TRƯỜNG THCS TÂN HIỆP A5
Tổ: Toán – lý - tin
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 8

I. Phương pháp đặt nhân tử chung
1. Cách tìm nhân tử chung: nhân tử chung thường gồm hai phần là hệ số và phần biến.
- Hệ số (nếu có): là ƯCLN của các hệ số.
- Phần biến (nếu có): là biến có mặt trong tất cả các hạng tử với số mũ nhỏ nhất.
(Lập tích hệ số và phần biến để có nhân tử chung của biểu thức).
2. Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức thành nhân tử
Tìm nhân tử chung
Bài toán
Hệ số Phần biến Lập tích
Kết quả
a) 33x
5
y
3
+ 15 x
3
y +3xy 3 xy 3xy
= 3xy.(11x
4
y
2
+ 5x
2
+ 1)


+ 2AB + B
2
= (A + B)
22. A
2
– 2AB + B
2
= (A – B)
2

3. (A – B ) (A + B) = A
2
– B
2

4. (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

5. (A – B)

trước tiên ta quan sát và xác định đa thức đó thuộc vào dạng nào trong 7 hằng đẳng thức đã
học; sau đó, xác định A, B tương ứng trong biểu thức.
3. Ví dụ
Bài 1: Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau :
A
2
+ 2AB + B
2
= ………………… ……………….
A
2
– 2AB + B
2
= ………………… ………………
A
2
– B
2
=…………………………… ………………
A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
=………… ……………….
A
3

2
 A là x; còn 9 = 3
2
 B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay: x
2
+ 6x + 9 = (x)
2
+ 2 . x . 3 + (3)
2
= (x + 3)
2
A
2
+ 2 . A . B + B
2
= (A + B)
2
Trường THCS Tân Hiệp A5 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8

Nguyễn Thanh Phong Năm học: 2014 - 2015
2

Bài 3: Phân tích đa thức 4x

3
– y
3
thành nhân tử
1/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )[ (2x)
2
+2x . y + y
2
] .
2/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )( 2x
2
+2x . y + y
2
) .


= (x + 3 )
2
– y
2

=( x + 3 – y )( x + 3 + y)
Nhóm xuất hiện nhân tử chung và dạng hằng đẳng thức
x
2
– xz – 9y
2
+3yz
= (x
2
– 9y
2
) – (xz – 3yz)
=(x – 3y )( x + 3y) – z(x – 3y)
= (x – 3y )( x + 3y – z).
3. Lưu ý
- Đặc điểm của phương pháp nhóm hạng tử là đa thức phải có từ 4 hạng tử trở lên.
- Khi các hạng tử của đa thức đã cho không có nhân tử chung hoặc không có dạng hằng
đẳng thức thì ta mới dùng phương pháp nhóm.
- Sau khi phân tích mỗi nhóm thì quá trình phân tích đa thức đã cho tiếp tục được.
- Khi đặt nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón nhân tử chung nữa
và chỉ được viết (nhân tử chung) một lần.
IV. Kết hợp nhiều phương pháp: Vận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp chúng để phân tích thành nhân tử.
Ngoài ra, để phân tích một đa thức thành nhân tử người ta còn sử dụng một vài phương

y
5
z
5

c) 6xy – 30y h) 5x (x – 2y) + 2 ( 2y – x ) m) 7x(y– 4)
2
– (4 – y)
3

d) x
3
– 4x
2
+ x i) a
2
b
4
+ a
3
b – abc
e) x
2
y
3
–
1
2
x
4

a) x + x
2
= 0 g) 15y( 4y – 9) – 3 ( 4y – 9 ) = 0.
b) x +1 – (x+1)
2
= 0 h) 8(25z + 7) – 27z ( 25z + 7) = 0 .
c) x
3
+ x = 0 i) 13y ( x – 8 ) – 2y + 16 = 0 .
d) 2x ( x – 9 ) + 3 ( x – 9 ) = 0 j) –10x (y + 2) – y – 2 = 0 .
e) 6x
2
– 3x = 0 k) (6x + 11)(5y – 12) – 42x + 66 = 0 .
f) 5x
3
(7x + 1) – 10x
2
(7x + 1) = 0 l) x (x + 19)
2
– (x + 19)
2
= 0.
Bài 5: Chứng minh rằng
a) 43
2
+ 43 .17 chia hết cho 60.
b) n
2
(n+1) + 2n (n+1) luôn chia hết cho 6 với mọi n  Z.
c) 25n (n – 1) – 50 ( n – 1) luôn chia hết cho 150 với mọi n là số nguyên.

+ 2(x
2
+ 2x) + 1 .
Bài 2: Điền vào chỗ trống để được kết quả đúng
a) x
2
+ ……… + 81 = (……… + …………)
2

b) …………+ 8x + 16 = (………….+ ………….)
2

c) y
2
– 20 y + …………= (………….– ………….)
2

d) z
4
+ …………….+ 64 = (………….+ ………….)
2

e) 25x
2
– ………+ ……… = (………….+ 7)
2

f) 36 y
2
– 49z

3
= …
3
+ (… )
3
= (…. + ….)(… – … + …….)
Trường THCS Tân Hiệp A5 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8

Nguyễn Thanh Phong Năm học: 2014 - 2015
4

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau
A = x
2
+ 12x + 36 tại x = 64.
B = x
2
+ 4xy +4y
2
tại x = 2,8 ; y = 3,6 .
C = y
2
+ 2yz + z
2
tại y = 4,19 ; z = 5,81 .
D = (3x – 7 )
2
+10(3x – 7 ) +25 tại x = 16.
E = 8x
3

+ y
4

d) – a
2
– 2a – 1
e) 27b
3
– 8a
3

f) x
3
+ 9x
2
y+ 27xy
2
+ 27y
3

g) 16x
2
– 9 (x + y)
2

h) (a – b)
2
– 1
i) a
6

– 15
2
+ 80 . 45
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x
2
+ 4x + xy +2y
b) a(x – y ) + bx – by
c) x
2
+xy – 7x – 7y
d) ac + bc + a + b
e) x
2
+ 2xy + y
2
– 4
f) 5a
2
– 5ax – 7a + 7x
g) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2
y + 8x
3

h) 7z

z – xyz
n) x
3
+ 2x
2
– 6x – 27
o) pq – p
2
– 5(p – q )
p) 12x
3
+ 4x
2
– 27x – 9
q) y(a - b) – 2a + 2b
r) x
4
– 25x
2
+ 20x – 4
s) y
2
+ 1+ 2y – 49
t) x
2
(x
2
– 6 ) – x
2
+ 9

c – 2abc + ac
2
+ 2bc
2
– 4b
2
c – 2abc
Bài 3: Tìm x biết
a) 4x
2
– 25 – (2x – 5 )(2x + 7) = 0
b) x
3
+ 27 + (x + 3)(x – 9 ) = 0
c) 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 3 = 0
d) x
2
(x + 7) – 4 (x + 7) = 0
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
a) Cho x + y + z = 0 . Chứnh minh rằng : x
3
+ x
2
z + y
2
z – xyz + y