Chuyờn TH TCH KHI A DIN

Luy
n thi i hc 2012

Giỏo viờn:
Lấ B B
O T
Toỏn THPT Phong in

1
c
b
a

h
S
ABC
H
C
B
A
S

h
S
day


2.
M
T S CễNG THC
TNH
TH
TCH:

Th
tớch ca khi hp ch nht

Th
tớch ca khi chúp Th
tớch ca khi lng tr . . V a b c====
1-
Th tớch khi lp phng:
C
ho khi lp phng cnh a.

3
V a =

2-
Th tớch khi chúp ct:

C
ho kh
i chúp ct cú din tớch hai ỏy l B v B , chiu cao h.

(
)
1
' ' .
3
= + +V B B BB h

II-
LUYN TP:

K nng
:

TNH TH
TCH KHI A DIN


T
Toỏn THPT Phong in

2
LO
I

I:
TH
TCH KHI CHểP

Phng phỏp:B
c 1: Xỏc nh v ch rừ chiu cao

h
ca khi chúp. Tớnh
hBc 2: Tớnh din tớch ỏy v ỏp dng cụng thc:
1
.
3
V h S=
chóp đáy


.
Bi gi
i:Gi G l trng tõ
m tam giỏc ABC thỡ
(
)
SG ABC
^
. Vy SG l chiu cao ca hỡnh
chúp S.ABC.
a) TH: C
nh ỏy bng 2a v cnh bờn bng
2a
.
* Tớnh SG:

Xột
SGA
D
vuụng ti G:

Ta cú:
2
2 2 2
2
.
3

S a a
D
= =
.
Vy
3
2
1 1 6 2
. . . 3
3 3 3 3
ABC
a a
V SG S a
D
= = =
chóp
(.v.t.t)

b
) TH:
Cnh ỏy bng a v cnh bờn hp vi ỏy mt gúc
0
60
.
Do
(
)
SG ABC^
nờn AG l h
ỡnh chiu ca AS lờn (ABC)

ABC
a
S
D
=
.
Vy
2 3
1 1 3 3
. . .
3 3 4 12
ABC
a a
V SG S a
D
= = =
chóp
(.v.t.t)

c) TH: C
nh ỏy bng a v mt bờn hp vi ỏy mt gúc
0
30
.
Ta cú:
(
)
(
)
ABC SBC BCầ =
T
ổ Toán THPT Phong Điền

3
Mặt khác:
SM BC
AM BC
^
ì
í
^
î
nên góc giữa (SBC) và (ABC) là góc
0
ˆ
30SMG =
.

* Tính SG:

Xét
SGM
D
vuông tại G:

Ta có:

0

ABC
a a a
V SG S
D
= = =
chãp
(đ.v.t.t)

Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bài tập:

Bài t
ập
:
Tính thể tích khối
chóp
tứ giác đều
S.ABC
D trong các trường hợp sau:a) Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng
2a
.

b) C
ạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc
0
60
.


.
Bài giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có:
(
)
(
)
ABCD SBD BDÇ =
.

Mặt khác:
SO BD
AO BD
^
ì
í
^
î
nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc
0
ˆ
60SOA =
.
* Tính SA:
Xét
SOA
D
vuông t
ại A

3 3 2 6
ABCD
a a
V SA S a= = =
chãp
(
đ.v.t.t)
30
0
M
a
G
S
A
B
C

a
O
60
0
D
S
A
B
C


ạ
nh bên
SA vuông góc v
ớ
i m
ặ
t đáy và cạ
nh
bên
SC t
ạ
o v
ớ
i m
ặt đáy mộ
t góc 45
0
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABCD theo a.
Bài g
i
ải:

Do
(
)
SA ABCD
0
ˆ ˆ
tan .tan 2.tan 45 2
SA
SCA SA AC SCA a a
AC
= Û = = =

* Tính di
ện tích hình thang ABCD:

Ta có:
(
)
(
)
2
3
2
2 2
AB CD AD a a a
S a
+ +
= = =
ABCD

Vậy
3

ả
i:
D
ễ thấy rằng:
SAB SAC AB AC
D = D Þ =
.
* Tính diện tích tam giác ABC:

Cách 1:
Đ
ặt
0AB AC x= = >
.
Trong
ABC
D
, áp d
ụng định lí cosin ta được:

2 2 2
2 2 2 0 2
ˆ
2 . .cos
2 cos120 3
3
3 3
3

BC AC AB AB AC BAC


Cách 2:
Xét tam giác ABM vuông tại M có:
0
3
ˆ
sin
ˆ
2.sin 60 3
sin
BM BM a a
BAM AB
AB
BAM
= Û = = =

Ti
ếp tục như trên….

* Tính chiều cao SA:

45
0
3a
a
a
S
A
C
B

a a
SA SB AB a= - = - =
.
Vậy
2 3
.
1 1 6 3 2
. . .
3 3 3 12 36
S ABC ABC
a a a
V SA S
D
= = =
(đ.v.t.t)

Bài
t
ập 2
:

Cho t
ứ diện ABCD có ABC là tam giác đều

c
ạnh
a
, BCD là tam giác vuông cân
tại D
, (ABC)

(
)
AM BCD^

nên AM là đư
ờng cao của tứ diện ABCD.

* Tính AM:
3
2
a
AM
=

* Tính
di
ện tích
SBD
D
:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2
2
2
a
DB DC BC DB BC a DB DC+ = Û = = Þ = =
.
Suy ra:
2


và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD)
,
biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30
o
.
Tính thể tích khối
chóp S
.ABCD.
Bài t
ập 2
:
Cho hình chóp S.
ABCD có đáy ABCD là h
ình thoi với AC = 2BD = 2
a
. Tam
giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
(ABCD)
. Tính thể tích
hình chóp S.ABCD.
Bài tập 3
: Cho hình chóp S.
ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD
=
a
; AB = 2
a
, biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (A

)
(
)
(
)
SAB ABC
SAC ABC
ì
^
ï
í
^
ï
î
và
(
)
(
)
SAB SAC SA
Ç =
nên
(
)
SA ABC
^
.
Vậy SA là đường cao của khối chóp S.BCNM.

* Tính SA:

(
)
(
)
ABC SBC BCÇ =

nên góc giữa
(
)
ABC
và
(
)
SBC
là góc
0
ˆ
60
SBA =
.

Xét
SAB
D
vuông tại A:

0
ˆ ˆ
tan .tan 2 .tan60 2 3
SA

a
V SA S a a
D
= = =
(đ.v.t.t)

Cách khác:
Với lập luận như trên, tính được
2 3SA a=

Ta có:
.
. .
.
1 1
. . .
4 4
A SMN
A SMN A SBC
A SBC
V
AS AM AN AM AN
V V
V AS AB AC AB AC
= = = Û =

Tính
3
2
.

V V V V V V a= + Û = - = - =
(đ.v.t.t)

Tương tự, các em giải quyết bài tập sau:

Bài t
ập 1
: (
Đề khối
D- 2011
) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
3 , 4 BA a BC a= =
; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết

2 3SB a=
và
0
ˆ
30 .SBC =
Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến
mặt phẳng (SAC) theo
a
.

II-
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài
tập
1: Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA =

.
Bài
tập
3: Cho hình chóp S.
ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
bi
ết
SA vuông góc
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
o
.
Tính thể tích khối
chóp.
Bài
tập 4
:
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân,
5 , 6AB AC a BC a= = =
và các
cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60
0
. Hãy tính th
ể tích của khối chóp đó.Mở rộng:

Thay giả thiết
ABC

N
M
S
A
B
C

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Luy
ện thi Đại học 2012

Giáo viên:
LÊ BÁ B
ẢO T
ổ Toán THPT Phong Điền

7
Bài
tập 6
:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy
là
hình thang vuông tại A và B với AB = BC =
a
,
AD = 2


Đ
ề
1 (
Đề Cục Khảo thí 2010
)
Xét hình chóp S.ABCD có
SA SB SD DA AB BC CD a= = = = = = =
. Bi
ết thể tích
của khối chóp S.ABCD bằng
a
3
2
6
, tính đ
ộ dài cạnh bên SC theo
a
.
Đề
2 (
Đề Cục Khảo thí B, D
- 2010)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B,
BC a
=
và
AC a= 2
; c

cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết
SA AB BC a= = =
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC.
Đề
5 (
Tốt nghiệp 2007_Lần II
)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA AC
=
. Tính th
ể tích của khối
chóp S.ABCD.
Đề
6 (
Tốt nghiệp 2008
)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên
b
ằng 2a. Gọi I là trung điểm cạnh BC.

a)

Chứng minh SA vuông góc với BC.
b)Tính
thể tích khối chóp S.ABI theo
a
.

Đề

8 (
T
ốt nghiệp 2009 GDTX
)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại
B,
AB a=
và
AC a= 3
;
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
(
)
ABC
và
SA a= 2
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC theo
a
.
Đề
9 (
Tốt nghiệp 2010 GDTX
)

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O,

ẠI

II:
TH
Ể TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Phương pháp:Bư
ớc 1: Xác định và chỉ rõ chiều cao
h
của khối lăng trụ. Tính
hBước 2: Tính diện tích đáy và áp dụng công thức:
.
l¨ng trô ®¸y
V h S=

Bài tập 1
:
Đáy của lăng trụ đứng tam g
iác ABC.A’B’C’ là tam giác
vuông cân tại A có
cạnh

=
2BC a


* Tính di
ện tích đáy ABC:

Ta có:
2
1
.
2 2
ABC
a
S AB AC
D
= =
.

Vậy
2 3
. ' ' '
1 2
'. .2 2 .
3 2 3
ABC A B C ABC
a a
V AA S a
D
= = =
(đ.v.t.t)

Bài tập 2

Suy ra, góc giữa A’B và (ABC) là góc
0
ˆ
' 60
A BA =
.

* Tính chi
ều cao AA’:

Xét
'BAAD
vuông t
ại A:

0
'
ˆ ˆ
tan ' ' .tan ' .tan 60 3.
AA
A BA AA AB A BA a a
AB
= Û = = =
.
* Tính di
ện tích đáy ABC:

Ta có:
2
1

ều cạnh
a
, biết cạnh bên
là
3
a
và hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
Tính th
ể tích lăng trụ.

Bài gi
ả
i:

Nhận xét: Tất cả các cạnh bên của lăng trụ đềuhợp với đáy một góc bằng nhau.

Gọi H là hình chiếu của C lên (A’B’C’).

Lúc đó: CH là chiều cao của lăng trụ ABC.A’B’C’.

Suy ra, góc gi
ữa CC’ và (A’B’C’) là
0
ˆ
' 60CC H =
.

3a

T
ổ Toán THPT Phong Điền

9
* Tính chi
ều cao CH:

Xét
'CC HD
vuông tại H:

0
ˆ
sin '
'
3
ˆ
'.sin ' 3.sin 60 .
2

CH
CC H
CC
a
CH CC CC H a
=
Û = = =

* Tính di
ện tích đáy ABC:

áy là tam giác
đều cạnh
a
, c
ạnh bên hợp với
đáy một góc 60
0
. Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể
tích c
ủa khối lăng trụ đ
ã cho.
Bài giải:

G
ọi I là trung điểm của BC. Theo giả thiết,
(
)
'
A I ABC^

suy ra góc giữa AA’ và (ABC) là
0
ˆ
' 60A AI =
và A’I là chiều cao của lăng trụ.

* Tính chi
ều cao A’I:

Xét

S
D
=
.
Vậy
2 3
. ' ' '
3 3 3 3
. .
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V CH S
D
= = =
(đ.v.t.t)

Bây giờ thử xem, đề thi Đại học có khó khăn gì không?

Bài t
ập 5:
(
Trích
Đ
ề Khối B
-
2011
) Cho lăng tr
ụ
1 1 1 1

c
ủa AD.

Ta có:
1
AO
là chiều cao của lăng trụ
1 1 1 1
. .ABCD A B C D

Theo giả thiết:
(
)
1
1
AO ABCD
AD A I
OI AD
ì
^
ï
Þ ^
í
^
ï
î

60
0
H

LÊ BÁ B
ẢO T
ổ Toán THPT Phong Điền

10
Ta có:
(
)
(
)
1 1
ADD A ABCD AD
Ç =
(1)

Theo chứng minh trên ta lại có:
1
AD OI
AD A I
^
ì
í
^
î
(2)
Từ (1) và (2) suy ra, góc giữa hai mặt phẳng


1 1 1
3
ˆ ˆ
tan .tan .tan60 .
2 2
AO a a
A IO AO OI A IO
OI
= Û = = =

* Tính di
ện tích đáy ABCD:

Ta có:
2
. 3
ABCD
S AB AD a= =
.
Vậy
3
2
1
3 3
. . 3
2 2
l¨ng trô ABCD
a a
V AO S a= = =
(đ.v.t.t)

và A'C
hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30
o
. Tính th
ể tích lăng trụ
.

Bài tập 3
:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC
.
A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(A'BC) bằng
a
và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 30
0
.Tính thể tích lăng trụ
.
Bài t
ập 4
:
Cho lăng trụ đứng ABCD
.
A'B'C'D' có đáy A
BCD là hình vuông và BD' =
a
.
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

a)

tập 6
:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' =
a
.
Tính thể
tích lăng tr
ụ trong các trường hợp sau đây:

a)
Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
b)
A'B hợp với đáy
(ABC)
một góc 45
o
.
c)
Chi
ều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.

Bài tập 7
:
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.
A'B'C'
D' có cạnh bên AA' = 2
a
.Tính

Tính th
ể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đ
ây:
a)
Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy
(ABCD)
một góc 60
o
.
b)
Tam giác BDC' là tam giác đ
ều.

c
)
AC' hợp với đáy
(ABCD)
một góc 45
0
I
O
D
1
A
1
B
1
C
1

a
)
Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy
(ABCD)
một góc 60
o
.
b)
Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
2
a
.
c)
AC' hợp với đáy
(ABCD)
một góc 45
0
.
Bài t
ập 10
:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.
A'B'C'D' có BD' = 5
a
, BD = 3
a
.
Tính thể tích
kh
ối hộp trong các trường hợp sau đây:

o
.

Tính th
ể tích lăng trụ.

Bài tập 12
:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh
a
và điểm A'
cách đều
A, B,
C biết AA' =
2 3
3
a
.
Tính thể tích lăng trụ.

Bài tập 13
:
Cho lăng tr
ụ ABC.
A'B'C' có
đáy là tam giác đ
ều cạnh
a
, đỉnh A' có hình chiếu
trên (ABC) nằm trên đường c

và C' có hình chi
ếu trên ABC trùng với O .

a)
Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.

b)
Tính th
ể tích lăng trụ ABC
.
A'B'C'.
Bài tập 15
:
Cho lăng tr
ụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh
a
biết chân đường vuông
góc hạ từ A' trên
(
ABC)
trùng v
ới trung điểm của BC và AA' =
a
.
a)
Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.

b)
Tính th
ể tích lăng trụ.