
( ) ( )ABC BCD
nên
()AH BCD

Kẻ
HK CD
tại
K 
đường xiên
AK CD
, từ giả thiết suy ra
0
60AKH 

Sử dụng định lý cosin trong tam giác
ABC

32CD BC BD a  

23
1 9 2 1 3 6

2 2 3 2
BCD ABCD BCD
aa
S BD DC V AH S     
(0,50 điểm)
Kẻ
HH AK


tại
H

. Vì
()CD AHK
nên
()CD HH HH ACD

  

Từ công thức đường cao của tam giác uông
3
2
a
AHK HH


V
d B ACD
S

(0,50 điểm)
Câu VI (1,0 điểm) Từ giả thiết ta có
22
1
22xy x y
xy
  

Đặt
0xy t
ta được
2 3 2
1
2 2 2 (2 1) 0t t t t t
t
       

1
( 1)( 1)(2 1) 0 ( 1)(2 1) 0 1
2
t t t t t t           

Với
,0xy
và
1xy 

(2) (0,50 điểm)
Xét hàm số
43
()
1 1 2
ft
tt


trên
1
;1
2




Ta có
2
2 2 2 2
4 6 5 2 1 1
( ) 2. 0, ;1
(1 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) 2

tt
f t t
t t t t
  



Vậy giá trị lớn nhất của
P
là
7
6
, đạt được khi
1
2
xy
(0,50 điểm)
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VII.a (1,0 điểm)
()C
có tâm
(1;2)I
,
5R 
.
( ; 2)A d A a a   

Từ tính chất tiếp tuyến
IA BC
tại
H
là trung điểm
BC

Giả sử
,IA m IH n

2 4 2
( 1)( 14 125) 0 1, 5n n n n m       

Suy ra
22
1 (1; 3)
5 ( 1) ( 4) 25
4 ( 4;2)
aA
IA a a
aA


        

  

(0,50 điểm)
Câu VIII.a (1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra tọa độ
D
thỏa mãn hệ
0
10
x y z
yz
  

V AB AC AD t
t




     





Suy ra
( 11;6;5)D 
hoặc
(25; 12; 13)D 
(0,50 điểm)
Câu IX.a (1,0 điểm)
Đặt
z a bi
(
,ab
)
Từ giả thiết ta có
2
2
1 ( 1) ( 1 )a bi a b i b ai        

2
2

ba
bb
ba
   


    

    


Suy ra
12zi
hoặc
11
22
zi  
(0,50 điểm)
Với
12zi
ta có
44
1 2 1 2 1 2 5
1 2 2
z i i i i
zi
          


Với


I
thuộc đường thẳng
1
d 
tại
M

Phương trình
: 3 0 ( ;3 )d x y I a a    
,
12R IM a  
(0,50 điểm)
()C
tiếp xúc với
2

nên
 
2
3 ( 3;6), 4 2
6 22
, 1 2
2
52
(2;1), 2
a I R
a
d I R a
a

QP
n AB n

  


Suy ra
( ): 5 0Q x y z   

Từ giả thuyết suy ra
C
thuộc giao tuyến của
()Q
và
()P

Suy ra tọa độ
C
thỏa mãn
50
2 5 0
x y z
x y z
   


   

(0,50 điểm)
Đặt


(0,50 điểm)
Câu IX.b (1,0 điểm)
Ta có
 
22
1 1 1 3 1
1 3 (1 3) cos sin
4 2 3 3
1 3 (1 3) (1 3) (1 3)
i i i
ii
i

    
   
        
   

     
   


Đặt
(cos sin )z r i


,
0r 


(0,50 điểm)
Từ giả thiết của bài toán ta có
3
33
22
rr
i r ri i   

2
2
2 2 2 2
2
3
3( 1) ( 1) 4( 1)
2
22
2
3
r
rr
r r r r





         


