Giải PT Vô tỉ bằng phương pháp liên hợp
Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợp
Có rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tính tự
nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương pháp này.
Cho hàm số , xác định trên .
Ta biết là nghiệm phương trình
0
0
( ) 0
( ) 0
D
f
x
f x
f x
∈

= ⇔

=

.
Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì . Từ đây ta
có nhận xét:
Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về dạng
và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình
. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).
Giải: Điều kiện : .
Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là
những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến

− − + −
 
− + − = − − − − −
 ÷
 ÷
 
 
(Điều kiện : ).
* Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh
phương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìm cách
chứng minh VT(*) < VP(*).
Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).
Giải: Điều kiện: .
Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .
Ta có:
(Do biểu thức trong dấu () >0). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 4: Giải phương trình: .
2
Giải: Điều kiện: .
Nhận thấy phương trình có một nghiệm .
Phương trình
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :
(*) thử lại ta thấy hai nghiệm này
đều thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép
biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi
những nghiệm ngoại lai.
Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm
tương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là
khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử

tử chung không còn đơn giản vậy nữa.
3
Ví dụ 8: Giải phương trình: .
Giải:
Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT
ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số
chung là một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các
bạn thử nghĩ xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay
không? Chắc chúng ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta
tính được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là
tam thức nên ta biến đổi như sau:
Phương trình
là nghiệm của phương trình.
Chú ý : 1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể làm cách khác
như sau:
Cách 2: Vì không là nghiệm phương trình nên.
Phương trình
Vì (*) vô nghiệm, nên phương trình có hai nghiệm: .
2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế
nào ?.
Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:
4
.
Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .
3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2
sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương
trình (*), còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn
nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.
Ví dụ 9: Giải phương trình : .
Giải: Điều kiện : .

2
3 21 4 3 4 3
(1) 4 3 0( ) 3 2 1( )
2 5 1
3 2
1
( ) 1, 4 3 2
3
( 1)( 8 2) 0
x x
x x=5x
x
x
x
x x
x x a v x b
x
x
b x x
x x
− − + − +
≠ → ⇔ = ⇔ − + = + + −
−
+ +

≥

⇔ ⇔ = = +



Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Ví dụ 11 : Giải bất phương trình : .
Giải: Điều kiện :
Bất phương trình .
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
1 2 1
2 1 3
4
1
2( 3) 3
3 0
( 4)( 1) 4 1(2 1)
x x x
x
x
x
x x
x
x x x x x x
 
+ + − +
− + − ≤
 ÷
 ÷