5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II
 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối
xứng loại II
 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :
( )
( )
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x

+ = +


+ = +


việc giải hệ này
thì đơn giản
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt
( )
y f x=
sao cho (2) luôn đúng ,
2 1y x= + −
, khi đó ta có phương trình :
( )
2
2
1 ( 2 1) 1 2 2x x x x x+ = + − + ⇔ + = +

β
α β
α α
+ = + + −
Tương tự cho bậc cao hơn :
( )
n
n
a
x ax b b
β
α β
α α
+ = + + −
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng :
( )
' '
n
n
x p a x b
α β γ
+ = + +
v đặt
n
y ax b
α β
+ = +
để đưa về hệ , chú ý về dấu của
α
???

x x y
y y x

− = −


− = −


Trừ hai vế của phương trình ta được
( )( ) 0x y x y− + =
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:
2 2x = +
Bài 6. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5x x x− − = +
Giải
Điều kiện
5
4
x ≥ −
Ta biến đổi phương trình như sau:
2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11x x x x x− − = + ⇔ − = + +
Đặt
2 3 4 5y x− = +
ta được hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 4 5



− = +


đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta
vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :
Bài 1 . Giải phương trình:
2
4 5 13 3 1 0x x x+ − + + =
Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :
2
13 33
2 3 1
4 4
x x
 
− = + −
 ÷
 
Đặt
13
2 3 1
4
y x− = +
thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải
được.
Để thu được hệ (1) ta đặt :
3 1y x
α β

⇔
 
− + + + =

− + = − −



Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có
nghiệm
x y=
Nên ta phải có :
2 2
2 3 1
4 13 5
α αβ β
α β
− −
= =
− +
, ta chọn được ngay
2; 3
α β
= − =
Ta có lời giải như sau :
Điều kiện:
1
3
x ≥ −
,

2 2 5 0
8
x y x
+
+ − = ⇒ =
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là:
15 97 11 73
;
8 8
 
− +
 
 
 
 
Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay
;
α β
bằng cách viết lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau:
2
(2 3) 3 1 4x x x− = − + + +
khi đó đặt
3 1 2 3x y+ = − +
, nếu đặt
2 3 3 1y x− = +
thì chúng ta không thu được hệ như
mong muốn , ta thấy dấu của
α
cùng dấu với dấu trước căn.

4
81 8 2 2
3
x x x x− = − + −
4)
3
3
6 1 8 4 1x x x+ = − −
5)
( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
x x x− = + +
6)
3 2
3
3 5 8 36 53 25x x x− = − + −
TRAO ĐỔI PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
* Khi các bạn giải phương trình (pt) dạng
dcxbax +=+
, chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai,
vậy với pt
edxcxbax ++=+
2
có giải được bằng phương pháp đó được nữa không ? Xin trả lời trừ một số trường
hợp đặc biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được.
* Ví dụ khi giải pt sau:

=+−− xxx
, ta đặt
2
1
,12160321 ≥−=+ ttx
.
* Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy. Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương
pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể:
1. Dạng 1:
2
1
,( 0, 0, )ax b mx cx d a m m
a
+ = + + ≠ ≠ =

Xét hàm số
dcxx
a
y ++=
2
1
=>
2
0
2
)('
ac
xcx
a
xf −=<=>=+=

1
36
6112
+=
+
y
x
,
6
1
−≥y

2
12 61 1 1
36 3 36
x
y y
+
⇔ = + +

( )
2 2
12x 61 36y 12y 1 3y y x 5 1⇔ + = + + ⇔ + = +
Mà theo cách đặt ta có:
6
1
6
29
3
2

y
.
* Với
2
5
y x 3y 5 y x
3
= ⇒ = ⇒ = =
,(
6
1
−≥y
).
* Với
3
23 +
−=
x
y

2
3x x ⇒ +
=
3
23 +x
+5
⇔
9x
2
+6x - 13 = 0

2
++=−
xxx
Làm nháp: f(x) = 3x
2
+ 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3.
Giải: Đặt
3
1
,1359 −≥+=− yyx
=> 9x – 5 = 9y
2
+6y + 1 <=> 9y
2
+ 6y = 9x – 6 <=> 3y
2
+ 2y = 3x – 2 (1)
Mặt khác ta có: 3x
2
+ 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x
2
+ 2x = 3y – 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ





−=+
−=+






=−
=−
txx
xtt
4008
4008
2
2
=> (t
2
– x
2
) – (t – x) = 4008(x – t)
<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0
<=> t = x hoặc t = - x – 4007.
* Với t = x ta có: x
2
– 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa mãn.
* Với t = - x – 4007=> x
2
– x = 4008(- x- 4007) <=> x
2
+4007x + 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm.
KL: pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.
3. Dạng 3:

x
x
4
9
2
3
38
63
3
2
3
3
+−=−
Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
xx
x
4
9
2
3
3
2
3
+−
=> f’(x) = x
2
- 3x +9/4 =>f’’(x) = 2x – 3 = 0 <=>
2
3
=x

23
+−=−

<=> 12x – 18 = 4y
3
– 18y
2
+ 27y, (1).
Từ pt và theo cách đặt ta có:
xx
x
y
4
9
2
3
32
3
2
3
+−=−
<=>12y – 18 = 4x
3
– 18x
2
+ 27x (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ:




−=
,
 Khi đó bằng phép đặt:
dcybax +=+ 3
3
Ví dụ: Giải pt sau:

2
3
4
2881
23
3
−+−=− xxxx
Làm nháp: Xét hàm số f(x) =
2
3
4
2
23
−+−
xxx
=> f’(x) = 3x
2
– 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4 = 0 <=>
3
2
=x
do

4
23
3
4
23
23
23
=> (x – y)( x
2
+ xy +y
2
- 2x – 2y +
3
13
) = 0(*),
Do x
2
+ xy +y
2
- 2x – 2y +
3
13
=
0
3
1
)2(
2
1
)2(

+−= xx
2)
534
2
+=−− xxx
3)
3
3
2332 −=+ xx
4)
513413
2
−+−=+ xxx
5)
541
2
++=+ xxx
6)
xx
x
77
28
94
2
+=
+