CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường THPT N am Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 1
LỜI NÓI ðẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm m ột vị trí hết sức quan trọng trong Toán học,
tích phân ñ ượ c ứng dụng rộn g r ãi n h ư ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay,
nó còn là ñố i tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết
phươn g t r ì nh v i p h â n , p h ươn g tr ì n h ñạ o hàm riêng Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược
ứng dụn g rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn họ c, y học
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớ p 12, tiếp theo
ñược phổ biến trong tất cả các trườn g ðại học cho khối sinh viên năm t h ứ nhất và năm t h ứ
hai trong chương trình học ð ạ i cươn g. Hơn nữa trong các kỳ t h i T ốt nghiệp THPT và kỳ
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề t hi môn Toán của
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những
nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu v à o h ệ Th ạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm q u a n t r ọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm g i ảng dạy t í n h t í c h p h â n c ủa khối 12 với chuyên ñề
“TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠN G P H Á P P H Â N T Í C H - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG P H Ầ N”
ñể
phần nào củn g c ố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tản g
trong những năm h ọc ðại cươn g c ủa ðại học.
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phươn g ph á p ñổi biến số,
phươn g p há p t í c h p h â n t ừng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳn g c ủa các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ n ăng tính tích
phân và phần cu ố i củ a chuyên ñề là một số c â u hỏi trắc nghiệm t í c h p h â n .
T u y n h i ê n v ới kinh nghiệm c ò n h ạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chu yê n ñề nà y sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñư ợc sự góp ý chân tình của
quý Thầy C ô t r o n g H ội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục v à ðào t ạo t ỉnh ðồng Nai. Nhân dịp

II.5. Phương pháp tích phân từng phần 23
Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề t hi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28
III. Kiểm t r a k ết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính
CASIO fx570-MS 29
Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm t í c h p h â n 3 0
Phụ l ục 36
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 3
I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñ ượ c gọ i là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu vớ i mọi
x∈(a;b):
F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F ( x ) = x
3
là n guyên hàm c ủa hàm số f(x) = 3x
2
trên R
b) Hàm số F ( x ) = l n x là n g uyê n h àm c ủa hàm số f(x) =
1
x
trên (0;+∞)
I.2. ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Vớ i mọi hằng số C , F ( x) + C cũn g là m ột nguyên hàm của f(x) trên khoản g ñó.
b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoản g ( a; b ) ñều có thể viết
dưới dạng F(x) + C với C là một hằn g s ố.
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một
nguyên hàm nào ñó c ủa nó rồi cộng vào nó một hằ ng số C .


2)
(
)
≠
∫ ∫
= a 0
a.f(x)dx a f(x)dx
3)
 
 
∫ ∫ ∫
= ±
f(x)±g ( x ) dx f(x)dx g ( x ) d x

4)
(
)
(
)
⇒
∫ ∫
=
f(x)dx = F(x)+C f u(x) u'(x)dx F u(x) +C
VD3: a)
(
)
∫
4 2 5 3 2
-6x+ - 2x + 4x

∫
∫
∫
∫ ∫
+1
x x
x
x
2
2
2
2
dx= x + C
x
x dx= + C ( -1)
+1
dx
= lnx +C (x 0)
x
e dx= e + C
a
a dx= + C 0 < a 1
lna
cosxdx= sinx+ C
sinxdx= -cosx+C
dx
= 1+tg x dx= tgx+ C (x k )
cosx 2
dx
= 1+cotgx dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+ 1
u u
u
u
2
2
2
du= u+C
u
u du= +C ( -1)
+1
du
= ln u +C (u = u(x) 0)
u
e du= e +C
a
a du= +C 0 <a 1
lna
cosudu= sinu+C
sinudu= - cosu+C
du
= 1+tg u du= tgu+C (u k
1/

≠
≠
α
≠
≠
≠ ∈ ≠
≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
ax+b ax+b
kx
kx
1
dx = 2 x + C (x 0)
x
ax+b
1
ax+b dx= + C (a 0)
a +1
1 1
dx= ln ax+ b + C (a 0)
ax+b a
1
e dx= e + C (a 0)
a

cotgxdx= lnsinx+ C (9/ x
/
k
8
)


CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA
:
m n m+n
m
m-n -n
n n
1 n
nm
m
m m
a . a = a
a 1
= a ;
1/
2/
3/
= a
a a
a = a ; a = a


1/
2/
3/
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 5
II. TÍCH PHÂN:
II.1. ð Ị NH NGHĨA T Í C H P H Â N X Á C ðỊNH:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ c ủa K,
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñư ợ c gọi là tích phân từ
a ñến b của f(x). Ký hiệu :
∫
b
a
b
a
=
f(x)dx= F ( x ) F(b) - F(a)
II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
=
∫
( ) 0
/ 1
a
a
f x dx

= −
∫ ∫
2/

( ) 0 , [ ; ]
thì
≥
∫
a
( ) 0
b
f x dx
.
7/
Nếu
≥ ∀ ∈
f x g x x a b
( ) ( ), [ ; ]
thì
≥
∫ ∫
a
( ) ( )
b
b
a
f x dx g x dx
.
8/
Nếu
≤ ≤ ∀ ∈
m f x M x a b
( ) , [; ]
thì

= + +
1 1
( ) ( ) ( )
m m
f x k f x k f x
Trong ñó :
≠ =
i
k i m
0 ( 1 , 2 , 3 , . . . , )
các hàm
=
i
f x i m
( ) ( 1 , 2 , 3 , . . . , )
có trong bảng nguyên
hàm cơ bản.
VD4: Tính các tích phân sau:
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 6

∫
2
2 3 2
-1
3 2 3 2
2
-1
= (3x - 4x+3)dx= ( x -2x+3x)

4
(x -3x+ 4x -2ln|x|-) 4-2ln2
x
3) I
∫
2
2
0
x -5x+3
=
dx
x +1
Nh
ậ
n xét: Câu 3 trên ta c
ũ
n g c h
ư
a áp d
ụ
n g n ga y
ñượ
c các công th
ứ
c trong b
ả
n g
nguyên hàm, tr
ướ
c h

sun g .

I 6x
 
⇒ − +
 
 
 
 
 
∫ ∫
2 2
2
0 0
2
2
0
x -5x+3 9
= dx = dx
x +1 x +1
x
= -6x+9ln|x+1|= 2 -12+9ln3= 9ln3 -10
2
( )
4 ) I
∫
1
x -x x - x -x
0
= e 2x e +5e -e dx

ọ
n r
ồ
i áp
d
ụ
ng tính ch
ấ
t 4 và s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c 1/, 2/, 5/ trong b
ả
ng nguyên hàm.

( ) ( )
1
0
I
 
⇒ =
 
 
∫ ∫
1 1
x
x -x x -x - x x 2

d
ụ
n g c ô n g t h
ứ
c 6/, 7/ và 8/
trong b
ả
ng nguyên hàm.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 7
6) I
π
π
=
∫
8
0
8
0
= (4sin2x - 12cos4x)dx (-2cos2x - 3sin4x) =
- 2 -3+2= -1- 2
Nhận xét: Câu 6 trên ta cũn g c h ỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụn g c ô n g t h ức 6/ ,
7/ trong bản g n g uy ê n h à m p hần c ác c ô n g thức bổ s u n g .
7) I
π
π
∫
12
0

12 12 12
0 0 0
12
0
2
1 1
= sin (2x - )dx = 1-cos(4x- ) dx= 1-sin4x dx
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1
= x + c o s 4 x = + cos - 0 + c o s 0 = -
2 4 2 12 4 3 2 4 24 16
1
8/ I
π
∫
16
0
= cos6x.cos2xdx
Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũn g c h ưa áp dụng
ngay ñược c ác công thức trong bảng nguyên hàm, trước hế t phải biến ñổi lượng giác biến
ñổi tích thành tổng rồi áp dụn g tín h c hất 4 và sử dụn g c ôn g t h ức 6 / trong bảng nguyên hàm
phần các công thức bổ sung.
( )
I
π π
π
 
⇒ =
 
 

học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x
2
– 1 trên [-2;2] và kết hợp
vớ i tính chất 5/ của tíc h phân ñ ể khử giá trị tuyệt ñối.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 8
( ) ( ) ( )
I
5
⇒ − +
     
− + =
     
     
∫ ∫ ∫ ∫
2 -1 1 2
2 2 2 2
-2 -2 -1 1
3 3 3
-1 1 2
-2 -1 1
= x -1dx= x -1dx x -1dx x -1dx
x x x
= - x - x - x
3 3 3
10) I
∫
3
2

= dx = - dx = 4ln |x-5|-ln|x+1|
x - 4x-5 x -5x +1
4
4ln2 -ln4-4ln3+ln3= 2ln2 -3ln3= ln
27

Chú ý 2: ð ể tính I
≥
∫
2
2
a'x+b'
=
dx (b - 4ac 0)
ax +bx+c
ta làm như sau:
TH1: Nếu
2
b - 4ac= 0
, khi ñó ta luôn có sự phân tích
2 2
b
ax +bx+c= a(x +
)
2a

I⇒
∫ ∫ ∫
2 2
b ba' ba'

= dx = ( + )d x
a (x - x )(x - x ) a x - x x - x
.
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 9
Chú ý 3:
TH1: ðể tính
I
∫
1 2 n
P(x)
= dx
(x -a)(x -a) (x -a)
ta làm như sau:
1 2 n
1 2 n 1 2 n
A A A
P(x)
= + + +
(x -a)(x -a) (x -a) (x -a) (x -a) (x -a)
TH2: ðể tính
I =
∫
m k r
1 2 n
P(x)
dx
(x -a) (x -a) (x-a)
ta làm như sau:

3
0
= (x x +2x+1)dx
2) Ι =
∫
2
2
3
2
1
2x
x + x x -3x+1
dx
x

3) I
∫
0
3 2
-1
x -3x-5x+3
= dx
x -2
( )
4) I
∫
2
2
2
-2

2
1
dx
=
x -5x+6
10) I
∫
1
0
dx
=
x +1+ x

11) I
∫
2
x +2x+6
= dx
(x -1)(x- 2)(x- 4)

12) I
∫
2
3
x +1
= dx
(x -1)(x +3)
13) I
∫
4 2


Trong một số trường hợ p tính tích phân mà không tính trực tiếp bằn g c ô n g t h ức hay
qua các bước phân tí ch ta vẫn không giải ñư ợc. Ta xét các t rườn g hợp c ơ bản sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I=
∫
2
2
2
0
dx
2 -x
Phân tích: Biểu thức tro ng dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn
bằng phép biến ñổ i bình phươn g h a i v ế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa căn bậc hai về
dạng
2
A
, khi ñó ta sẽ liên tưởng ngay ñến công thức:
2 2
x = x = x
1-sin c o s c o s
, do ñó:
ðặt
⇒
x = 2sint dx = 2costdt
,
;
π π
 
 

0 ;
π
 
⇒
 
 
∈ cost >0
6
t )
Trong VD trên khi ta thay ñổi như sau:
I =
∫
2
2
0
dx
2 -x
. Học sinh làm tương tự và
ñược kết quả
I
2
π
=
. Kết quả trên bị sai vì hàm số
( )f x =
2
1
2-x
không xác ñịn h kh i
2

ðổi cận:
π
⇒ ⇒
6 6
x = 3sint= t =
2 2 4
⇒ ⇒
x = 0 2sint= 0 t = 0
( )
π π π
π
π
 
 
 
 
 
 
⇒
∫ ∫ ∫
4 4 4
4
2 2
0 0 0
0
. = =
3 3 1 3 1
I = 3 -3sint 3cost.dt 3cos t.dt 1+cos2t .dt = t+si n2 t = +
2 2 2 2 4 2
a) Khi gặp dạng

x = x =a. x
a -as i n a c o s c o s
)
ðổi cận: x =
β

⇒
t =
β
’
;
π π
 
 
 
∈
-
2 2

x =
α

⇒
t =
α
’
;
π π
 
 

t.
' '
' '
t
β β β
α α α
= =
∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2
a.cost
dx dt
h a y dt
a -x a -asinðến ñây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính ñượ c tích
phân theo biến số t một cách dễ dàng. Ở ñây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân
này là hàm số theo biến số t ñơn ñiệ u trên [α;β].
Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau:
b) Khi gặp d ạn g
β β
α α
∫ ∫
2 2
2 2
dx
a -u(x)dx hay
a -u(x)
(a > 0)
ðặt

2 2

x =
α

⇒
t =
α
’
;
π π
 
 
 
∈ -
2 2

VD6: Tính tích phân sau:
I
∫
6
2+
2
2
2
= -x +4x-1 dx
. Ta có:
( )
I
∫

( )
I
π π
π
π
π
 
 

 
 
 
 
⇒
∫ ∫
∫
4 4
2 2
0 0
4
4
0
0
. =
=
= 3 -3sint 3cost.dt 3cost.dt
3 3 1 3 1
1+cos2t.dt= t + sin2t = +
2 2 2 2 4 2
VD7: Tính tích phân sau:

⇒ ⇒
x = 0 2tgt= 0 t = 0
( )
I
π π
π
π
⇒
∫ ∫
2
4 4
4
2
0 0
0
= = =
2.1 + t g t d t
2 2 2
d t = t
2+2tgt 2 2 8
c) Khi gặp dạng
β
α
∫
2 2
dx

a +x
(a > 0)
Nhận xét: a

;
π π
 
∈
 
 
-
2 2

x =
α

⇒
t =
α
’
;
π π
 
∈
 
 
-
2 2

Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo:
VD8: Tính tích phân sau:
I
∫
1 + 2

x -1= dx = 2.1+tg t dt
,
;
π π
 
∈
 
 
t -
2 2
ðổi cận:
π
⇒ ⇒x = 1+ tgt = 1 t =
4
2
0
⇒ ⇒x = 1 tgt = 0 t =
( )
I
π π
π
π
=
⇒
∫ ∫
2
4 4
4
2
0 0

;
π π
 
∈
 
 
t -
2 2
ðổi cận:
x =
β

⇒
t =
β
’
;
π π
 
∈
 
 
-
2 2

x =
α

⇒
t =

B1: ðặt
x = u(t)
(với u(t) là hàm có ñạo h à m l i ê n t ục trên
α β
[ ; ]
, f(u(t)) xác ñịnh trên
α β
[ ; ]
và
α β
= =
( ) , ()
u a u b
) và xác ñịnh
α β
,
B2: Th a y v à o ta có:
( )
I
β
β
α
α
β α
∫ ∫
b
a
= f(u(t)).u'(t)dt = g(t)dt =G(t)=G() -G
M
ộ

ườ
ng
ñặ
t
a
x = sint
b
* Hàm s
ố
trong d
ấ
u tích phân ch
ứ
a

2 2 2
2 2 2
b x -a
b x -a
1
h a y
ta th
ườ
ng
ñặ
t
a
x =
bsint
* Hàm s

2
a
x = sin t
b

BÀI T
Ậ
P
ðỀ
NGH
Ị
2: Tính các tích phân sau:

1) I
∫
1
2
0
= x 1-x dx
2) I
∫
2
1
2
0
x
=
dx
4 -3x


2
0
dx
=
x + x +1
H
ướ
n g d
ẫ
n: Câu 4:
ðặ
t
1
x =
si nt
Câu 5:
ðặ
t
2
x = 2sin t
VD9: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: N
ế
u h à m s
ố
f( x ) li ê n t
ụ

si n x
= dx
sin x +cosx
2) I
π

∫
4
0
= l n ( 1 + t g x ) d x
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 15
Giải
VT =
( )
π
∫
2
0
f sinx dx
ðặt
π
⇒
x = -t
dx = -dt
2
.
ðổi cận
π π

4 4
0
sin x
= dx
sin x +cosx
ðặt
π
⇒
x = -t
dx = -dt
2
.
ðổi cận
π π
⇒ ⇒
x = 0 t = ; x = t = 0
2 2
I
π π
π
π
π π
∫ ∫ ∫
4
4 4
0
2 2
4 4 4 4
4 4
0 0

ðặt
π
⇒
x = -t
dx = -dt
4

ðổi cận
π π
⇒ ⇒
x = 0 t = ; x = t = 0
4 4
I
I
π π π
π
π
π π
⇒
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
4 4 4
0
0 0 0
4
1-tgt
= - l n [ 1 + t g ( -t)]dt= l n ( 1 + ) d t = [ l n 2 -ln(1+tgt)
] d t =ln2.d t -I
4 1+tgt
l n 2 . l n 2

0
= 2 f(x)dx
nếu f(x) là hàm số c hẵn.
b)
I = 0
nếu f ( x ) l à h àm s ố l ẻ.
3) C h ứn g mi n h r ằng: Nếu f(x) là hàm số c h ẵn t h ì
∫ ∫
b b
x
-b 0
f(x)
dx = f(x)dx
a +1
.
Áp dụn g : T í n h
∫
2
2
x
-2
2x +1
I =
dx
2 +1
.
4) C h ứn g mi n h r ằng:
π π
π
∫ ∫

b) I =
∫
1
3
2
0
1-x dx
(ðH Y HP 2000)
c) I =
∫
2
2 2
0
x 4-x dx
(ðH T.Lợ i 1997)
d) I =
∫
a
2 2 2
0
x a - x dx
(ðH SPHN 2000)
e) I =
∫
3
2
2
1
2
dx

Nếu tích phân có dạng
 
 
∫
b
a
f u(x ) u' (x ) dx
ðặt:
⇒u = u(x) du= u'(x)dx
ðổi cận:
⇒
2
x = b u = u(b)
1
⇒
x = a u = u(a)
( )
I⇒
∫
2
1
u
u
= f u du
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 17
a) Một số d ạng cơ b ản thườn g g ặp k hi ñổi biến số loại 2:(Dạn g n g h ịch)
Trong một số trường hợ p tính tích phân bằn g p h ương pháp phân tích hay tính tích
phân bằn g t í c h p hân ñổi biến số loại 1 không ñư ợc nhưng ta thấy b i ểu thức t rong dấu tích

3 5 2
0
= ( x +1)x d x
ðặt:
⇒
⇒
3 2 2
du
u = x +1 d u =3xdx x d x =
3
ðổi cận:
x 0 1
u 1 2
I⇒
∫ ∫
2 2
2
6 6 6
5 5
1
1 1
= = = - =
du 1 u 2 1 7
= u u du
3 3 18 18 18 2
b ) I
π

∫
2

2
2 2
= = - =
4u 4.4 4.2 224
= u.4u.du = 4u .du
3 3 3 3
b)
I
∫
2
2 3
0
= 1+2x .x .dx
(HD:
I
∫
2
2 2
0
= x . 1+2x .xdx
)
ðặt
⇒ ⇒
2
2 2 2 2
-
=
u 1
u = 1+2x u = 1+2x x
2

ðổi cận:
x 0 1
u 1 2
⇒
∫ ∫
2 2
2
2 2 2 2
1
1 1
= = = - =
u 1 1u 2 1 3
I = du udu
7u 7 14 14 14 14
3.a)
I
∫
1
3
2
0
+
x
=
dx
x 1
Ta có:
I
∫
1

2 2
2
1
1 1
= = = =
u-1 1 1 1 1
= du 1- du u-ln|u| 2 -ln2-1 1-ln2
2u 2 u 2 2
b)
I
∫
2
2
3
1
=
x
dx
x +2
(HD: ðặt
3
u = x +2
)
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 19
4.a)
I
π
∫

0
= =
u 1
= u du
5 160
b)
I
π
∫
2
0
sinx
=
dx
1+3cosx
(HD: ðặt
u = 1+3cosx
)
c)
I
π
∫
2
0
= 1+3sinx .cosxdx
(HD: ðặt
u = 1+3sinx
)
5.a)
I

-2udu
2udu = -3sinxdx sinxdx =
3
ðổi cận:
x
0
2
π

u 2 1
( )
 
 
 
 
 
 
   

   
   
⇒
∫ ∫
2
1 2
2
2 1
2
3 3 3
1

Ta có
( )
I
π π
∫ ∫
2 2
0 0
sinx 2cosx +1
2sinxcosx +sinx
= dx= dx
1+3cosx 1+3cosx
ðặt
⇒
-u 1
u = 1+3cosx cosx =
3

⇒ ⇒
-du
du= -3sinxdx sinxdx =
3
ðổi cận:
x
0
2
π

u 4 1
( )
4 4

4 1
4
1
-
1
= 2 + = 2 u u +2u
= + 4 2
u 1 -du
2 + 1
2u+1
1
3 3
I = du = du
9
u u
1 1 1 4
u
9 9 9 3
u
1 32 4 34
9 3 3 27
Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy p h ức tạp hơ n so
vớ i cách 1.
b)
I
π
∫
2
0
sin2x.cosx

I
 
 
 
⇒
∫
2
2
3
2
1
1
= = - =
u 8 1 7
= u du
3 3 3 3
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 21
b)
I
π
∫
4
2
2
0
tg x - 3tgx +1
= dx
cos x


u 1 0
I⇒
∫ ∫
0 1
1
u u u
0
1 0
= = = -
= - e du e du e e 1
b)
I
π
∫
2
2
p
4
3cotgx+1
= dx
sin x
(HD: ðặt
u = 3cotgx+1
)
8.a)
I
∫
3
e

= u . 2 u d u = u du - =
3 3 3
b)
I
∫
7
e
3
1
ln x . 1+lnx
=
dx
x
ðặt
⇒ ⇒
3 3
3
-
u = 1+lnx u = 1+lnx u 1=lnx
⇒
2
dx
3u du =
x
ðổi cận:
x 1
7
e

u 1 2

3
0
= 5sinx -1c o s x.dx

b) I
∫
2
2 3
0
= 1+2x.x .dx
c ) I
∫
1
2
3
3
0
x
=
dx
1+26x
d) I
∫
p
2
0
sinx
=
dx
1+3cosx


i ) I
π
∫
4
3
0
= ( 1 + s i n 2 x ) . c o s 2 x . d x
j) I
∫
p
2
3
0
= sinx - sin x.dx
k) I
π
∫
2
2
0
sin2x
=
dx
1+cosx

1
l) I
π
+

∫
2
2 3
1
= x +2.x.dx
(TNTHPT Năm 9 6 - 9 7 )
d ) I
π
∫
2
2
0
= c o s 4 x . d x
(TNTHPT Năm 9 8 - 9 9 )
e ) I
π
∫
6
0
= ( s i n 6 x s i n 2 x + 6 ) . d x
(TNTHPT 00-01)
f ) I
π
∫
2
2
0
= ( x + s i n x ) c o s x . d x
(TNTHPT 04-05)
3. Tí nh các tíc h ph â n sau: (C ác ñề thi tu yển sinh ðại học)

(ðH khối D – 2005)
d) I
π
∫
2
2 2
0
sin2x
= dx
cos x + 4sinx
(ðH khối A – 2006)
e) I
∫
ln5
x -x
ln3
dx
=
e +2e-3
(ðH khố i B – 2006)
f) I
∫
1
2x
0
= (x -2)edx
(ðH khối D – 2006)
4. T ín h các tí ch ph ân sau: (Cá c dạn g k há c )
a) I
∫

= dx
6cosx -2
e) I
∫
7
e
3
1
1
=
dx
x 1+lnx
f) I
∫
3
e
1
1+lnx.dx
=
x.lnx
g) I
∫
7
e
3
1
lnx. 1+lnx
=
dx
x

x
0
= e -1 dx
m) I
∫
e
x
0
(x +1)
=
dx
x(1+xe )
(HD: t = xe
x
)
5. Tí nh các tíc h ph â n sau: (C ác ñề thi tu yển sinh ðại học)
1) I =
∫
7
3
2
0
x dx
1+x
(ðH T.Mại 1997);
( )
1
0
2 ) I =
∫

(ðHBKHN98);
( )
6 ) I
π
=
∫
2
4 4
0
c o s 2 x s i n x+cosx d x
(ðHBKHN 98)
7) I =
∫
7
3
3
0
x +1
dx
3x+1
(ðH GTVT 1998);
1
0
8) I =
∫
x
dx
e +1
(ðH QGHN 1998)
9) I

π
=
∫
4
2
4 4
0
sin x
dx
sin x +cosx
(ðH GTVT 1999)
13) I =
∫
1
2x
0
dx
e +3
(ðH Cñoàn 2000);
14) I =
∫
ln2
2x
x
0
e dx
e +1
(ðH BKHN 2000)
15) I
π

18) I
π
=
∫
2
0
cosx
dx
sinx + c o s x
( ðHNN1-KB 01)
( )
19)
I
=
∫
2
4
1
dx
x x +1
(ðH Aninh 2001)
20)
π
Ι =
∫
2
2
0
cos xsin2xdx
(ðH NL HCM 2001)

∫
4
2
0
1-2sinx
dx
1+sin2x
(ðHCð khối B 2003)
25) I =
∫
2 3
2
5
dx
x x + 4
(ðH-Cð khối A 2003);
1
0
26) I
=
∫
3 2
x 1-x dx
(ðH-Cð khối D 2003)
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI
Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai
Trang 24
II.5. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tụ c trên ñoạn [a;b] thì:

u.dv u . v v .d u
a) Phương pháp tính tích phân từng phần:
Bước 1: Biến ñổ i
( ) ( ) ( )
I
b
a
= =
∫ ∫
b
1 2
a
f x dx f x f x dx
Bước 2: ðặt
( )
( )
(
)
( )


 
⇒
 




∫
1

(
)
(
)
(
)
; ; ;

n x n x
P x s i n ( n x ) . d x P x c o s ( n x ) . d x P x . e d x P x .a d x
ta nên ñặt:



nx nx
u = P(x)
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay
a dx

Dạng 2:
(
)
(
)
;

a
P x lnx.dx P x log x.dx
ta nên ñặt:


VD 11: Tí nh các tích phâ n sau :
1.
I =
π
∫
3
0
(3x -1)cos3xdx
ðặt:

  







⇒
du = 3dx
u = 3x-1
1
dv = cos3 x dx
v = sin3x
3
I
π
π π
⇒
∫

2
dx
du =
u = ln(x+1)
x + 1
dv =(2x+1)dx
v = x + x = x ( x + 1 )
I =⇒
∫
1
1
2
1
2
0
0
0
- =
x
(x +x)ln(x+1)x d x 2ln2-
2
1 1
= 2ln2- = - +ln4
2 2
3.
( )
I
∫
1
2 2x

Β
I =⇒
∫
1
1
2 2x 2x
0
0
1 1
4x -2x-1 e - (4x - 1) e dx =
2 2
( ).
A
= +
=
1
2 2x 2
0
1 1 1
4x -2x-1 e e
2 2 2
( ).
Β
=
∫
1
2x
0
(4x - 1)e dx
ðặt:

A -
Β = - 1
I =⇒
Nhận xét: Ví dụ trên là dạn g 1 của tích phân từng phần
(
)
∫
n x
P x . e d x
do ñó hướn g
học sinh ñặt u = P(x) nhưng do P(x) là tam thức bậc hai nên ta tính t ích ph ân từng phần
hai lần. Tù ñó rút ra nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) là ña thức bậc k thì tính tích
phân từng phần k lần.