SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
Môn Toán - Lớp 9
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11 tháng 02 năm 2009
Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x
3

+ y
3
.
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện
tích bằng số đo chu vi.
Bài 2 : ( 4,0 điểm )
a) Giải hệ phương trình :
( )
( )
( )
3xy = 2 x+ y
5yz = 6 y+ z
4zx= 3 z+x





b) Giải phương trình :
2 2
25- x - 10 - x = 3
Bài 3: ( 5,0 điểm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x
3

+ y
3
.
Bải giải Điểm
Ta có M = x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
− xy + y
2
)
= x
2
− xy + y
2
(vì x + y = 1)
=
2 2 2 2
x y x y
( xy )

2
+ 2xy = 1
⇒
2(x
2
+ y
2
)−(x − y)
2
= 1
⇒
2(x
2
+ y
2
)
≥
1
⇒
(x
2
+ y
2
)
≥

1
2
dấu bằng xảy ra
⇔

b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện
tích bằng số đo chu vi.
Bải giải Điểm
Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử 1
a b c≤ ≤ <
.
Ta có hệ phương trình :
2 2 2
a b c
ab 2(a b c)

+ =

= + +


(1)
(2)
Từ (1)
⇒
c
2
= (a + b)
2
− 2ab

⇒
c
2
= (a + b)

ab −4a−4b + 8 = 0
⇔
b(a −4) −4(a−4) = 8
⇔
(a −4)(b−4) = 8
Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:
a 4 1
ho ho
b 4 8
 − =
  
⇔
   
− =
  

a - 4 = 2 a = 5 a =6
Æc Æc
b - 4 = 4 b = 12 b =8
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
2
ĐỀ CHÍNH THỨC
Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 8 ; 10)
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
0,5 điểm
Bài 2 : ( 4,0 điểm )
a) Giải hệ phương trình :
( )



+
=



⇔
(II)
1 1 3
x y 2
1 1 5
y z 6
1 1 4
z x 3

+ =



+ =



+ =



Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:
1 1 1 11


Đặt a =
2
25 x−
; b =
2
10 x−
( a, b
≥
0 )
Ta được hệ pt :
2 2
3
15
a b
a b
− =


− =


Giải hệ pt ta được : a = 4 ; b = 1. Suy ra : x
1
= 3 ; x
2
= -3
0,25điểm
0,25điểm
0,5điểm

ab
+
là số nguyên và a, b là số nguyên dương
Nên
a b
ab
+

≥
1
⇒
a + b
≥
ab
Do d là ước của a nên a
M
d ⇒ a ≥ d > 0
Và d là ước của b nên b
M
d ⇒ b ≥ d > 0
Suy ra : ab ≥ d
2
nên a + b ≥ d
2
Vậy :
d a b
≤ +
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

2
= 2009(4k
2
+ 4k + 1) =
4[2009(k
2
+ k)] + 2009.
Ta có 2009y
2010
chia cho 4 dư 1
⇒
2008x
2009
+ 2009y
2010
chia cho 4
dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý)
Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức :
2008x
2009
+ 2009y
2010
= 2011.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4 : ( 2,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O.

(cùng phụ
ˆ
BAC
)
1 2 1 2
ˆ
ˆ
OBH OCK
BO H CO K (O H O K; )
2 2
∆ = ∆ = =
BH CK
⇒ =
.
∗
Nếu AB > AC thì AH > AK (AB = AH + HB và AC = AK + KC)
1 2
1 2
O H O K
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
O AH O AK OAB OAC ABC ACB AC AB
AH AK
⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒ >

Mâu thuẫn

∗
Nếu AB < AC, lập luận tương tự ta có AB > AC Mâu thuẫn
Hình 0,25 đ

AB AM AO R
+
= = =R r
NE .AB R r.
R
+
⇒ = = +

Độ dài đoạn NE không đổi.
b)
MNE
∆
2 2
MNE
MNE MAB
MAB
S NE R r
MAB S .S
S AB R
+
   
∆ ⇒ = ⇒ =
 ÷  ÷
   

Diện tích tam giác MNE lớn nhất
⇔

H.
Vậy khi M là điểm chính giữa của cung lớn AB thì diện tích
∆
AMB
có giá trị lớn nhất.
Hình 0,25 đ
(0,75 điểm)
(0,75 điểm)
(0,25 điểm)
0,5 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
5
O
O’
M
B
A
N
E
K
M
0
H
o
2