Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

1

CHUYÊN ĐỀ LƢỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM
1. Công thức lƣợng giác cơ bản:








    
   
   
  




22
2
2
2

2. Các cung liên quan đặc biệt
Cung đối nhau:
 sin(- x) = - sinx
 cos(- x) = cosx
 tan(- x) = - tanx
5. Biểu diễn cosa, sina, tana theo
t =
a
tan
2
(tham khảo)








2
2
2
2
1
cos
1
2
sin
1
2


   



Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

2
 cot(- x) = - cotx
Cung bù nhau:
 sin( - x) = sinx
 cos( - x) = - cosx
 tan( - x) = - tanx
 cot( - x) = - cotx
Cung phụ nhau:
 sin(/2 - x) = cosx
 cos( /2 - x) = sinx
 tan( /2 - x) = cotx
 cot(/2 - x) = tanx
Cung hơn kém 
 sin(x  ) = - sinx
 cos(x  ) = - cosx
 tan(x  ) = tanx
 cot(x  ) = cotx








cos cos
2 cos cos
22
cos cos
2sin sin
22
sin sin
2sin cos
22
sin sin
2 cos sin
22
sin( )
tan tan
cos .cos
sin( )
tan tan
cos .cos
ab
a b a b
ab
a b a b
ab
a b a b


tana tan b
cot(a b)
1 tana tan b




4. Công thức nhân đôi, nhân ba
22
2
2
2
2
3
3
3
•cos2a = cos a sin a
=2cos a 1
=1 2sin a
•sin2a = 2sinacosa
2tana
•tan2a =
1 tan a
cot a - 1
cot2a =
2cota
-
-
-


  



  


2
2
a
1 cosa 2cos
2
a
1 cosa 2sin
2





  
  


4 4 2
6 6 2
1
sin cos 1 sin 2
2


  
  
   
   



     


NÕu : a v«nghiÖm
NÕu : a cã nghiÖm

 
 
 
cosx a (2)
1;1 (2)
1;1 (2)
cosx cos a cos
x k2
(k )
x k2

  
  
   
   


cotx a a
cotx cot a cot
x k ( x, k ,k )
   
    
         



Các phƣơng trình đặc biệt
sinx = 0  x = k cosx = 0 


 k
2
x

sinx = -1 
x k2
2

   
cosx = -1 

2kx 

sinx = 1 
x k2
2


kx 
4


         
1 3 1 3
sin cos ; cos sin
2 2 2 2
x x x x


       sin 0 cos 1; sin 0 cos 1x x x x

2. Phƣơng trình bậc nhất theo một hàm số lƣợng giác
Các dạng phƣơng trình:
 asinx = b ( hoặc: acosx = b)
 atanx = b ( hoặc: acotx = b)
- Cách giải:
+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản
+ Chú ý: |sinu|  1, |cosu|  1
Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

6
3. Phƣơng trình bậc hai theo một hàm số lƣợng giác
 PT dạng: asin
2
x + bsinx + c = 0 ( hay acos
2

Nếu phương trình có nghiệm t
0
ta được phương trình cơ bản:
tanx = t
0
hay (cotx = t
0
)
Nhớ để tanx có nghĩa  x ≠ /2 +k
4. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c (a, b ≠ 0)
Phƣơng pháp:
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm: c
2
≤ a
2
+ b
2

Ta có: asinx + bcosx = c
 sinx +
bc
cosx
aa


 sinx + tanα.cosx =
c
a
* Cách 2: (Tham khảo)
Đặt
x
t tan
2

(với x ≠  + k2 )
Ta có: a.sinx + b.cosx = c

2
1t
2t
a. b. c
22
1 t 1 t



 (b + c)t
2
– 2.a.t + c –b = 0 (2)
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t
0
, ta sẽ có phương trình
cơ bản:
0
x
tan t

c
22
ab
sin



sin(x + α) = sinβ
Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

8
5. Phƣơng trình đối xứng:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Phƣơng pháp: Đặt: t = sinx + cosx =
2cos(x )
4


 -
2t2 

 sinx.cosx =
2
t1
2

: Phương trình trở thành: bt
2

2
x =
1 cos2x
2

; sinx.cosx =
1
.sin2x
2
; cos
2
x =
1 cos2x
2

; Ta
có: a.
2
1
(1 – cos2x) + b.
2
1
.sin2x + c.
2
1
.(1+cos2x) = 0
 b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)
Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)
* Cách 2:
 Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:

2
x +cos
2
x) rồi đưa về phương trình dạng (1) B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:

1) cos(x ) sin( 2x) 0 2) tg( x)tg( 2x) 1
3 2 3 3
8
3) cos( 3x) cos( 3x) 1 4) cotgx tgx 2tg2x 4tg4x
33
3
   
      

       

Bài 2: Giải các phƣơng trình sau:

6 6 4 4 2
2 2 2 2
1) 4(sin x cos x) 2(sin x cos x) 8 4cos 2x
2) sin x + sin 3x = cos x + cos 3x
3) 16cosx cos2x cos4x = 3sin8x
cos2x 3
4) cosx
sin x cosx 2

1) cos
3
x + sinx – sin
3
x = 0 3)
22
22
sin 3x cos 3x
6cos2x 3
sin x cos x
  

2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x 4)
2
tgx tg(x ) tg(x ) 3 3
33

    

Bài 2: Giải các phƣơng trình sau:
1) 5sin
2
x – 4sinx – 1 = 0 3) 3tg2x – 3tgx -
5
2
= 0
2) cos2x – 3cosx – 4 = 0 4) 4cotg2x =
22
66
cos x sin x

4x + 1
4) sin
4
x + cos
4
x – cos2x +
1
4
sin
2
2x = 2
5)
2
2
4x
cos cos x
3
0
1 tg x


 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Giải các phƣơng trình sau:
1) 2sin
2
x – 3cos
2
x + 5sinx cosx = 2
2)
3
cos
3
x – 5sin
3
x + 7sinx -
8
3
cosx = 0
3) 14sin
4
x + 2sin
2
xcos
2
x – 14sin
2
x - 8sinxcosx – 1 = 0
4) 2cosx
3
x + 3cosx – 8sin
3

2
(sinx + cosx) + 3sinx – 11 = 0
2) (sinx + cosx)
3
+ sinx cosx – 1 = 0
3) (sinx - cosx)
4
- 6sinx cosx – 1 = 0
4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|
5) sinx + cosx + 2 + tanx + cotx +
1
sin x
+
1
cosx
= 0
6) cos
3
x – sin
3
x = cos2x
7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x
C. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PTLG ĐẶC BIỆT
I. BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ĐƢA VỀ PTLG THƢỜNG GẶP
II. BIẾN ĐỔI VỀ PHƢƠNG TRÌNH TÍCH
1
2
12
A = 0
A = 0

Đặt t = x +
ab
2

đưa về phương trình trùng phương
Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

13
Dạng 3: Phƣơng trình bậc bốn:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K ( Với a + b = c + d)
Đặt: t = (x + a)(x + b)
Dạng 4: Phƣơng trình bậc bốn đối xứng
ax
4
+ bx
3
 cx
2
+ bx + a = 0
Ta chia hai vế phương trình cho x
2
(x  0), đặt t = x 
1
x

VD: Giải các phƣơng trình:
a) (sin
2

2
7x
c) sin
8
x + cos
8
x = 2(sin
10
x + cos
10
x) +
5
4
cos2x
d) sin
2008
x + cos
2004
x =
66
42
sin x cos x
3cos x cos x cos2x


Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác


A0
B0






 Ví dụ: Giải phương trình:
a)
3
sin2x – 2sin
2
x – 4cosx + 6 = 0
b) 2sin2x + cos2x + 2
2
sinx – 4 = 0
D. CÁC DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
(Tham khảo)
I. CÁC BÀI TOÁN:
1. BÀI TOÁN 1: Tìm tham số (m…) để PTLG có nghiệm
 Phƣơng pháp: Dùng phương pháp giải tích (đã học):
- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.
- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m)
- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)
- PTLG có nghiệm  g(m)  MGT của f(t)
(Chú ý: Tính bị chặn, MGT của các hàm số: sinu, cosu, tgu  cotgu)
2. BÀI TOÁN 2: Tìm tham số (m…) để PTLG có n nghiệm
 Phƣơng pháp:
Cách 1: Dùng PP giải tích:


Bài 2: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
cos2x + 2mcosx – 4m +1 = 0
b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 
3 π
[- ; ]
46

:
cos2x + 2(1 + m)sinx – 3 – 2m = 0
c) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x 
π
[0; ]
2
:
mcos2x – 4cosx + 3m = 0
Bài 3: Cho phương trình: cos2x + 4mcosx – 4m+1 = 0 (1)
Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x 
π
[- ; ]
23
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm x 
π
(- ; 2 )
2


PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài 7: Cho phương trình: 2sin
2
x + (m – 2)sin2x +3mcos
2
x = 1 (1)
Tìm m để (1) có nghiệm x 
ππ
(- ; )
44PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Bài 8: Cho phương trình: 2(m – 2)(sinx + cosx) +msin2x + 3m -1 = 0 (1)
a) Tìm m để (1) có nghiệm x 
π 3π
(- ; )
24

b) Tìm m để (1) có 3 nghiệm x 
5π
(0; )
4

Bài 9: Cho phương trình: msin2x + (m – 1)(sinx + cosx) +2m -1 = 0
Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

  
(KD – 2003)
3) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx (KD – 2004)
4)
44
3
cos x sin x cos(x )sin(3x ) 0
4 4 2

     
(KD – 2005)
5) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KD – 2006)
6) 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx (KD – 2007)
7) 2sinx(1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx (KD – 2008)
8)
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  
(KD – 2009)
9) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010)
10)
sin2x 2cosx sin x 1
0
tan x 3
  


(KD – 2011)
11) sin3x + cos3x – sinx + cosx =
2

sin2x (KA – 2003)
15) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:

cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3  

Tính ba góc của tam giác ABC (KA – 2004)
16) cos
2
3x cos2x – cos
2
x = 0 (KA – 2005)
17)
66
2(cos x sin x) sinxcosx
0
2 2sin x



(KA – 2006)
18) (1 + sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x (KA – 2007)
19)
1 1 7
4sin( )
3
sin 4

  


(KA – 2010)
22)

2
1 sin2 cos2
2sin sin2 .
1 cot
xx
xx
x




(KA – 2011)

23)
3sin2 cos2 2cos -1x x x
(KA – 2012)
Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

19
24)
1 tan x 2 2sin x
4


30)
2
xx
(sin cos ) 3cosx 2
22
  
(KB – 2007)

31) sin
3
x –
3
cos
3
x = sinx.cos
2
x –
3
sin
2
x.cosx (KB – 2008)
32)
3
sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x)   
(KB – 2009)
33) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB – 2010)
34)
sin2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x   
(KB – 2011)

42
xx

   
   
   
   

3)
   
00
sin 2 50 os x+120 0xc  
4) cos3x  sin4x = 0
5)
2cos 2 3 sin 1 0
35
xx

  
   
    
   
  
   
  
6) sinx(3sinx +4) = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1)
cot 1 0
4

34
x
x



   


2)
 
sin3 sinx
sin2 os2x, x 0;
1-cos2x
x
xc


  

3) tan3x2tan4x+tan5x = 0 , x (0; 2) 4)
3
2
13
tan 1 3cot 3, ;
os 2 2
x x x
cx



2
4x = 1
4) cos
2
(x –
5

) = sin
2
(2x +
4
5

) 5) sin2x + cos2x =
2
sin3x
6) cos3x – sinx =
3
(cosx –sin3x ) 7)
05cos
2
1
5sin
2
3
)3
2
cos(  xxx



2sin


13)
xxx 4sin
2
2sin
1
cos
1

14) 4sin
3
2x + 6sin
2
x = 3

15) 4sin
3
xcos3x +4cos
3
xsin3x + 3
3
cos4x = 3
16)
)
8
(cos2)
8
cos()

2
sin3x – 1 = 0
Bài 2: Giải các phƣơng trình sau:
1) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0 3) 2cos
2
x +
2
cosx – 2 = 0
4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos
2
x - 4
3
cosx + 3 = 0
Bài 3. Giải các phƣơng trình:
1) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0
3) 5sinx(sinx - 1) - cos
2
x = 3 4) cos2x + sin

7)
2
4
cos x
+ tanx = 7 8)

sin
6
x + cos
4
x = cos2x 9) cos2x + 5sinx + 2 = 0
10) sin(
5π
2x+
2
) - 3cos(
7
2
x


) = 1 + 2sinx 11)
2
sin x-2sinx+2 = 2sinx-1

12) tanx + cotx = 4 13)
24
sin 2x+4cos 2x-1
=0
2sinxcosx

1
sin x sin






21)
2 2 2
2 2 3
sin x sin x sin x
3 3 2
   
   
   

    

22)
 
6 6 4 4
5
sin x cos x sin x cos x
6
  
23)
66
1
2

Bài 1: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:
1)
3sin cos 2 0xx  
2)
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x  
3)
44
sin cos 1
4
xx


  



4)
 
44
2 cos sin 3sin4 2x x x  
5)
2sin2 2sin4 0xx
6)
3sin2 2cos2 3xx

Bài 2: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:
1)
3 cosx sinx 2
2)

1
3sinx+cosx =
cosx
8)
tan 3cot 4(sin 3cos )  x x x x

9)
cos7x- 3sin7x+ 2 =0
;
2π 6π
x ( ; )
57

10) 2sin15x +
3
cos5x + sin5x = 0
6
11) sinx+3cosx+ = 6
4sinx+3cosx+1
12.
1
3sinx+cosx = 3+
3sinx+cosx+1

13) ( cos2x -
3
sin2x) -
3
sinx – cosx + 4 = 0 14)
2

5) 2sin
2
x + 3sinx.cosx - 3cos
2
x = 1 6)
3
sin 2sin
4
xx






Bài 2: Giải các phƣơng trình sau:
1) 3sin
2
x -
3
sinxcosx+2cos
2
x cosx=2 2) 4 sin
2
x + 3
3
sinxcosx - 2cos
2
x=4
3) 3 sin

2
x + sin
4
x = 0
10) 4cos
3
x + 2sin
3
x - 3sinx = 0 11) 2cos
3
x = sin3x
12) cos
3
x - sin
3
x = cosx + sinx 13) sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
14) sin
3
(x -

/4) =
2
sinx

DẠNG 5: PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Giải các phƣơng trình sau:
1) 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3)

2
sin2x(sin x + cosx) = 2
11) (1+sin x)(1+cosx) = 2 12)
2
(sin x + cosx) = tanx + cotx
13) 1 + sin
3
2x + cos
3
2

x =
3
2
sin 4x 14)* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
15) * cos
4
x + sin
4
x - 2(1 - sin
2
xcos
2
x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
16)
sin cos 4sin2 1x x x  
17) sinxcosx +
sinx+cosx
= 1
18) cosx +

5) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6)
3
2
sin2x +
2
cos
2
x +
6
cosx = 0
7) 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8)
sin3 sin5
35
xx

9) 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx

10) cos
8
x + sin
8
x = 2(cos
10
x + sin
10
x) +
5

18) sin2x = 1+
2
cosx + cos2x 19) 1 + cot2x =
2
1-cos2x
sin 2x

20) 2tanx + cot2x = 2sin2x +
1
sin2x
21) cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
22) 1 + tanx = sinx + cosx 23) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
24) 2
2
π
sin(x+ )
4
=
11
+
sinx cosx
25) 2tanx + cotx =
2
3
sin2x


26) cotx – tanx = cosx + sinx 27) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

DẠNG 7: PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO


5) cos
6
x - sin
6
x =
13
8
cos
2
2x 6) sin
4
x + cos
4
x =
7 ππ
cot(x+ )cot( -x)
8 3 6

7) cos
6
x + sin
6
x = 2(cos
8
x + sin
8
x) 8) cos
3
x + sin

2
- (sinx + 3)sin
2
x
2
+ 1 = 0
DẠNG 8: TỔNG HỢP
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:
1) cos
3
x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n


  

2) tanx.sin
2
x  2sin
2
x = 3(cos2x + sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
* a
3

b
3

)(a
2
- b
2
) * a
6

b
6
= ( a
2

b
2
)( a
4

a
2
b
2
+ b
4
)
Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác

ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69

25
HD: Chia hai vế cho sin

     
      
với
1
sin
4



5) sinx  4sin
3
x + cosx = 0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
xk



.
HD: sin3x - sin2x + cosx = 0; 3sinx - 4sin
3
x - 2sinxcosx + cosx = 0 (chia cho cosx)
6)
sin 3 sin2 .sin
44
x x x

   
  
   
   


.
8)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cosx x x x x x  

HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k



,
4
xk


  

9) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
HD: Đưa về cung x rồi đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
43
x k x k k


      

tan cot 2 cot 1
xx
x x x



ĐS:
 
2
4
x k k


   

13) cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8


HD: Ta có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2