Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
Đặt vấn đề
Hình học là một bộ môn phát triển t duy và trí sáng tạo cho học sinh rất
điển hình. Học sinh đợc rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề theo quan điểm động
đòi hỏi sự bao quát toàn diện, sâu sắc vấn đề. Học sinh cấp II bắt đầu tiếp thu
cơ sở của hình học ở lớp 6 với hệ tiên đề và những khái niệm cơ bản. Sang
hình học 7 học sinh bắt đầu nghiên cứu hình với yêu cầu nắm bắt thật chắc lý
thuyết và phải biết vận dụng vào giải bài toán hình và làm quen dần với các
dạng toán. Đến lớp 8 các dạng bài tập hình học phong phú hơn, đa dạng hơn
và khó hơn rất nhiều so với lớp 6, 7 và đặc biệt các bài toán chọn ra để dạy đội
tuyển học sinh giỏi thì không phải bài nào cũng dễ dàng chứng minh đợc mà
phải vẽ thêm các yếu tố phụ mới giải quyết đợc bài tập đó. Tuy nhiên vẽ thêm
các yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải toán luôn là điều hết sức khó
khăn, phức tạp đối với mỗi học sinh. Học sinh không thể phát triển đợc t duy
nếu ta giới thiệu với các em một chứng minh làm sẵn. Thậm chí các em sẽ thất
vọng và cảm thấy bị đánh lừa nếu đột ngột trên hình vẽ một đờng phụ tài tình.
Mà bất kỳ một học sinh nào và nhất là các em học sinh giỏi cũng muốn biết cơ
sở và mục đích của việc làm. Toán học chỉ bổ ích khi nó bồi bổ cho sự nhanh
trí và khả năng suy luận của chúng ta.
Nhng có một thực tế rằng: Không có một phơng pháp chung nào cho việc
vẽ thêm yếu tố phụ. Việc vẽ thêm yếu tố phụ trong các bài toán chứng minh
hình học ít nhiều trong một chừng mực nào đó vẫn là một sự sáng tạo "nghệ
thuật".
Xuất phát từ thực tế đó bằng những kinh nghiệm của bản thân đã nhiều
năm dạy đội tuyển HSG Toán 8 tôi muốn đa ra một cách phân tích để giúp học
sinh tìm cách: "Vẽ thêm các yếu tố phụ thích hợp để giải một bài toán chứng
minh bất đẳng thức trong hình học 8".
Tôi trình bày theo nội dung sau:
Phần I: Một số kiến thức cơ bản
Phần II: Một số các bài toán điển hình đợc đa ra phân tích để tìm ra
phơng pháp vẽ thêm các yếu tố phụ, có lời giải cụ thể.

2
) (c
2
+ d
2
)

(ab + cd)
2
3.
2
a
b
b
a
+
với ab > 0
4. (a + b)
2


4ab

B. Một số bài tập điển hình
Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD. Chứng minh
rằng: DC - AB < ad + bc
Với bài toán này học sinh dễ dàng nhận ra ta phải dựa vào bất đẳng thức
tam giác. Từ kết luận ta thấy ngay phải có một đoạn thẳng bằng hiệu DC - AB
mà đã dựa vào BĐT tam giác thì phải tạo ra tam giác có các cạnh ad ; bc ;
dc- ab .

2
CD
. Nh-
ng một cạnh bằng
2
AB
,
2
CD
ta nghĩ tới đuờng trung bình của tam giác. Vậy
muốn có đờng trung bình thì ta phải lấy trung điểm. Từ đó dẫn đến lời giải.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm AC
MI là đờng trung bình ABC
MI =
2
AB
Chứng minh tơng tự : NI =
2
CD
Xét MIN có MN < MI +NI
MN <
2
AB
+
2
CD
=
2
CDAB +

Gọi I, K, M tho thứ tự là trung
điểm của EF, EG, GH.
AEF có
A

= 90
o
; AI là trung tuyến
ứng với cạnh huyền EF AI =
EF
2
1
Tơng tự MC =
2
1
GH.
IK là đờng trung bình EFG
IK =
2
1
FG.
Tơng tự KM =
2
HE
Suy ra : EF + FG + GH + EH = 2 ( AI + IK + KM + MC) 2 AC.
(đpcm)
Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD ;
D

C

(đpcm)
Bài 5: Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trong tam giác đó.
Chứng minh rằng ba đoạn MA, MB, MC độ dài một đoạn nhỏ hơn tổng độ dài
2 đoạn còn lại.
Giáo viên phân tích bài toán từ yêu cầu chứng minh MA, MB, MC độ
dài một đoạn nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại, giả sử là MA < MB + MC.
Khi giáo viên phân tích đến đây thì các em nghĩ ngay đến việc Sử dụng bất
đẳng thức tam giác tức là phải tạo ra một tam giác có độ dài các cạnh bằng độ
dài 3 đoạn MA, MB, MC vẫn từ giả thiết các em dễ dàng kẻ thêm các đờng
MD, ME, MF lần lợt song song với BC, AC, BC để tạo ra tam giác DFE sau
đó giáo viên yêu cầu các em tự vẽ hình và trình bày lời giải.
Lời giải:
Vẽ MD // BC (D AB) ; ME // AC (E
BC) ; MF // AB (F AC)
Có ADM = ABC (do MD // BC)
Mà BAC = ABC (do ABC đều)
ADM = DAF.
Tứ giác ADMF là hình thang cân MA =
DF.
Chứng minh tơng tự, có MB = DE ; MC = EF.
Vậy các đoạn thẳng MA ; MB ; MC có độ dài bằng các cạnh của DEF
nên độ dài 1 cạnh nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại.
(đpcm)
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có góc ngoài tứ giác tại đỉnh C bằng góc
ACB. Chứng minh rằng: AB + BD > AC + DC.
Tơng tự nh các bài trên với bài này giáo viên yêu cầu các em tự làm và
đã nhiều em tìm ra lời giải, sau đó giáo viên đa ra lời giải của mình.
Trang 5
E
F

ME + ME.
Cho ta nghĩ đến BĐT của tam giác không chặt có các cạnh bằng độ dài AM,
ME, ME và phải xuất hiện một đoạn thẳng bằng đoạn AM.
Lời giải:
Vẽ EF AM (F AB) ; EG
AB (G AB)
Tứ giác AGED là hình chữ nhật
GE = AD.
Xét GEF và BAM có
EGF = ABM = 90
O
GE = AB (cùng bằng AD)
FEG = MAB
GEF = BAM (g.c.g)
EF = AM .
AEF có AM vừa là phân giác, vừa là đờng cao trên AEF cân ở A
suy ra ME = MF.
Xét 3 điểm M, E, F ta có EF

ME + MF. Suy ra EF

2 ME (đpcm)
Trang 6
B
G
F
M
C
A
D

DCE (g.g).
CB.CECD
CD
CB
CE
CD
2
==
CD
2
< AC.CB
( đpcm)
B ài 9 : Cho tam giác ABC có AB > BC. Các phân giác trong AD ; CE.
Chứng minh rằng: AE > DE > DC.
Gợi ý : Nếu DE

AC M thì ADE > DAM = EAD AE > DE và
DCE = ECA > CEM
DCE > CED DE > CD.
Vậy AE > DE > CD
Nh vậy, cần phải chứng minh DE cắt AC. Ta vẽ đờng phụ DK // AC (K
AB). Chỉ cần chứng minh rằng K E.
Bài giải: Vẽ DK // AC (K AB).
AD là phân giác trong ABC
AB
AC
=
DB
DC
Tơng tự:

EBKB
EB
AB
KB
AB
hay
1
EB
EA
1
KB
KA
EB
EA
KB
KA
><
+<+<
Do đó K E gọi M DE AC.
Ta có : ADE > DAM
(tính chất góc ngoài tam giác)
ADE > EAD.
Xét tam giác ADE có ADE > EAD AE > DE (1)
Xét tam giác DCE có DCE > CED
(1), (2) AE > DE > DC
(đpcm)
Bài 10 : Cho

ABCcân tại A. K ; L thuộc đáy BC sao cho KAL


A
A
B
C
K
L
M
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
Xét AKL và ALM có:
AL chung
AK = AM
KAL LAM
KL LM
Mặt khác: LM LC + CM = BK + CL
KL BK + CL
KL + KL BK + CL + KL
2KL BC
KL
2
1
BC
(đpcm)
Bài 11: Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M bất kì trên cạnh BC.
Qua M kẻ các đờng song song với các cạnh AC ; AB, lần lợt cắt các cạnh AB
và AC tại D, E. Chứng minh rằng: DE


2
a
Gợi ý: Từ kết luận DE

Bài 11a: Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M bất kỳ trên cạnh BC.
Qua M kẻ các đờng song song với các cạnh AC ; AB lần lợt cắt các cạnh AB ;
ACtại D ; E. Xác định vị trí của M trên cạnh BC để DE đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho

ABC có
A

= 90
o
, đờng cao AH. Từ 1 điểm I nằm
trong tam giác kẻ IM

BC, IN

AC; IK

AB. Chứng minh rằng: IM
2
+ IN
2
+ IK
2



2
AH
2
Gợi ý: Từ kết luận có IM

+ EH
2
Ta có: AE
2
+ EH
2
2
)EHAE(
2
+
=
2
AH
2
Dấu "=" xảy ra I là trung điểm của AH.
(đpcm)
* Nhận xét: Do IM
2
+ IN
2
+ IK
2

2
AH
2
. Nhận thấy rằng AH là đờng

2
+ IK
2

Bài 13: Cho đoạn AB = 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By
vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có 2 đờng thẳng thay đổi luôn
vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
S
MCD
a
2
GV hớng dẫn từ điều phải chứng minh S
MCD
a
2
mà các em đã biết diện
tích tam giác bằng một nửa tích chiều cao với đáy tơng ứng nên ta nghĩ đến
việc vẽ đờng cao MH của tam giác MCD. Ta đợc S
MCD
=
2
CD.MH
. Dự đoán
MH = a = MB.
Ta sẽ chứng minh dựa vào tính chất đờng phân giác CDB bằng cách
chứng minh DCK cân. ( CM DB K).
Lời giải :
Gọi CM DB K
Kẻ MH CD (H thuộc CD).
MAC = MBK (g.c.g)

1
H
K
D
M
A
B
C
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Xác định vị trí của C,
D sao cho

CMD có diện tích nhỏ nhất ? Tính diện tích nhỏ nhất đó
Sau khi luyện đợc 12 bài tập, các em đã nắm đợc cơ bản phơng
pháp vẽ các yếu tố phụ. Tôi đã nâng cao bài tập lên là đa vào các bài toán
cực trị.

Bài 14: Cho góc nhọn aOb. A là 1 điểm cố định trong aOb. M, N thay
đổi trên Oa; Ob sao cho 2OM = ON. Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN đạt
giá trị nhỏ nhất.
Gợi ý: Ta sẽ tạo ra một đoạn thẳng bằng
2
AN
bằng cách dựng tia Ox
sao cho: aOx = NOA.
Lời giải:
Dựng tia Ox nằm ngoài aOb sao cho aOx = bOa.
Trên tia Ox lấy C sao cho OC =
2
OA

Vẽ OE // m ( E

BC );
Trang 12
b
a
x
N
C
O
A
M
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
OH BC ( H

BC).
Ta có OE // AB, theo
định lý Ta let
BC
EC
AB
OE
=
Chứng minh tơng tự
có :
BC
BE
CD
OE
=

CD
1
AB
1
:Suyra +
( không đổi);
Dấu "=" xảy ra E H m và m' vuông góc BC.
Vậy khi m và m' vuông góc BC thì
CD
1
AB
1
+
đạt GTLN.
Trang 13
m
m'
D
A
H
B
C
O
E
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
Bài tập luyện
Bài 1 : Cho

ABCcó
A

5
b
a

.
Gợi ý : Kẻ BH AD (H AD) và sử dụng BĐT : (a + b)
2
4ab
Bài 3 : Cho

ABCcó diện tích bằng 2006 m
2
. Trên hai cạnh AB ; AC
lần lợt lấy hai điểm E ; G sao cho
DA
CD
EB
AE
=
. Gọi giao điểm của BD và CE là
M. Chứng minh rằng: S
BMC



3
2006
.
Gợi ý: Kẻ DK // EC ( K AB)
Bài 4 : Cho

1
; C
1
. Chứng minh rằng:
a.
6
MC
CM
MB
BM
MA
AM
111
++
b.
8
MC
CM
.
MB
BM
.
MA
AM
111

Gợi ý: Kẻ MK BC ( K BC) ; AH BC (H BC) và sử dụng BĐT
phụ:
2
a

kết luận
1. Bài học kinh nghiệm :
Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học là một việc làm
không thể thiếu đợc. Tuy nhiên đây là một việc làm không hề dễ dàng, và chắc
chắn không thể có một phơng pháp chung cho các bài toán cần vẽ đờng phụ,
hình phụ
Học sinh hiểu rõ rằng, mục đích và cách làm xuất hiện yếu tố phụ.
Trong khi giảng dạy giáo viên cho học sinh tính cẩn thận, sáng tạo, t
duy logic.
Nắm đợc phơng pháp, biết phân tích đợc tình huống cụ thể để tiến
hành vẽ yếu tố phụ là một vấn đề khó với đa số học sinh nên giáo viên phải hết
sức thận trọng, không đợc vội vàng khi hớng dẫn học sinh.
Giáo viên phải chú ý cách trình bày của học sinh vì các em hiểu vấn đề
đấy nhng trình bày đúng, chính xác và chặt chẽ lại là cả một quá trình.
2. Điều kiện áp dụng :
Tôi báo cáo kinh nghiệm này trớc tổ KHTN đã đợc các đồng chí giáo
viên trong tổ góp ý bổ sung những phần khiếm khuyết, sau đó tôi hoàn thiện
và dạy chuyên đề các em trong đội tuyển học sinh giỏi.
3. Vấn đề còn hạn chế và tiếp tục nghiên cứu:
Nh trên đã nói không có phơng pháp chung nào để giải những bài toán
chứng minh bất đẳng thức hình học. Nên để giải những bài toán này, đòi hỏi
ngời làm toán đứng trớc một bài toán cần có sự định hớng tốt về phơng pháp
giải từ đó vận dụng các kiến thức liên quan, kỹ năng chứng minh hình học và
biến đổi đại số. Xong định hớng nh thế nào đòi hỏi cả một quá trình các em
phải làm nhiều do vậy mức độ tiếp thu ngay đợc ý tởng của thầy còn khó khăn
và cách vận dụng của các em còn nhiều lúng túng và đôi khi gặp bài toán tởng
chừng nh bế tắc bởi vì không biết bắt đầu từ đâu và không phải học sinh nào
cũng có thể tìm cách vẽ đợc ngay các yếu tố phụ thích hợp để dẫn tới lời giải
Trang 16
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận

.

.
2
2
14
Kết luận

.
16

Trang 18
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
Tài liệu tham khảo
1) Phơng pháp giải toán hình Trần Văn Kì
2) 255 Bài toán hình học chọn lọc Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Dơng
Thuỵ
3) Toán bồi dỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình Tôn Thân
4) Giúp học tốt hình học 9 Nguyễn Bá Kim Nguyễn Tiến Quang.
5) Các bài toán bất đẳng thức hay và khó Nguyễn Đễ Vũ Hoàng
Lâm
6) Tuyển chọn theo chuyên đề tạp chi Toán học & Tuổi trẻ
7) Tạp chí Toán Tuổi thơ 2
Trang 19
Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận
ý kiến nhận xét đánh giá của tổ KHTN.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Văn Giang, ngày tháng năm 2009
T/M HĐ KH phòng gdvăn giang
Trang 22