TI LIU BI DNG HSG TON 8_ST
cú th s dng bi dng cp trng, ti liu khụng chia thnh cỏc chuyờn m
c phõn b theo chng trỡnh ca sỏch giỏo khoa . Tuy vy, khi manh mỳn, cỏc
ni dung c trỡnh by theo ch kin thc ch khụng theo tng bi . Ni dung hỡnh
hc 8 c ti liu phõn thnh sỏu ch sau :
I. T giỏc, hỡnh thang.
II. Hỡnh bỡnh hnh .
III. Hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng .
IV. i xng trc, i xng tõm .
V. nh lý Thalet v tam giỏc ng dng .
VI. H thc lng trong tam giỏc - nh lý Pitago.
Vi mi ch kin thc bi tp c phõn thnh sỏu loi c bn :
1. Bi tp v v trớ tng i ca im, ng thng .
- Chng minh thng hng .
- Chng minh song song, vuụng gúc . . .
- Chng minh ng quy.
2. Bi tp v chng minh bng nhau .
- Chng minh s bng nhau ca gúc, on thng .
- Chng minh mt tam giỏc l cõn, u. Mt t giỏc l hỡnh thang cõn ,hỡnh bỡnh
hnh, hỡnh thoi, hỡnh vuụng . . . .
3. Bi tp tớnh toỏn .
- Tớnh s o gúc, di on thng, cỏc bi toỏn v din tớch .
4. Bi tp v qu tớch , dng hỡnh .
5. Bi toỏn cc tr hỡnh hc .
- Bi toỏn v bt ng thc, Xỏc nh hỡnh hỡnh hc mt i lng no ú t
giỏ tr ln nht, nh nht .
6. Cỏc bi toỏn tng hp .
Cú l tp ti liu cha ỏp ng mt cỏch y nhng yờu cu ca quớ thy giỏo,
cụ giỏo. B phn chuyờn mụn Phũng GD&T Qu Sn rt mong nhn c nhng ý
kin úng gúp chõn thnh cú th sa cha b sung nhng gỡ cũn thiu sút.
Hy vng tp ti liu giỳp ớch phn no ú trong cụng tỏc bi dng hc sinh gii

hình thang cân .
HD : - MNHP là hình thang
2
A
B
KD C
B C
A
H P
M
N
D
C
A
B
F
A
J
E
I
- MP = AC/2 ( Đờng TB )
- HN = AC/2 ( Đờng TT )
đpcm
Bài toán 2b :
Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lợt là trung điểm của AB và DC. Đờng
thẳng AD cắt đờng thẳng MN tại E. Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN tại F. Chứng
minh AEM = BFM .
HD :
- Gọi I là trung điểm của BD.
- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2).

0
-360
0
+A+C+2B - 360
0
+2D)/2
= (A+B+C+D+B+D-360
0
)/2= (B+D)/2
3
D
N C
A
B
E
F
M
I
M
K
A
EB C
D
Bài toán 3b :
Cho hình thang ABCD. M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O là
điểm thuộc MN. Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang . Đờng thẳng này cắt
AB,CD lần lợt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF .
HD : Chứng minh S
BNMA
= S

=> S
ABI
= S
CEI
S
ABC
= S
EBC
=> BE// AC.
Cách dựng :
- Dựng đờng chéo AC.
- Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E.
- Lấy M là trung điểm của DE.
- AM là đờng thẳng cần dựng .
TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng đơng ( có
diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của
tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên .
Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đờng thẳng
chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau .
4
A
B
C
D
M
E
I
A
D
E

= S
IJE
. Lúc đó S
AID
= S
EID
.Suy ra
AE//ID .
Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF .
Cách dựng :
- Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng thẳng
song song với IC cắt DC tại F.
- Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC
+MD đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị
nhỏ nhất .
Thật vậy, M O ta có :
MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD .
Với M bất kỳ trong tứ giác ta có :
MA +MC AC
MB + MD BD
MA +MB +MC +MD AC + BD.
MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M O D
Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC . C
Dấu = xảy ra lúc M[AC] M O
Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD .

dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng .
- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đối
diện . Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP .
- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trung trực
của MN .
- Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trung trực .
6
A
B C
D
E
F
A
B
C
M
L
N
N
P
O
H
M
- Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao của tam giác
ABC đồng quy .
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :
Bài toán 2a:
Cho tứ giác ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lợt là trung
điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ .
HD :

G
B
J
I
Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75
0
và O là giao đIểm hai đờng chéo . Từ D
hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc BC ) . Tính góc EOF
.
Có O là trung điểm của DB .
Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.75
0
= 150
0
.
Bài toán 3b :
Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lợt tại D
và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc
của tam giác GIB .
HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC .
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau .
- Từ đó có đợc GIB =90
0
và BGI = BGK/2 = DGE/2
- Có DGE = 120

b. OM =2ON.
Giải :
a. C
1
:( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
Phân tích :
Gọi O là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ giác
AMON là hình bình hành .
Cách dựng :
- Dựng O đối xứng với A qua O.
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại M
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay tại N
C
2
:( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )
Phân tích :
Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt Ax tại
trung điểm của AN .
Cách dựng :
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O
1
. Trên tia Ax dựng M sao
cho O
1
là trung điểm của AM.
- Tơng tự trong cách dựng N .
b.
(x)
9
A

1
C là hình bình hành .
BA
1
= AC và AA
1
= 2AM
AB +AC = AB + BA
1
. B C
Lại có : AB + BA
1
> AA
1
M
AB + AC > AA
1
=2AM => đpcm A
1
Bài toán 5b :
Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì lớn
hơn .
A
M N
B I H C D
Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC)
Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND.
MN = BI =CD .
Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên )
HI + IB < HC + CD => HB < HD

B
H
M
K
I
A
B D
G
E
F
I
H
HD: Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng nhau để
đợc :
IAH = BCA .
IA = BC
Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đờng cao của tam giác IBC
.
Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCG bằng nhau
. Đợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc với IC
Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB .
đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD . BN, CM cắt
nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB .
HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD . Dễ dàng chứng minh đợc IC =
2AB.
Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên CM
vuông góc với NB .

D
C
P
M
N
I
A B
C
D
C
F
F
I
J
Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 90
0
-(15
0
+15
0
) = 60
0
. nên tam giác FBI
đều .
IJB = 15
0
+ 15
0
= 30
0

E
K
E
A
D
E
K
C
H
O
F
B

4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài tập 4a :
Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và
điểm N thuộc cạnh BC .
HD :
Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có :
- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M) .
- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N).
- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM cắt AB ở E và DC ở F. Dễ dàng chứng
minh đợc OE =OF =OM
Cách dựng :
- Dựng M đối xứng với M qua O .
- Dựng N đối xứng với N qua O .
- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM . Trên d lấy E,F sao cho OE=OF= OM .
- Dựng các đờng thẳng MN, NM
- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại A và NM tại B
- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại D, và NM tại C

2
N)/2
= (AC + CB)/ 4 =const
I di chuyển trên phần đờng
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
14
A
-
B
D
C
M
O
N
N
M
F
-
E
-
A
B
C
DE
GH
O
1
O
2
I

a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC thì M B
Nếu AC >AB thì M C
Nếu AB =AC thì M B hoặc M C .
Bài toán 5c :
Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đờng vuông góc với CM
tại C cắt đờng thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị nhỏ nhất .
Giải : Gọi I là trung điểm của MK A M B I K
MK = 2CI
(quan hệ trung tuyến cạnh huyền )

15
D
C
(1)
Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I B . Lúc đó CI vừa là trung tuyến vừa là đ-
ờng cao => MCK vuông cân .
MCB = 45
0
=> M A .
Bài toán 5d :
Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB . Vẽ các hình vuông ACDE;
CBFG . Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ
nhất .
G F
Giải :
Đặt AC = x => CB = a-x .
S
ACDE

MO
2
là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO
1
MO
2
là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF
e. Chứng minh O
1
O
2
= AO
3
.
HD :
16
A
B
C
O
2
O
1
M
G
H
E

Tơng tự ta chứng minh đợc O
1
DO
2
là tam giác vuông cân tại D từ đó suy ra đpcm.
c. Gọi A là điểm đối xứng của A qua M .Ta chứng minh đợc BA song song và bằng AC
=> BA vuông góc và bằng AF .
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF và ABA bằng nhau =>
HF = AA = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.
-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN
-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN
HQ = FP
Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D của HF.
Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF .
e. Gọi K là trung điểm của AC ta có :
KA = O
2
K
O
1
K = O
3
K
O
1
KO
2
= AKO
3

A
B
C
M
H
N
E
F
A
Chứng minh ABAB là hình bình hành :
Các đoạn thẳng AB và BA cùng song song và bằng PC .
Tơng tự chứng minh đợc CACA là hình bình hành
đpcm
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác . M là điểm thuộc miền trong của góc .
M
1
, M
2
lần lợt là điểm đối xứng của M qua Ox và Oy .
a. Chứng minh O thuộc đờng trung trực của M
1
M
2
.
b. Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M
1
,M
2

Ot là tia phân giác của góc MOz .
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con
kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng đoạn đờng
từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) .
18
O
M
1
M
x
t
y
z
M
2
B
C
A
C
B
P
P
Q
N
M
d
HD :
PT : - Giả sử dựng đợc P . Gọi P là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP .Lúc đó PN =

- Dựng M đối xứng với N qua (d)
- Tam giác PMN là tam giác cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )
Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt phẳng
bờ . Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
a. Trờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng : B
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua trục (d) A
MA +MB = MA
1
+ MB A
1
B .
Dấu = xảy ra lúc M[A
1
B]. (d)
M là giao điểm của A
1
B và d . M
19
E
F
G
D
A
C
B

M
2
Dấu = xãy ra khi A,B M
1
M
2
. O
A là giao điểm của M
1
M
2
với Ox. B
B là giao điểm của M
1
M
2
với Oy
M
2
TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một đoạn
thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không đổi; Thay đổi
góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị . . . . chúng ta sẽ đợc hàng loạt các bài toán
khác .
Bài toán 5d :
Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó . Tìm các điểm
C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ nhất .
Giải :
Lấy A
1
đối xứng với A qua Ox; B

O A
20
B
A
B
N
M
A
d
A
1
C
A
1
Bài toán 5e :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm thuộc cạnh BC. I,J lần lợt là hình
chiếu của M xuống hai cạnh AB, AC .M
1
, M
2
lần lợt là điểm đối xứng của M qua
AB,AC . E,F lần lợt là giao điểm của M
1
M
2
với AB,AC . Xác định M
a. Để IJ nhỏ nhất; lớn nhất .
b. Để tam giác MEF có chu vi nhỏ nhất .
A M
2

AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )
b. Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M
1
M
2
.
Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.
theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại
V. Định lý Thalet
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Kẻ hai đờng thẳng song song với AC . Đờng thẳng thứ nhất
cắt các cạnh BA,BC lần lợt tại G và H. Đờng thẳng thứ hai lần lợt cắt các cạnh DA,DC
lần lợt tại E và F .Chứng minh rằng GE,HF,BD đồng quy .
Giải :
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
M,N lần lợt là giao điểm của GH và EF
với BD .
Ta có : = ( Do EF// AC )
=
Tơng tự ta cũng có :
=
=
21
EN
AO
FN
OC
EN
FN

ABH và ACD đồng dạng .
-Sử dụng gt :
để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc :
Và BAM = CAN => MAN = BAC .
Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng
AMN = ABC = 90
0
( đpcm )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình thang ABCD (AB // CD ). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại I . Qua I
kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F .
a. Chứng minh :
b. Chứng minh I là trung điểm của EF.
Giải :
Có :
Cộng hai đẳng thức trên ta đợc :
Đpcm .
b. Hoàn toàn tơng tự ta cũng có :
IF = EF
Đpcm .
Bài toán 2b :
22
1
IF
1
AB
=
1
CD

=
=
= 1
+
=
A
D
CB
N
M
H
A B
C
D
I
E
F
1
IE
1
AB
=
1
CD
+
Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) . Gọi M,N là trung điểm của BC và AD .
Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ . PN cắt BD tại Q. Chứng minh MN là tia phân
giác của góc PMQ .
HD :
Gọi I,K,P lần lợt là giao điểm của AD với PM , AD với MQ, PQ với BC .

3
=
. S
ABCD
= S
1
+ 2S
2
+
Bài toán 3b :
Cho tam giác ABC có Â = 2 B . Cho AB = c ,AC =b . Tính BC
2
theo b,c .
23
A
B
D
I
C
S
2
S
1
S
3
S
3
S
1
ID

S
2

2
S
1
(S
1
+S
2
)
2
S
1
=
P
A D
C
B
M
Q
N
K
I
P
Gọi AI là phân giác của tam giác . Ta có :
IC/IB = AC/AB
IC = IB . AC/AB (1)
Lại có hai tam giác ABC và IAC đồng dạng nên :
IC/AC = AC/BC

Cho góc xOy và một đờng thẳng d bất kỳ cắt hai cạnh của góc . Tìm đoạn thẳng
AB (A Oy; B Ox ) sao cho AB vuông góc với d và có trung điểm I nằm trên d .
24
QH
QK
NM
NC
=
MB
MC
=
QH
QK
PB
PK
=
MB
MC
=
QH
QK
QH
QK
=
.
B M
C
P
A
N

Do OM, P cố định nên PQ nhỏ nhất khi PQ OM .
Lúc đó AB OM
Bài toán 5b :
Cho góc nhọn xOy . M là điểm thuộc miền trong của góc . Đờng thẳng d quay
xung quanh M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A,B . Tìm vị trí của d sao cho OA+OB đạt giá trị
nhỏ nhất .
HD :
25
M
F
I
E
B
A
M
(d)
1
MA
1
MB
+
.
1
MA
1
MB
+
=
1
MA