Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu

1Chuyên đề:

ĐA THỨC

Huỳnh Chí Hào – THPT Chun NQD

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC

Đa thức : (Đa thức một biến)
1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n
∈

) là biểu thức có dạng

n n 1
n n 1 1 0
f(x) a x a x a x a
−
−
= + + + +
với
n
a 0
≠

Các số

của biến số
• Nếu f(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu :
f(x) 0
≡
   
≡ ⇔ ∀ ∈ =
   

f(x) 0 x :f(x) 0

Hệ quả:
n
n 1
n n 1
n n 1 1 0
0
a 0
a 0
.
f(x) a x a x a x a 0
.
.
a 0
−
−
−
=

4 3 2 4 2 2 2 3 2
x 2x ax 2x b x m x n 2mx 2nx 2mnx
⇒ + + + + = + + + + +
với mọi x
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2m 2 x m 2n a x 2mn 2 x n b 0
⇒ − + + − + − + − =
với mọi x
Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất khơng ta được:
Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu

22
2
2m 2 0
m 2n a 0
2mn 2 0
n b 0

− =





=




=



. Vậy khi
a 3; b 1
= =
thì
(
)
2
4 3 2 2
x 2x 3x 2x 1 x x 1
+ + + + = + +

Ví dụ 2:
Bài 1: Tìm các số
,
α β
sao cho

(
)

α β λ
− + = − + − +Bài 4: Tìm các số
, ,
α β γ
sao cho

( ) ( )
2
2
2 11 21 4 4 4 4x x x x
α β λ
− + = − + − +

Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho

2
3 2
2 5 3
1 2
2
x x A B C
x x x
x x x
− −
= + +
− +
+ −

4. Phép chia đa thức:
Đònh lý: Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức q(x) và r(x) sao cho

f(x) g(x).q(x) r(x)
= +

Trong đó
r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nho
û hơn bậc của g(x)
= ≠

Đa thức g(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia f(x) cho g(x)

Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
3 2
f(x) 2x 9x 12x 4
= − + −
cho đa thức
x 1
−

Ví dụ 2: Cho đa thức
4 3 2
f(x) x 3x bx ax b
= − + + +
và
2
g(x) x 1
= −


Từ (2) và (3) ta suy ra được
1
a 3;b
2
= = −

5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)
Đònh lý BEZOUT:
Đònh lý: Trong phép chia f(x) cho (x - a) thì số dư là R = f(a)
Chứng minh:
Chia đa thức f(x) cho (x - a), giả sử được thương là g(x) và dư là hằng số R. Ta có:

( )
f(x) x a g(x) R
= − +
với mọi x
Do đó với x = a thì
f(a) 0.g(a) R R f(a)
= + ⇒ =
(đpcm)

Hệ quả:
[
]
f(x) chia hết cho (x a) f(a) 0
− ⇔ =
 
 
−

n 2
a
−1
a

a
0
a
n
b

n 1
b
−

n 2
b
−1
b

0
b

0
f(x) (x a).g(x) r
Thương là : g(x) b x b x b
Dư là : r b

Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
3 2
f(x) 2x 9x 12x 4
= − + −
cho đa thức
x 1
−

Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
4 2
f(x) 2x 3x 4x 5
= − + −
cho đa thức
x 1
+7. Phân tích đa thức ra thừa số
Định lý: Giả sử đa thức
n n 1
n n 1 1 0 n
f(x) a x a x a x a (a 0)
−
−
= + + + + ≠

Bài 1: Giải các phương trình
1)
4 3 2
2 6 5 3 2 0
x x x x
− + − + =

2)
4 3 2
2 3 16 3 2 0
x x x x
+ − + + =

3)
4 3 2
4 3 2 6 0
x x x x
− + + − =

4)
5 4 2
9
13 22 8 0
2
x x x x
− + − + =

5)
5 4 3 2
11 25 14 0 Hết