SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC
TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC
Người thực hiện: Phạm Hữu Danh
Lĩnh vực nghiên cứu: Toán Học.
Năm học: 2011-2012
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: PHẠM HỮU DANH
2. Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0904470753
6. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân.
- Năm nhận bằng: 2008
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học.
Số năm có kinh nghiệm: 4.
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1
“Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết chia hết, đồng dư”.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
2

Trong $1, tác giả trình bày những kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc giải các
bài tập về sau. Trong phần này, các Phép thế lượng giác phổ biến sẽ được đề cập đến.
$2 nói về Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản
như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
3
$3 đề cập đến Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác
xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra
một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác.
Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả
chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những
kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Chuyên đề này đã được áp dụng trong việc giảng dạy cho học sinh khối 10. Hiện
nay tài liệu về phép thế lượng giác không nhiều nên đây có thể là cẩm nang để các em
tra cứu khi cần thiết, qua đó phát triển thêm tư duy toán học của mình.
Nội dung này được truyền đạt tới học sinh trong khoảng 16 tiết. Các bài tập
được trình bày chi tiết trong tiến trình lên lớp và một số bài luyện tập để học sinh
nghiên cứu ở nhà.
Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh đã có một cái nhìn vững
chắc hơn về những những ứng dụng của lượng giác. Các em đã thay đổi cách nhìn
lượng giác như một ngành độc lập nhưng đã thấy được sự hữu ích của phép thế lượng
giác. Qua đó thêm tinh thần say mê toán học thông qua những vẻ đẹp vốn có của nó.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Đề tài này có thể áp dụng cho khuôn khổ các trường Trung học phổ thông, đặc
biệt dành cho những học sinh khá giỏi về toán có hứng thú về lượng giác.
Để học sinh thấy được ý nghĩa của các phép thế lượng giác, giáo viên có thể giải
một số bài tập bằng phương pháp thông thường và đối chiếu với cách giải bằng phương
pháp lượng giác.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO

2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong
toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn
vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có
thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
5
$1. PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC
I. Hàm Số Lượng Giác Ngược
a) Hàm số
[ ]
sin : ; 1;1
2 2
sinx y x
π π

c) Hàm số
tan : ;
2 2
tanx y x
π π
 
− →
 ÷
 
=
¡
a
là một song ánh. Do đó tồn tại hàm số ngược
arctan : ;
2 2
arctanx y x
π π
 
→ −
 ÷
 
=
¡
a
d) Hàm số
( )
cot : 0;
cotx y x
π
→

 
= ∈ −

 
 


= ∈

Biểu thức áp dụng:
2 2
a x−
.
b) Nếu
2 2 2
x y a+ =
thì có thể đặt:
[ ]
sin
; 0;2
cos
x a
y a
α
α π
α
=

∈


x a
xy
+
+
−
.
2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác
a) Nếu
1xy yz zx+ + =
thì tồn tại các góc
, ,
α β γ
sao cho:
tan , tan , tan
2 2 2
x y z
α β γ
α β γ π

= = =



+ + =

b) Nếu
x y z xyz+ + =
thì tồn tại các góc
, ,
α β γ

x y x y x x y x x y+ + − = + − + − −
.
Giải
Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu
0x ≠
: chia hai vế cho |x|
2 2
1 1 1 1 1 1
y y y y
x x x x
   
+ + − = + − + − −
 ÷  ÷
   
(1)
Vì
1
y
x
≤
nên có thể đặt
( )
cos 0
y
x
α α π
= ≤ ≤
.
( )

.
Thật vậy:
( )
cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos 1x y z x y z x y x y x y+ < + = − ≤
.
Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Bài 3:
Cho hai số thực x, y thỏa
2 2
1x y+ =
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
( )
5 5 3 3
16 20 5 2x y x y x y+ − + + + ≤
.
Giải
Đặt
( )
cos , sin ; 0;2x a y a a
π
= = ∈
.
Áp dụng các công thức lượng giác:
5 3 5 3
5 3 5 3
cos5 16cos 20cos 5cos 16 20 5
sin5 16sin 20sin 5sin 16 20 5
a a a a x x x
a a a a y y y

=
+ +
. Chứng minh
1
4
P ≤
.
Giải
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 1
x y
P
x y
= −
+ +
.
Đặt
tan , tanx y
α β
= =
thì
2 2
2 2
sin 2 ,sin 2
1 1
x y

Bài 5:
Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z
x y z
x y z
+ + ≤ + +
+ + +
+ + +
.
Giải
Tồn tại tam giác ABC thỏa:
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z= = =
.
Bất đẳng thức được viết lại:
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + ≤ + +
.
Ta có:
sin sin 2sin cos 2cos
2 2 2

2 2 3 10
1 1 1 3a b c
− + ≤
+ + +
.
Giải
Từ điều kiện của a, b, c suy ra
1
a c
b
ac
+
=
−
.
Đặt
tan , tana A c C= =
thì
( )
tanb A C= +
.
Bất đẳng thức được viết lại:
( )
2 2 2
2 2 3 10
tan 1 tan 1 tan 1 3A A C C
− + ≤
+ + + +
Ta có:
( )

≤ + −
 
= − − ≤
 ÷
 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi:
( )
( )
sin 2 sin 0
sin 2 1
1
sin
3
A C C
A C
C


+ ≥


+ =



=


Bài 7:

( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2
cos cos cos 2cos cos cos 1
cos cos cos 1 cos 1 cos
cos cos cos sin sin
cos cos
A B C A B C
A B C B C
A B C B C
A B C
A B C
π
+ + + =
⇔ + = − −
⇔ + =
⇔ = − +
⇔ + + =
Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác.
Theo cách đặt thì:
1 cos 1 cos 1 cos
, ,
cos cos cos
A B C
a b c
A B C
− − −
= = =

( )
( ) ( )
sin
2sin 2sin
tan tan 2cot
cos cos cos cos 1 cos 2
A B
C C C
A B
A B A B A B C
+
+ = = ≥ =
− + + −
Tương tự:
tan tan 2cot
2
tan tan 2cot
2
A
B C
B
C A
+ ≥
+ ≥
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1.
LUYỆN TẬP
Bài 8:
Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh:
( ) ( )

+ + +
.
II. Giải Phương Trình
Bài 12:
Giải phương trình:
2 3
1 4 3x x x− = −
.
Giải
Điều kiện:
1 1x− ≤ ≤
.
Đặt
( )
cos 0x
α α π
= ≤ ≤
, ta được phương trình:
( )
3 2
2
sin cos3 cos3 cos
2
3 2
2
k
k
k
π
α α π

 
.
Nghiệm của phương trình ban đầu là:
1 cos
2 2
4
cos
8 2 2
5
1 cos
5 2 2
4
cos
8 2 2
3 2
cos
4 2
x
x
x
π
π
π
π
π
+
+
= = =
+
−

2;2x∈ −
. Đặt
( )
2cos 0x t t
π
= ≤ ≤
. Khi đó:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
12
2 2cos
2
2 2 2sin 2cos
4 2 4
2 2 2 2cos
4 8
t
x
t t
x
t
x
π
π
+ =
 
− + = = −
 ÷
 
 
+ − + = −

+ =
−
.
Giải
Điều kiện x>1.
Đặt
1
0
sin 2
x
π
α
α
 
= < <
 ÷
 
. Phương trình trở thành:
1 1 35
sin cos 12
α α
+ =
Đặt
( )
sin cos 0 2t t
α α
= + < ≤
thì:
2
7

α α
α α

+ =




=


.
Do đó
3
sin
5
4
sin
5
α
α

=



=


. Nghiệm của phương trình là

3 2 3
cos5 cos 3 2 cos3 cos2 sin3 sin 2
4cos 3cos 2cos 1 3sin 4sin 2sin cos
a a a a a a a
a a a a a a a
= + = −
= − − − −
Khai triển và thu gọn, đưa tất cả về cosa ta được điều phải chứng minh.
Ta tìm nghiệm của phương trình ban đầu thỏa:
2 3x ≤
.
Đặt
( )
2 3cos 0x t t
π
= ≤ ≤
. Phương trình trở thành:
( )
( )
5 3
5 3
288 3cos 360 3 cos 90 3cos 27 0
2 16cos 20cos 5cos 3 0
2
cos5 cos
6 30 5
t t t
t t t
k
t t k

Giải
Ta tìm nghiệm của phương trình trên đoạn [-2;2].
Đặt
2cos ;0x t t
π
= ≤ ≤
. Phương trình trở thành:
( )
3
1 2 2
8cos 6cos 1 0 cos3
2 9 3
k
t t t t k
π π
− + = ⇔ = − ⇔ = ± + ∈¢
.
Từ đó ta tìm được ba nghiệm
8 4 2
2cos , 2cos , 2cos
9 9 9
a b c
π π π
= = =
.
Phương trình bậc ba chỉ có tối đa ba nghiệm nên đó cũng chính là tất cả các nghiệm.
Ta có:
2 2
8 2 16 2
4cos 2cos 2 1 cos 2cos 2

.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
14
b)
( ) ( )
3 2 2 2 1 3
x x
+ = − +
.
c)
2 2
1 2 1 2 1x x x x− = − + −
.
d)
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1x x x x+ − = −
.
Bài 18:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
.
III. Giải Hệ Phương Trình
Bài 19:
Giải hệ phương trình:
3
3
3

, 1y z ≤
.
Đặt
( )
cos 0x
α α π
= ≤ ≤
. Sử dụng công thức nhân ba ta được:
cos3 , cos9 , cos27z y x
α α α
= = =
.
Ta có:
{ }
{ }
; 0;1; ;13
13
cos cos27
; 1;2; ;13
14
k
k
k
k
π
α
α α
π
α


x y z
xy yz zx

 
   
+ = + = +

 ÷  ÷
 ÷
   

 

+ + =

.
Giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 4 1 5 1
x y z
x y z
= =
+ + +
. Do đó x, y, z cùng dấu.
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
15
Nếu (x,y,z) là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm. Ta tìm nghiệm dương của hệ.
Tồn tại tam giác ABC sao cho:

.
Ta tính được:
1 1
tan ,tan ,tan 1
2 3 2 2 2
A B C
= = =
.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1 1 1 1
; ;1 , ; ; 1
3 2 3 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
.
Bài 21:
Giả sử x, y, z là nghiệm của hệ phương trình:
( )
( )
( )
4
4
4
x y y
y z z
z x x
= −


= ≤ ≤
.
Thay vào phương trình thứ ba:
( )
2 2 2 2 2
4sin 4 4sin 16sin cos 4sin 2z a a a a a= − = =
.
Thay vào phương trình thứ hai:
( )
2 2 2
4sin 2 4 4sin 2 4sin 4y a a a= − =
.
Thay vào phương trình thứ nhất:
( )
2 2 2
4sin 4 4 4sin 4 4sin 8z a a a= − =
.
Ta có:
2 2
sin sin 8 cos2 cos16 16 2 2a a a a a a k
π
= ⇔ = ⇔ = ± −
.
TH1:
16 2 2 ; 0;1;2;3
7
k
a a k a k
π
π

Nếu k=1;2;4 thì:
2 2 2
2 4 3 2 4 8
4 sin sin sin 4 cos cos cos 6
9 9 9 2 9 9 9
S
π π π π π π
 
   
= + + = − + + =
 ÷  ÷
 
   
 
.
Nếu k=3 thì:
2 2 2
2 4 3 2 4 8
4 sin sin sin 4 cos cos cos 9
3 3 3 2 3 3 3
S
π π π π π π
 
   
= + + = − + + =
 ÷  ÷
 
   
 
.

( ) ( )
sin cos cos sin 1 sin 1 sin 1 2
2
k
π
α β α β α β α β α β π
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + = ⇔ + = +
.
Suy ra:
sin cos ,cos sin
α β α β
= =
.
Do đó:
sin 2sin sin 2cos 3y t
α β α α
+ = + = + ≥ −
(Bất đẳng thức B.C.S).
Dấu “=” xảy ra khi:
sin cos sin 2cos sin 2cos 3
1 1 2 3 3
2
α α α α α α
+
= ⇒ = = = −
Ta tính được:
3 6
sin ,cos
3 3
α α

x y
xy y
+ =



− =


.
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 0
x y z xyz
x y z y x z z x y
+ + =



− − + − − + − − =


.
c)
2 3
2 3
2 3
3 3 0
3 3 0

2
cot 2 sin sin
2
sin
2
cos
2
4 cos sin
2 2
sin
2
4 sin sin
2 2
2 cos cos
C
C
a b R A B
C
C
A B A B
R
C
A B A B
R
R B A
− = −
+ −
=
− +
=




=


.
Giải
Áp dụng định lý côsin, ta có:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
19
( )
2 2 2
1
1 2 cos cos
2 3
a b c ab ab C ab C C
π
⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
.
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 cos cos cos cos
2 4 2
A B A B C A B A B⇔ + + − = ⇔ − + − = ⇔ =
 
 
.
Tam giác ABC cân có góc

π
+
= ⇔ + = +
⇔ = ⇔ + + − =
⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Vậy tam giác vuông tại C.
Bài 4:
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi m
a
là trung tuyến ứng với đỉnh A.
a) Chứng minh:
( )
1 cos
a
m R A≤ +
.
b) Chứng minh:
2 3
a b c
a b c
m m m
+ + ≥
.
Giải
a) Sử dụng công thức trung tuyến:
( )
( )
( )
( )
( )

a
m R A≤ +
.
Dấu “=” xảy ra khi B=C, tức là tam giác ABC cân tại A.
b) Theo câu a) ta có:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
20
2
2 2
sin
2 cos 2tan
2 2
2 cos cos
2 2
a
a
A a a A A
m R
A A
m
R
≤ ⇒ ≥ = =
Tương tự:
2tan
2
2tan
2
b
c
b B

+ + = + + −
 ÷
 
.
c)
1 1 1 1 1 1
cos cos cos
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
+ + ≥ + +
.
d)
1 1 1 26 3
1 1 1 5
sin sin sin 9A B C
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
   
.
Bài 6:
Nhận dạng tam giác ABC thỏa điều kiện:
a)
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C+ + = + +
.

=
. Gọi
,
α β
lần lượt là số đo góc BAK, MAD.
Ta cần tìm x để
α β
+
nhỏ nhất.
Ta có:
4 1
tan ,tan
5 5
x
x
α β
= =
( )
4 1
4 1
2 .
tan tan 20
5 5
5 5
tan
4 21
1 tan tan 21
1
25 25
x

D
Không mất tính tổng quát có thể giả sử AB=AC=1.
Gọi b là góc ABD. Ta có:
4A b
π
+ =
, góc
3ADB b=
.
Áp dụng định lý sin:
Giáo viên: Phạm Hữu Danh Một số ứng dụng của lượng giác
22
sin sin sin
, ,
sin 2 sin3 sin3
A A b
BC BD AD
b b b
= = =
Giả thiết BC=BD+AD tương đương với:
( )
( ) ( )
sin sin3 sin sin sin 2
sin 4 sin3 sin 4 sin sin 2
sin 4 sin3 sin 4 sin 2 sin sin 2
cos cos7 cos2 cos6 cos cos3
cos3 cos7 cos2 cos6
sin 2 sin5 sin 2 sin 4
sin5 sin 4
5 4

.
Bài 9:
Cho tam giác ABC có tính chất: tồn tại điểm P nằm trong tam giác sao cho
·
·
·
·
0 0 0 0
10 , 20 , 30 , 40PAB PBA PCA PAC= = = =
.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Giải
A
B
C
D
K
M
A
B
C
D
B
A
C
P
Tất cả các góc đều dùng đơn vị độ.
Đặt
·
·

x x
x x
+ +
= =
− −
Suy ra:
( ) ( )
2sin cos40 sin 80 sin 2sin 40 cos40x x x x= − − = −
.
Ta được
40 20x x x= − ⇔ =
.
Do đó
·
·
50ACB BAC= =
.
Vậy tam giác ABC cân tại B.
LUYỆN TẬP
Bài 10:
Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC không đều.
Chứng minh rằng góc
0
90AIO ≤
khi và chỉ khi
2BC AB AC≤ +
.
Bài 11:
Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu
của M lên BC, CA, AB. Chứng minh: