Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
1. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x – 6y b) 5x – 20y
c)
2
5 ( 1) 3 ( 1)− − −x x x x
d)
x(x y) 5x 5y+ − −
e)
f )x(x y) y(y x)− + −
g)
2 2
3x (y 2z) 15x(y 2z)− − −
h)
2 2 2
12x y 18xy 30y− −
f)
x(y 1) 3(y 1)− + −
i)
2
16x (x y) 10y(y x)− − −
k)
x(2y z) x(z 2y)− + −
l)
3x(x y) 2y(y x)− + −
2. Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2
5x(x 2y) 2(2y x)− + −

- Nâng cao :
n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b (a b)(a ab ab b )
− − − −
− = − + + + +

n n n 1 n 2 n 2 n 1
a b (a b)(a ab ab b )
− − − −
+ = + + + + +
(n lẻ)
Từ đó :
n n
n n
2k 2k 2 2
a b a b (n N,a b)
a b a b (n N,n le, a b)
a b a b (k N,a b)
− − ∈ ≠
+ + ∈ ≠ −
− − ∈ ≠ ±
M
M
M
B. BÀI TẬP
1. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 2 2
6 6 2
a)x 9 b)9x 6xy y
c)x y d)6x 9 x

3 2 2 3
y 12y x 48yx 64x− + − +
d)
6 4 6
64x y 27y−
e)
2
(x y) 4− −
e)
2 2 2
100x (x 25)− +
f)
2
(x y 5) 2(x y 5) 1+ − − − + +
g)
2 2 2 2 2
(x 4y 5) 16(x y 2xy 1)+ − − + +
h)
3 3
(a b) (a b)+ + −
t)
3 3
(a b) (a b)+ − −
III. PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ
1. Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
2 2
a) x 4x y 4+ − +
2 2 2
b) 3x 6xy 3y 3z+ + −
c)

x(2x 7) 4x 14− − +
e)
2xy z 2x yz+ + +
g)
x(x y) x y− + −
h)
2x 2y x(x y)+ − +
i)
2
5x 5xy 10x 10y− − +
k)
2
4x 8xy 3x 6y+ − −
l)
2 2 2
2x 2y x z z y z 2+ − + − −
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
2 2
x xz 9y 3xyz− − +
b)
3 2
x x 5x 125− − +
c)
3 2
x 2x 6x 27+ − −
d)
3 2
12x 4x 27x 9+ − −
4. Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử :

2 2 2 2 2 2
(a b)(a b ) (b c)(b c ) (a c)((c a )+ − + + − + + −
d)
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)− + − + −
Lời giải
a) (a b c)(ab bc ac) abc a(ab bc ac) (b c)(ab bc ac) abc+ + + + − = + + + + + + −
2 2
2 2
2
a b abc a c (b c)(ab bc ac) abc
(a b a c) (b c)(ab bc ac)
a (b c) (b c)(ab bc ac)
= + + + + + + −
= + + + + +
= + + + + +
2
(b c)(a ab bc ac)= + + + +
Trường THCS Yên Lương
2
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2
(b c) (a ab) (bc ac)
 
= + + + +
 
[ ]
(b c) a(a b) c(b a)
(b c)(a b)(a c)
= + + + +

= + − − + − + + − + + −
= +
= − b)(a c) (a c)(a c)(a b)
(a b)(a c)[a b a c]
(a b)(a c)(b c)
+ − − − + −
= − − + − −
= − − −
d)
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)− + − + −
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x (y z) y [(z y) (x y)] z (x y)
x (y z) y (z y) y (x y) z (x y)
(y z)(x y ) (x y)(z y )
(y z)(x y)(x y) (x y)(y z)(y z)
(x y)(y z)[(x y) (y z)]
(x y)(y z)(x z)
= − + − − − + −
= − + − − − + −
= − − + − −
= − − + − − − +
= − − + − +
= − − −
IV. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
A. DẠNG 1 : Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử :
2
ax bx c+ +

=

. Sau đó ta phân tích tiếp .
Các bước giải:
Bước 1: Tính tích ac
Bước 2: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên.
Bước 3: Chọn hai số có tổng bằng b.
Trường THCS Yên Lương
3
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2) Cách 2: (Tách hạng tử thứ nhất, hoặc thứ ba)
Cách này tách ra nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức (thường là hiệu của hai
bình phương).
1. Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2
4x 8x 3− +
b)
2
3x 8x 4− +
Lời giải
a)Cách 1:
Bước 1: Nhận thấy a.c = 12
Bước 2: Phân tích ac = 2.6 = (-2).(-6) = 3.4 = (-3).(-4) = 1.12 = (-1).(-12).
Bước 3: Sau đó nhận xét cặp số có tổng bằng -8 . Từ đó: b = -8 = (-6) +(-2)
Phân tích thành nhân tử:
2
4x 8x 3− +
2
4x 6x 2x 3= − − +

= − − +
= − −
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
2
3x 11x 6− +
b)
2xh2 3x 27+ −
c)
2
8x 10x 3+ −
d)
2
x 5x 6+ +
e)
2
x 2x 15+ −
f)
2
8x 2x 1− −
g)
2
x x 6− −
h)
2
x 9x 14− +
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
2 2
2x 5xy 27y− −

Phương pháp: Với đa thức bậc 3 trở lên tuỳ theo đặc điểm các hệ số ta có cách
Trường THCS Yên Lương
4
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
tách riêng cho phù hợp.
1. Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)
3
x x 2+ +
b)
3 2 2 3
x 3x y 9xy 5y+ − +
c)
3 2
x 5x 3x 9+ + −
Giải
A
3 3
x x 2 x 1 x 1+ + = + + +

2
2
2
(x 1)(x x 1) (x 1)
(x 1)(x x 1 1)
(x 1)(x x 2)
= + − + + +
= + − + +
= + − +
b)

2 2
2
2
2
2
(x 1)(x x 1) 5(x 1) 3(x 1)
(x 1)(x x 1 5(x 1) 3)
(x 1)(x x 1 5x 5 3)
(x 1)(x 6x 9)
(x 1)(x 3)
= − + + + − + −
= − + + + + +
= − + + + + +
= − + +
= − +
V. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
A. LÝ THUYẾT :
“Phân tích đa thức :
n n 1
n n 1 1 0
f (x) a x a x a x a
−
−
= + + + +
thành nhân tử.”
1. Định lí Bê – du :
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a đúng bằng f(a).
2. Hệ quả định lí Bê – du :
Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho x – a.
Đặc biệt :

x 7x 6− +
g)
3 2
x 9x 6x 6− + +
h)
3 2
3x 7x 17x 5− + −
i)
3 2
x 5x 8x 4+ + +
2. Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
3 2
x 5x 8x 4+ + +
b)
3 2
x 9x 6x 16− + +
c)
3 2
x x 4− −
d)
3 2
x x x 2− − −
e)
3 2
x x x 2+ − +
f)
3 2
x 6x x 30− − +
g)

a)
2 2
(x x 1)(x x 2) 12+ + + + −
b)
(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24+ + + + −
c)
2 2
(x 2xy y ) 3x 3y 4− + + − −
d)
2 2
(12x 12xy 3y ) 10(2x y) 8− + − + +
e)
4
(x a)(x 2a)x 3a)(x 4a) a+ + + + +
f)
2 2 2 2 2
(x y z )(x y z) (xy yz zx)+ + + + + + +
g)
x(x 4)(x 6)(x 10) 128+ + + +
h)
(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 15+ + + + −
i)
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4
2(x y z ) (x y z ) 2(x y z )(x y z) (x y z)+ + − + + − + + + + + + +
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử :
Trường THCS Yên Lương
6
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
a)
3 3 3

- Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.
- Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện thừa số chung.
B. BÀI TẬP
1. BÀI 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : (Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm
xuất hiện hiệu của hai bình phương).
a)
4 4
x 4y+
b)
4
x 64+
c)
4
x 4+
d)
4 4
64x y+
e)
4
x 324+
Giải:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)
4 4 4 2 2 4 2 2
x 4y x 4x y 4y 4x y+ = + + −
2 2 2 2
2 2 2 2
(x 2y ) (2xy)
(x 2y 2xy)(x 2y 2xy)
= + −

x x 1+ +
Giải
a)
7 5 7 6 5 6
x x 1 x x x x 1+ + = + + − +
7 6 5 6
5 2 3 3
5 2 2 3
(x x x ) (x 1)
x (x x 1) (x 1)(x 1)
x (x x 1) (x 1)(x x 1)(x 1)
= + + − −
= + + − − +
= + + − − + + +
Trường THCS Yên Lương
7
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2 5 3
2 5 4 3
2 5 4 3
(x x 1)[x (x 1)(x 1)]
(x x 1)(x x x x 1)
(x x 1)(x x x x 1)
= + + − − +
= + + − − + +
= + + − + − +
b) Thêm bớt

8 4 8 2 4 2
x x 1 x x x x 1+ + = − + + +

2 2 3 2
2 6 5 3 2
x (x 1) (x x 1)
x (x 1)(x x 1)(x 1) (x x 1)
(x x 1)(x x x x 1)
= − + + +
= − + + + + + +
= + + − + − +
e)

10 5 10 2 5 2
9 2 3 2
3 6 3 2 3 2
2 2 6 3 2
2 8 7 5 2 3 2
2 8 7 5 2 3
x x 1 x x x x x x 1
x(x 1) x (x 1) (x x 1)
x(x 1)(x x 1) x (x 1) (x x 1)
(x x 1) (x x)(x x 1) x (x 1) 1
(x x 1) x x x x x x x 1
(x x 1) x x x 2x x x 1
+ + = − − + + + +
= − − − + + +
= − + + − − + + +
 
= + + − + + − − +
 
 
= + + − + + − − + +

2
x x 1 x x x x x x 1
x(x 1) x (x 1) (x x 1)
x((x ) 1) x ((x ) 1) (x x 1)
(x x 1)( )
+ + + +
+ + = − + − + + +
= − + − + + +
= − + − + + +
= + +
- Đa thức dạng
2k k
x x 1+ +
luôn chứa thừ số
2
x x 1+ +
.
Trường THCS Yên Lương
8
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
2k k 2k 2 k 2
2 2(k 1) k 1 2
x x 1 x x x x x x 1
x (x 1) x(x 1) (x x 1)
− −
+ + = − + − + + +
= − + − + + +
3. Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
3 3 3
a)x y z 3xyz+ + −

2 2 2 2 2 2
a b a b a a b b
a b a b a a b b
(a b )(a ab b )(a ab b ) a 2a b b a b
(a b )(a ab b )(a ab b ) (a ab b )(a ab b )
(a ab b )(a ab b )(a b 1
b
)
a a b = − + + +
= − + + + +
= − + + − + + + + −
= − + + − + + + + − +
=
+
+ + − + −
+
+
+ −
c)
3 3 3 3
3
2 2
x 3xy y 1 x 3xy(x y) y 1 3xy(x y) 3xy
(x y) 1 3xy(x y 1)
(x y 1)(x y xy x y 1)
+ + − = + + + − − + +
= + − − + −
= + − + − + + +
d)
4 2 2 2 4 2 2 2 2

x ax-1; x bx 3+ + −
Trường THCS Yên Lương
9
Chuyên đề : Phân tích đa thức thành nhân tử GV: Đinh Ngọc Linh
TH1:
4 3 2 2 2
4 3 2 4 3 2
x 3x 6x 5x 3 (x ax 1)(x bx 3)
hay x 3x 6x 5x 3 x (a b)x (ab 4)x (3a b)x 3
− + − + = + + + +
− + − + = + + + + + + +
Hệ số của hạng tử cùng bậc hai vế phải bằng nhau nên ta có :
a b 3
ab 4 6
3a b 5
+ = −


+ =


+ = −

Giải hệ phương trình tìm được : a = -1, b = -2
TH2:
4 3 2 2 2
4 3 2 4 3 2
x 3x 6x 5x 3 (x ax - 1)(x bx 3)
hay x 3x 6x 5x 3 x (a b)x (ab 4)x (3a b)x 3
− + − + = + + −

VII. PHƯƠNG PHÁP HOÁN VỊ VÒNG QUANH (PP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG)
Phương pháp :
Xác định các thừa số chứa biến của đa thức, gán cho các biến các giá trị cụ thể
để xác định thừa số . Nhận xét vai trò các biến như nhau từ đó ta phân tích được đa
thức :
BÀI 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :
a)
3 3 3
Q a b c 3abc= + + −
b)
2 2 2
P a (b c) b (c a) c (a b)= − + − + −
Giải
Giả sử phân tích
3 3 3
F(a,b,c) a b c 3abc= + + −
thành nhân tử trong đó vai trò a, b, c
như nhau.
Trường THCS Yên Lương
10