Chương I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b)
⇒
f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b)
⇒
f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)
⇒
f’(x)
0
≥
trên khoảng (a ; b).
- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)
0)(' ≤⇒ xf
trên khoảng (a ; b).
2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
- Lập bảng xét dấu y’.
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng
• Cần nhớ: f(x) = ax
2
+ bx + c



≤∆
>
⇔∈∀≥
0
0
0)(
a
Rxxf
+



≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0
0)(
a
Rxxf

+
0)(0)( =⇔< xfaf
α
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

0
) = k nên pt vô nghiệm
- Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x
0
H2 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = g(x)
- Xét hsố y = f(x) và y = g(x) C/m hsố f(x) ĐB /D , g(x) NB/D.
- Hsố y = f(x) tăng /D, y = g(x) giảm /D nên 2 đồ thị cắt nhau không quá 1 điểm suy ra pt có
không quá 1 nghiệm
- Tìm x
0
D∈

sao cho f(x
0
) = g(x
0
) nên pt có nghiệm duy nhất x = x
0
Bài toán giải BPT :
- Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) > k.
- Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D ) giả sử ĐB. Tìm x
0
D∈

sao cho f(x
0
) = k
- NX : với x
≤
x

32
3
4
23
−+− xxx
f) y = x
4
– 2x
2
+ 3 g) y = -x
4
+ 2x
2
– 1 h) y = x
4
+ x
2

k) y =
x
x
−
+
1
13
l) y =
1
1
−
+

– 3mx
2
+ (m + 2)x – 1 ĐS :
1
3
2
≤≤− m
b) y = mx
3
– (2m – 1)x
2
+ 4m – 1 ĐS : m =
2
1
3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
a) y =
1)8()2(
3
2
3
+−+−+− xmxm
x
ĐS :
41 ≤≤− m
b) y =
3)23(
3
)1(
2
3






3
;0
π
và nghịch biến trên






π
π
;
3
.
b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nửa khoảng






2
;0
π

HD : Đk : x
2−≥
. Đặt f(x) = VT, có f’(x) >0 mọi x
2−≥
nên f(x) đb/TXD
Lại có x > -2 nên f(x) > f(-2) = 3 do vậy Bpt có nghiệm x > -2
b,
xx −>+ 712
c,
5321 >+++ xx
d,
11
2
≥−+ xx
e,
xxx −≥−+ 933
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Chuẩn kiến thức Toán 12
* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x
0
);( ba∈
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x
0
)
);;(
00
hxhxx +−∈∀
và x
0

+∈∀<
=∈∀>
);(,0)('
);(,0)('
00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
b) Nếu



+∈∀>
−∈∀<
);(,,0)('
);(,0)('
00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x
0
– h ; x
0

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2.
1.Tìm TXĐ
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x
i
( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(x
i
).
4, Dựa vào dấu của f”(x
i
) suy ra tính chất cực trị của x
i
.
BÀI TẬP
1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.
a) y = x
2
– 3x – 4 b) y = 2x
3
– 3x
2
+ 1 c) y =
xx 4
3
1
3
+−

−x
x
l) y = x +
x
1
m) y =
1
22
2
−
+−
x
xx
n ) y =
1
3
2
+
−
x
xx
p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ;
π
]
2. Tìm m để hàm số :
a) y = x
3
– 2mx
2
+ 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m

2
+ (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
f) y = x
3
– mx
2
– mx – 5

đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
g) y = x
3
+ (m + 1)x
2
+ (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
h) y =
mx
mxx
+
++ 1
2
đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
Chuẩn kiến thức Toán 12
k) y =
1
1
2
+
−+−
x
mmxx

];[
xfxf
ba
ba
.
* Cách tìm :
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
, … , x
n
trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
2. Tính f(a), f(x
1
), ……., f(x
n
), f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M =
)(min),(max
];[
];[
xfmxf
ba
ba
=
.
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
a) y = x

+
x
x
trên đoạn [2 ; 5] h) y =
2
452
2
+
++
x
xx
trên đoạn [-3 ; 3].
k) y =
x36 −
trên đoạn [-1 ; 1] l) y =
2
100 x−
trên doạn [-8 ; 6]
m) y = (x + 2).
2
1 x−
n) y =
1
1
2
+
+
x
x
trên doạn [1 ; 2]

2x - sinxcosx + 4
o) y = sin
4
x + cos
2
x + 2 w) y = x – sin2x trên






−
π
π
;
2
2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.
3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là
48cm
2
.
4. ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.
a) Công thức chuyển hệ tọa độ:
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vec tơ
);(
00
yxOI =
là :


và viết phương trình của (C) đối với
hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C).
3. Cho đường cong (C) : y = 1 -
1
1
+x
và điểm I(-1 ; 1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh
tiến theo
OI
và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của
(C).
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
a) Tiệm cận đứng.
Nếu
+∞=+∞=
−+
→→
)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
hoặc
−∞=−∞=
−+
→→
)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
thì đường thẳng

baxxf
x
thì đường thẳng y = ax + b ( a
)0≠
là
tiệm cận xiên của (C).
BÀI TẬP.
1.Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số.
a) y =
12
23
+
−
x
x
b) y =
4
3
2
−
+
x
x
c) y =
3
5
+−
−
x
x

2
+
+−
x
xx
d) y = x +
1
2
−x
x
6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
1/ Các bước khả sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
1
o
Tìm TXĐ.
2
o
Xét sự biến thiên.
a) Giới han – Tiệm cận.
b) Lập bảng biến thiên.
3
o
Vẽ đồ thị.
- Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
- Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
- Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng.
2/.Hàm số y = ax
3
+ bx
2

3
– 3x
2
+1 4. y =
xx 4
3
1
3
−
5, y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1 6. y = -x
3
– 3x + 2
3/. Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
)0≠
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
Chuẩn kiến thức Toán 12
Pt y’ = 0 có

4/. Hàm số y =
)0,0( ≠−≠
+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2
-2
BÀI TẬP
Khào sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y =
1
2
+
−
x
x
2. y =
1
12
+−
−
x
x
3. y =

-2
-4
O
2
-2
-4
O
Chuẩn kiến thức Toán 12
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
-2
O
2
-2
O
BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
1. y =
1
22
2
−
+−
x
xx
2. y =
1
2
−x


1/ Giao điểm của hai đồ thị.
Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiêm của phương trình f(x) = g(x) (1)
Do đó số nghiệm phân biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2/ Sự tiếp xúc của hai đương cong.
a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) nếu chúng có tiếp
tuyến chung tại M
0
. Khi đó M
0
gọi là tiếp điểm.
b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm
Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm.
3/ Tiếp tuyến.

Giải phương trình y’(x
0
) = k để tìm x
0
và y
0
.
c) Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A
; y
A
).
Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – x
A
) + y
A

(d) tiếp xúc (C)



=
+−=
⇔
kxf
yxxkxf
AA
)('
)()(


+ 1
2. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y = (x – 1)(x
2
+ mx + m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 không cắt trục hoành.
c) y = x
4
– 2x
2
– (m + 3) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
3. Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =
1
12
+
−
x
x
.
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
c)Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số nguyên
4. Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =
1
332
2

.
7. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y =
1
2
−
+
x
mx
tiếp xúc với đường thẳng y = - x + 7
b) y = x
3
– 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hoành.
c) y = x
4
– 2x
2
+ 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx
2
– 3.

BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN
1. Cho (C) : y = x
3
– 6x
2
+ 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)
b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
c) Vuông góc với tiệm cận xiên.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x
3
– 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
b) y =
2
3
3
2
1
24
+− xx
đi qua điểm A(0 ;
)
2
3
.
c) y =
2
2
−
+
x
x
đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y =
2

3) Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =
2
24
1
+− x
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
Chuẩn kiến thức Toán 12
4) Cho hm s y = - x
3
+ 3x
2
2.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn song song vi ng thng y = - 9x + 1
c) Tỡm m ng thng y = m ct th (C) ti ba im phõn bit.
5) Cho hm s y =
1
3
1
23
+ xx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn i qua im A(1 ; 0)
6) Cho hm s y =

3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
11 (TNTHPT - 2006) Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
12 (TNTHPT 2004- PB)Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
13 (TNTHPT 2004 - KPB)Cho hm s y=
3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
II. Hm bc 4 trựng phng
1)Cho hm s y = x
4
2x
2

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x
4
6x
2
+ 3 m = 0.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn i qua im A(0 ;
)
2
3
4) Cho hm s y = -x
4
+ 6x
2
5
Chun kin thc Toỏn 12
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Tỡm m ng thng y = m ct th (C) ti ba im phõn bit.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im M
0
(1 ; 0).
5) Cho hm s y =
12
4
1
24
xx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Tỡm m phng trỡnh : x
4

c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) bit tip tuyn song song vi ng thng y = -2x + 1
2) Cho hm s y =
1
12
+
+
x
x
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti im cú hũanh x = -2
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng y = -x + 2
d)Tỡm trờn th im cú to l s nguyờn
3) Cho hm s y =
x
x
1
2
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Tỡm trờn (H) nhng im cú ta l cỏc s nguyờn.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti giao im ca (H) vi trc tung.
d)Tỡm trờn th im cú to l s nguyờn
4) Cho hm s y =
x
x 1
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (H) ti giao im ca (H) vi trc hũanh.
c) Tỡm m ng thng y = x + m ct (H) ti hai im phõn bit.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(0, -1).
c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) song song với tiệm cận xiên của (C)
3. Cho hàm số y =
1
)2(
2
−
−
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi (d) là đường thẳng điqua A(-1 ; 0) có hệ số góc là m .Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tích các khỏang cách từ một điểm M trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một số
không đổi.
4. Cho hàm số y = x -
1−x
m
có đồ thị là (C
m
).
a) Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
5) Cho hàm số y = x +
x
1

m
) định trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
c) Xác định k để cho đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho đọan EF là ngắn nhất.
8. Cho hàm số y =
1
3
2
+
+
x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
2
– mx + 3 – m = 0 và suy ra
các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương.
c) Định k để đường thẳng (d): y = k(x – 3) + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
9) Cho hàm số y =
1
3
2
−
+
x
xx
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Chuẩn kiến thức Toán 12
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua giao điểm của hai tiệm cận.

α
)(
*
Nnn ∈−=
α
0
≠
a
n
n
a
aa
1
==
−
α
),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n

n
n
n
3)
( )
p
n
n
p
aa
=
(a > 0)
4)
nm
m
n
aa
.
=
5)
mn m
n
aa
.
=
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
α
α
α

<⇔> aa
3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số
0,10
>≠<
ba
.

bab
a
=⇔=
α
α
log

beb
bb
=⇔=
=⇔=
α
α
α
α
ln
10log
4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT.
*
baa
b
aa

Đặc biệt:
b
n
bb
b
a
n
aaa
log
1
log;log
1
log
=−=
*
ccb
b
c
c
aba
a
a
b
loglog.log
log
log
log
=⇒=
Đặc biệt :
bb

lim
00
=
+
=
−
→→
x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
)'(
aaa
xx
ln.)'( =
x
x
1
)'(ln =
aa
x
x
a

)'(ln
=
au
u
u
a
ln.
'
)'(log =
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α
n
n
n
un
u
u
1
.
'
)'(
−
=
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.

3
+
+
+
+
−
a
a
aa
aa
a
4)






+−








+
+
−

−






−






+
2)
20
3
1
1
3
2
2
3
1
)9(864.)2(001,0 +−−−
−
−
−
3)

−+






−−−
* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)
7 35
.2
8
1
ax
2)
3
4
5
. aa
3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1

1)
1
)(
232
3222
+
−
−
ba
ba
2)
334
3333232
))(1(
aa
aaaa
−
++−
Chuẩn kiến thức Toán 12
3)
π
π
ππ








6
5
10
−








b
a
3)
5
4
9 ba
4)
7
2
27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log

4log
2
1
4
1
7125
9
49.2581








+
−
2)
5log33log
2
1
5log1
52
4
4216
+
+
+
3)

3log410log2216log
3
1
444
+−

* Tính.
1)
2020
)32log()32log(
−++
2)
)725log()12log(3
−++
3)
e
e
1
lnln
+
4)
).ln(4ln
21
eee
+
−
* Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)

e
e
2) y =
1
12
−
−
x
e
3) y = ln






−
−
x
x
1
12
Chuẩn kiến thức Toán 12
4) y = log(-x
2
2x ) 5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =



3 2 5 4 3 1
x x x
c d
x x x x
+
+
BT3. Tìm x biết a. log
3
(2 4x) = -3. b.
5
log 0x =
BT4 Tớnh o hm ca cỏc hm s sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx cosx).e
2x
3) y =
xx
xx
ee
ee


+

4) y = 2
x
-

2
2ln x
14) y =
3
2cos x
15) y = 5
cosx + sinx
*BT5Chng minh rng mi hm s sau õy tha món h thc tng ng ó cho.
1) y = e
sinx
; ycosx ysinx y = 0
2) y = ln(cosx) ; ytanx y 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y + ysinx + tan
2
x
= 0
4) y = e
x
.cosx ; 2y 2y y = 0
5) y = ln
2
x ; x
2
.y + x. y = 2
BT6 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau :
1) y = (x
2
2x).e
x
trờn on [0 ; 3] 2) y = x

6) y = x
2
ln(1 2x) trờn on [-2 ; 0]
7) y = 2ln(x 1) + 3lnx 2x trờn on [2 ; 4 ]
8) y = 2
x-1
+ 2
3 x

2 2
2
sin cos
1
. . 4 4
x
x x
x
c y e d y
+
= = +

9)
2
sin
3 . . (0,5)
x x x
y b y
+
= =
. y = 2

( )x
. C.
1
8
8
1
( )x
x
=
. d.
3
1
0,7
7
( )x x=
.
* CC DNG C BN CA PHNG TRèNH , BT PHNG TRèNH M V LễGARIT.

a)
)()(10
)()(
xgxfaaa
xgxf
==<
Chun kin thc Toỏn 12




=

1). (0,2)
x-1
= 1 2).
3
3
1
13
=






−
x
3).
164
23
2
=
+− xx
4).
x
x
34
2
2
2
1

1
5
93
2
+
−
=
x
x
8).
255
4
2
=
+−
xx
9) 3
x
.2
x+1
= 72 9)
2
2
1
.
2
1
217
=


– 3
x
= 9 13) 4
x
+ 4
x-2
– 4
x+1
= 3
x
– 3
x-2
– 3
x+1
* Giải các phương trình.
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0 2) 4
x+1
– 6. 2
x+1
+ 8 = 0
3) 3
4x+8
– 4. 3
2x+5
+ 27 4) 3
1+x

xx
10)
14487487
=






++






−
xx

11)
12356356
=






−+

44
23
2
−−
=
xxx
2)
451
2
32
+−−
=
xxx
3)
x
x
x
−
+
=
2
2
3.368
4)
5008.5
1
=
−
x
x

55.
x
x
=
* Giải các phương trình.
1) 2
x
+ 3
x
= 5
x
2) 3
x
+ 4
x
= 5
x
3) 3
x
= 5 – 2x 4) 2
x
= 3 – x
5) log
2
x = 3 – x 6) 2
x
= 2 – log
2
x 7) 9
x

125
5
25
5
=
7) 7
logx
+ x
log7
= 98 8) log
2
(2
x+1
– 5) = x
* Giải các phương trình.
1) log
2
2
(x - 1)
2
+ log
2
(x – 1)
3
= 7 2) log
4x
8 – log
2x
2


log1
log1
log1
log1
+
+
=
+
+
7) log
9
(log
3
x) + log
3
(log
9
x) = 3 + log
3
4 8) log
2
x.log
4
x.log
8
x.log
16
x =
3
2

=+
15log1loglog
11
222
yx
yx
2)



=−−+
+=+
3log)log()log(
8log1)log(
22
yxyx
yx
3)





=−
=
2)(log
9722.3
3
yx
yx

3
9
4
33
yx
yx
7)





=
=+
+−
+
55.2
752
1 yxx
yxx
8)



=−−+
=−
1)(log)(log
3
53
22


11)





=−−+
+=
1233
)(24
22
2loglog
33
yxyx
xy
xy
12)



=
+=
64
log1
2
y
x
xy


log3
log
log.log3log

IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các bất phương trình.
1)
13
52
>
+
x
2) 27
x
<
3
1
3)
4
2
1
45
2
>







1
−<+
x
10)
1
31
log
4
−
+
x
x
11) log
0,8
(x
2
+ x + 1) < log
0,8
(2x + 5)
12)
0)
1
21
(loglog
2
3
1
>
+
+

4
<−
x
18) log
2
x + log
3
x < 1 + log
2
x.log
3
x 19) 3log
x
4 + 2log
4x
4 + 3log
16x
4
0
≤
*Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1) y =
2
5
12
log
8,0
−
+
+

C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+
1
x
ln x C
+
1
ax b+
1
ln ax b C

1
sin( )ax b C
a
+ +
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos ( )ax b
+
1
( )tg ax b C
a
+ +
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+
1
cot ( )g ax b C
a
− + +
'
( )

1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x
+
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2

4
3
xxx ++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx
+−
3
2
32

ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
Chuẩn kiến thức Toán 12
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx
++
2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin

2
x
e
x
−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+

1
2
+
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
−++ x
x
x

5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−== fff
x
b

∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
−
25
4.
∫
−12x
dx
5.
∫
+
xdxx
72
)12(
6.
∫
+
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫

3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.
13.
∫
xdxxcossin
4
14.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos

dx
x
e
tgx
2
cos

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ ∫
−=
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
∫ ∫
−=
vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxx cos
3.
∫
+
xdxx sin)5(
4
∫

∫
dxe
x
13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin
16.
∫
+
dxx )1ln(
2
17.
∫
xdxe
x
cos.
18.
∫
dxex

xdxx 2cos
2
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Thì:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
Chuẩn kiến thức Toán 12
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
++
1
1
2
)12( dxxx
2/
∫




+
2
1
32
11
6/
∫
−
2
1
3
2
2
dx
x
xx
7/
∫
e
e
x
dx
1
1
8/
∫
16

1
4
11/
∫
−
+
3
2
1
2
dx
x
x
12/
dx
x
x
∫






−
+
−
1
0
3

0
2
3
32
15/
dxx
x
xx
∫
−








+−
−
++
0
1
2
12
1
1

16/
∫

0
2
sin
π
xdx
20/
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
21/
∫
−
1
0
dxe
x
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫

0
2 4dx
−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
dxxx
∫
−
2
0
2

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
∫
=

=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý.
Dấu hiệu Cách chọn
1.
∫
xdxxf cos)(sin
2.
∫
xdxxf sin).(cos
3.
∫
dxeef
xx
)(
t = sinx
t = cosx
t = e
x
t = lnx

0
2
xdxe
x
4)
∫
−
+
1
1
2
1
2
dx
x
x
5)
xdxx .1
1
0
2
∫
+
6)
∫
+
1
0
2
.

cos
π
dx
x
x
10)
∫
+
2
0
sin.cos1
π
xdxx
11)
∫
e
dx
x
x
1
ln
12)
∫
2
ln
e
e
xx
dx
13)

ln xx
dx
17)
∫
4
1
dx
x
e
x
18)
∫
+
2ln
0
1
dx
e
e
x
x
19)
dxee
xx
.1
8ln
3ln
∫
+
20)

cos.sin
π
xdxx
24)
∫
2
0
33
cossin
π
xdxx
2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)
ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b

dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1 x dx
−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1 x
+
∫
3)
1
2
0
1
dx
4 x
−

2 2
1
x 4 x dx
−
∫
8)
( )
∫
++
1
0
22
11 xx
dx

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]

a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[ ]
b
a
vu.
và
∫
b
a
vdu
Chú ý:
Dấu hiệu Cách đặt
∫
b
a
xdxxP sin).(
hoặc
∫
b
a
xdxxP cos).(

∫
b

∫
−
2
0
cos)1(
π
xdxx
3)
∫
−
6
0
3sin)2(
π
xdxx
4)
∫
2
0
2sin.
π
xdxx

5)
∫
e
xdxx
1
ln
6)

π
0
.cos. dxxx
11)
∫
2
0
2
.cos.
π
dxxx
12)
∫
+
2
0
2
.sin).2(
π
dxxxx
13)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
14)
2

cos x
π
+
∫
19)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫

20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
22)
1

26)
1
2
0
xtg xdx
∫
27)
∫
−
1
0
2
)2( dxex
x
28)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
29)
∫
e
dx
x
x
1
ln


x = a, x = b (a < b) lµ:
( )
b
a
S f x dx=
∫

* NÕu diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = f
1
(x), y = f
2
(x), x = a, x = b th× diÖn tÝch ®îc tÝnh bëi
Chuẩn kiến thức Toán 12