Chuyên đề 4:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Các điều kiện và tính chất cơ bản :

*
A
có nghóa khi A 0
≥
*
0≥A
với A 0
≥
*
AA =
2
&
⎩
⎨
⎧
<

15
II. Các đònh lý cơ bản : 16
a) Đònh lý 1 : Với A 0 và B
≥
0 thì : A = B
≥
⇔
A
2
= B
2
b) Đònh lý 2 : Với A 0 và B 0 thì : A > B
≥ ≥
⇔
A
2
> B
2
c) Đònh lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B
⇔
A

⎧
⎪
=⇔
⎨
=
⎪
⎩

* Dạng 3 :
2
A0
AB B0
AB
⎧
≥
⎪
<⇔ >
⎨
⎪
<
⎩

* Dạng 4:
2
A0
B0
AB
B0
AB
⎡

IV. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ 1: Giải phương trình sau :
1)
42 −=− xx
(x=6)
2) 02193
2
=−++− xxx
1
(x )
2
=−
3) 411222 =+−+++ xxx (x=3)

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
122
2
+=++ xmxx
9
(m )

22±=x
)
5) Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 132
2
+=−+ xmxx 17
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức

) 3)
21 +=++ xxx
4)
431 +−=+ xx
(
0
=
x
) * Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
xxxx 33)2)(5(
2
+=−+

(x 1 x 4)
=
∨=−

4)5)(2(52 =−++−++ xxxx
2) 16212244
2
−+−=−++ xxxx (x=5) * Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

xx
x
x
−=−−
−
123
23
2


∈ (a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
4259 +−=+ xx

2) 11414
2
=−+− xx
Bài tập rèn luyệnï:
1) (x=3)

19
141 =−−+ xx
(x=4)
2)
7825 =+++ xx
V. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1) 134
2
+<+− xxx

) 1)1(2
2
+≤− xx
3) ( )
4≥x
xxx <−− 12
2
4) (
110 ≥∨
−
≤
xx
) xxx −>−+ 2652
2
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

xxx −+−≥+ 7823
Bài tập rèn luyệnï:
1)
124 −+−≥ xx11+x

1) 342452
22
++≤++ xxxx
2) 123342
22
>−−++ xxxx
Bài tập rèn luyệnï:

21
1) (
13 ≥∨
−
≤
xx
) xxxx 271105
22
−−≥++
(-9<x<4)
2)
2855)4)(1(
2
++<++ xxxx
−−
x
x
(
3
1
00
22
1
<<∨<≤− xx
) 1)
2)
3
411
2
<
−−
x
x
(
2
1
00
2
1
≤<∨<≤− xx )
3) 0
12194
7
2

9
;0
== xx )
3. 471728 =+−+++++ xxxx (x=2)
4. 21212 =−−+−+ xxxx ( 1
2
1
≤≤ x )
5. 36333
22
=+−++− xxxx (
2;1
=
=
xx
)
6. 253294123
2
+−+−=−+− xxxxx (x=2)
Bài 2: Giải các bất phương trình
1.
3
7
3
3
)16(2
2
−
−
>−+

3
1
2
5
>∨<<∨−< xxx )
4.
22
112
2
+>
−+
x
x
x
( 0
2
1
<<− x )
5. )1(612)22( −≤−− xxx (
51
≤
≤
x
) DẠNG 2: Sử dụng các phép biến đổi giải các bài toán có chứa tham số
DẠNG 3: Sử dụng đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số
Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
1)
mxxxx =+−−++− )2)(7(27
( 3
2
9
23
≤≤− x )
2)
mxxxx =−++−++ )8)(1(81
( )2
2
3
(33
+≤≤ m )
3)
mxxxx =−+−−++ )6)(3(63
( 3
2
9
23
≤≤− x )
Bài 2: Tìm m để bất phương trình:
1)
)352()3)(21(
2
+−+>−+ xxmxx