100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
1 LVC Biên soạn
LƯU VĂN CHUNG
100 BÀI TOÁN
HÌNH HỌC 9
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
2 LVC
x
E
M D
H
B K C
F I
A
M
x
I K D
E
N H O B F C
J Q
6. IOFJ là hình thang cân
7. BC = R
3
. Tính DE theo R
8. BC = R
3
. Khi A chạy trên cung lớn BC thì H di chuyển trên
đường nào ?
9. Xác đònh tâm P của đường tròn ngoại tiếp
BHC và chứng minh
AOPH là hình thoi .
Bài 3
Cho H là trực tâm của
ABC , M là trung điểm BC . I là điểm đối xứng
với H qua K ; N là điểm đối xứng với H qua M. Chứng minh
1. I
(O) và N
(O) và A , O , N thẳng hàng
2. AF là tia phân giác chung của
ABC
và
HAN
A
E
O
H
S
C K M D
B B
I H O
A
C E
D
K
2
= SC.CD = SH.SO
3. SAOM nội tiếp
4. CHOD nội tiếp
5. AE // CD
6. CH cắt đường tròn tại F.
Chứng minh SO là phân giác của
FSC
Bài 5
Cho AB là tiếp tuyến , ACD là cát tuyến , BI // CD, EC = ED
1. Chứng minh ABOE và AHES nội tiếp
2. Chứng minh AK là tiếp tuyến của (O)
3. Chứng minh OE.OS = R
2
4. AO = 3R , CD = R
3
.
Tính diện tích
AOS theo R
5. A, B cố đònh , tìm vò trí của cát tuyến
ACD để S
M
C
I
E A H O B
A
E
C I
H
M O
K
F B
5. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD
6. Tính chu vi và diện tích ACDB theo R Bài 8
Cho OM = 2R , MA và MB là hai tiếp tuyến
EF tiếp xúc với (O) tại C.
1. Chứng minh EF = EA + FB
2. Tính chu vi
MEF theo R
3. Tính
EOF
4. Chứng minh EIKF nội tiếp
5. Chứng minh CH
2
EF
4R
x
M I
E F A C B
A
F
D
C
M O
AB
, I
AO , CD qua M và
vuông góc với IM . Chứng minh :
1. CAIM và BDMI nội tiếp
2.
CID vuông
3. EF // AB
4. AC.BD
R
2
5. Khi M cố đònh , I chạy trên AO.
6. Tìm vò trí I để AC.DB lớn nhất Bài 11
AB = 2R cố đònh , Ax , By
AB , I
Ax ,
C
AB , IC
BAD
theo R
7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và MB 100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
8 LVC
I
A D H
M
N
B C
K
A E
M
H
D
C K
BC , KH cắt AB
tại I . MA = MB , NH = NK. Chứng minh
1. DHKC nội tiếp
2. DI
AB
3. DI.DK = DA.DC
4.
DHK ~
DAB
5.
DMN vuông Bài 15
Cho MA , MB là hai tiếp tuyến , CD
AB .
CE
MA , CF
MB
1. Chứng minh các tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC
2. Chứng minh CE.CF = CD
2
I O B A
H O M B D I C E K
N
3. ME là tiếp tuyến của (O)
4. BHOC nội tiếp
5. Đường thẳng AE đi qua điểm cố đònh Bài 18
Cho (O;R) và dây BC = 2a cố đònh. M
tia đối tia BC. Vẽ đường tròn
đường kính MO cắt BC tại E , cắt (O) tại A và D ( A
cung lớn
BC
). AD
cắt MO tại H , cắt OE tại N. Chứng minh :
1. MA là tiếp tuyến của (O) và MA
2
= MB.MC
2. MHEN nội tiếp
3. Tính ON theo a và R
4. Tia DE cắt (O) tại F. Chứng minh ABCF là hình thang cân 100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
10 LVC
E
B O A
K H
C
I
D
N Bài 19
Cho đường tròn (O ;R) và điểm A sao cho OA =3R . Từ A vẽ hai tiếp
cao AD và BE cắt nhau tại H ( D
BC ; E
AC ; AB < AC )
1. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp
2. Chứng minh CE.CA = CD.CB và DB.DC = DH.DA
3. Chứng minh OC vuông góc với DE
4. Đường phân giác trong AN của
BAC
cắt BC tại N , cắt đường tròn
(O) tại K. ( K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp
CAN.
Chứng minh KO và CI cắt nhau tại điểm thuộc đường tròn (O).
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
13 LVC
C
A H O B
I
E
D
J F
M
Bài 21
DIF
= Sđ
AC Sd DF
= Sđ
AD SdDF
= Sđ
AF
AFJ JIF
IJ = JF
Mà
IFM vuông
DCO
3. Tìm quỹ tích N khi AB quay quanh P
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
14 LVC
N
O
C
D
A P B
K
4. Nếu AB cố đònh, còn P là điểm di động trên AB thì N di
OC // DP
Tương tự ta có OD // CP
CODP là hình bình hành .
2. Chứng minh
ABN~
DCO
PN
CD
CD là phân giác
NCP
1
2
DCP NCP
Mà
DCO
3. Quỹ tích điểm M
Ta có :
AOB ANB
(
đồng dạng )
A , O , N , B thuộc đường tròn AB là dây cung
NOB NAB
( cùng chắn
NB
)
NOB ODC
Vậy NP điểm qua điểm K cố đònh.
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
15 LVC
I
A P
H
B
O K
O
1 C
Bài 23
Cho đường tròn (O,R). Từ điểm P cố đònh ở ngoài đường
tròn vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC với đường tròn . H
là trực tâm của
ABC. Đường thẳng AH cắt (O,R) tại K.
1. Chứng minh K đối xứng với H qua BC
( góc có cạnh
)
BCH BCK
HCK cân tại C
K đối xứng với H qua BC
1. Chứng minh O
1
H = R và AOO
1
H
là
hình bình hành
O đối xứng với O
1
qua BC
K đối xứng với H qua BC
HO
1
// OA
AH
BC ; OO
1
// BC
AH // OO
1
. Suy ra AOO
1
H là hình bình hành
2. Chứng minh HIPO
1
là hình bình hành
HO
1
// OA và OA
AP
HO
1
AP mà PI
AP
A B
M
P cố định , PI
AP ; PI = R
I cố định . PH = PO
1
= PO ( khơng đổi )
Suy ra quỹ tích của H là đường tròn (I ; PO )
Bài 24
Trên đoạn AB lấy điểm M .Trên AM , BM dựng hai hình vng AMCD và
BMEF về cùng một phía đối với đường thẳng AB . Hai đường tròn (I) và
(K) ngoại tiếp hai hình vngđó cắt nhau tại N .
1. Chứng minh N , E , A thẳng hàng
2. Tìm quỹ tích N khi M di động trên đoạn AB
3. Chứng tỏ trung điểm H của IK ln chạy trên một đường cố định
0
90
ANB
N
( I )
Vậy A , E thẳng hàng với giao điểm N của ( I ) và ( K )
2. Quỹ tích của N khi M di động trên AB
Quỹ tích của N là nửa đường tròn đường kính AB.
Giới hạn : M
A
N
S ; M
B
N
S
3. Quỹ tích của H khi M chạy trên AB
MI
AC , MK
K I
M
A O B
N
Q Bài 25
Cho AB là đường kính cố đònh , MN là đường kính di động của đường
tròn (O) .Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt AM tại P , cắt AN tại Q
1. Chứng minh
AMN ~
(sđ
AB
– sđ
MB
)
1
2
sđ
AM
ANM AQP
AMN ~
AQP
2. Chứng minh AK
P ANM
)
Đường tròn (MNP) là đường tròn (MPQN)
có tâm là I
OI
MN ( đk – dc)
OI // AK . Mà IK
PQ
IK //AB
Do IK = OA = R nên quỹ tích tâm I của đường tròn (MNP) là đường thẳng
song song với PQ và cách PQ một đoạn bằng R
Bài 26
Cho
ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). M là một điểm tùy ý thuộc
(O;R).
1. Chứng minh MA + MB + MC
4R
2. Tìm vò trí của M
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh MA + MB + MC
4R
Trên đoạn MC lấy điểm N sao cho CN = AM
BCN =
BMA
BM = BN
BMN đều
BM = MN
MA + MB + MC = NC + MN + MC
= MC + MC
= 2MC
Mà MC
2R
2. Chứng minh đường thẳng
MB tại N
đi qua điểm cố đònh
Vẽ tia Nx
BM tại N cắt tia AC tại D
tứ giác DCNB nội tiếp
0
DBC DNC 45
( do
MCN vuông cân)
0
DBA 90
Suy ra BD là tiếp tuyến của (O) tại B. Vậy D là giao điểm của tia AC và tiếp
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AK
2
+ BI
2
không đổi
AK
2
+ BI
2
= AC
2
+ BC
2
+ CI
2
+ CK
2
= BC
2
+ IK
2
= 4R
2
+ R
2
= 5R
2
GA GB
2
=
2 2
2
4
(AK BI )
10R
9
2 9Bài 29
Cho đường tròn (O;R) , từ điểm P trong đường tròn dựng hai dây cung
APB và CPD vuông góc với nhau
1. Tính PA
2
+ PB
2
+ PC
2
+ PD
2
theo R
2. Cho P cố đònh , khi hai dây AB và CD quay quanh P và vuông góc với
nhau. Chứng minh AB
2
+ CD
K
O
B E A
O
M N
B C
K
B’ D C’
= CB
2
+ AD
2
= DE
– OK
2
+ OD
2
– OH
2
)
= 4( 2R
2
– OP
2
) không đổi
Bài 30
Cho
ABC cân tại A có
0
BAC 45
nội tiếp đường tròn (O;R).
1. Chứng minh AO là phân giác của
BAC
2. Tính các cạnh của
AK = R +
R 2
2
AC =
R 2 2
3. Cách dựng đường tròn (I)
Gọi x là độ dài bán kính (I) ta có
CMIN là hình vuông
OI = x
2
, ID = x
x + x
2
= R
x = R(
2 1
)
Cách dựng:
Bài 31
Cho
ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). M là điểm thuộc cung nhỏ
AB . AM cắt đường thẳng BC tại N
1. Chứng minh
ABM ~
ANB
2. Chứng minh đường tròn tâm I ngoại tiếp
MBN tiếp xúc với đường
thẳng AB
3. Gọi D là điểm chính giữa cung BC. Chứng minh tâm K của đường
tròn ngoại tiếp
MNC thuộc đường thẳng CD
Hướng dẫn giải
1.Chứng minh
ABM ~
ANB
2. Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
MBN
ABM~
ANB
AB
2
= AM.AN
AB tiếp xúc với đường tròn (MBN)
3. Chứng minh tâm K của đường tròn (MNC) thuộc đường thẳng CD
Vẽ đường kính CE của đường tròn (K)
0
EMC 90
Mà
0
AMC ABC 60
NCE NCD
K,C, D, E thẳng hàng.Vậy K thuộc đường thẳng CD
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
22 LVC
A E
F B
D M C D
A
Hướng dẫn giải
Ta có
DB AB
DC AC
(tính chất phân giác)
Ta chứng minh : BE.BA = BD.BM (1)
CF.CA = CM.CD (2)
BE BD BA
: 1
CF CD CA
BE = CF Bài 33
Cho
ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. M và N là hai điểm
chạy trên AB và AC sao cho BM = CN. Chứng minh trung trực của MN
luôn đi qua điểm cố đònh
Hướng dẫn giải
ACE
theo R
3. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
AEI 100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
23 LVC
C H A O I B
K E
D
ECD
OC CI
EC CD
EC =
2R 5
5
AHI ~
COI
AH AI
CO CI
AH =
3R 5
10
CEA
AC
2
= CI.CE
AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
AEI
Bài 34
Cho
ABC vuông tại A , dựng hai đường tròn (I ) và (J ) đường kính AB
và AC , chúng cắt nhau tại H
1. Chứng minh H thuộc đường thẳng BC
2. Qua A vẽ đường thẳng d cắt hai đường tròn tại M và N ( M
(I) )
Tìm quỹ tích trung điểm E của MN
3. Tìm vò trí của đường thẳng d để chu vi tứ giác BCNM lớn nhất
2. Quỹ tích điểm I
BMNC là hình thang .
Vẽ IK
MN
K là trung điểm BC. ( cố đònh ).
AIK vuông tại I
I thuộc đường tròn đường kính AK
3. Tìm vò trí đường thẳng d để chu vi tứ giác BCNM lớn nhất
Chu vi BCNM = BC + BM + MA + NA + NC. Trước hết ta tìm vò trí M
để MA + MB lớn nhất . Ta có : (MA
+ MB)
2
= MA
2
+ MB
2
+ 2MA.MB
Suy ra MA + MB lớn nhất
MA.MB lớn nhất
MH.AB lớn nhất
N là điểm chính giữa
AC
.
Vậy chu vi tứ giác BCNM lớn nhất khi đường thẳng đi qua điểm chính giữa
AB
và
AC
.
Bài 35
Cho đường tròn (O :R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Từ điểm
tùy ý trên (O) vẽ BH
xy tại H.
1. Chứng minh BA là phân giác của
OBH
2. Chứng minh phân giác ngoài của
OBH
đi qua điểm cố đònh
3. Phân giác
AOB
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
25 LVC B
D
I O N A
K
H M
E
C
Bài 36
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố đònh với OA = R. BC là đường kính
quay quanh O (A
BC ). Đường tròn ngoại tiếp
ABC cắt đường thẳng
AO tại I.
1. Tính OI theo R. Suy ra I cố đònh
DBC DEA
BICA nội tiếp (O’) ngoại tiếp
ABC
DBC AIC
. Suy ra :
AIC DEA
Suy ra : AKCI nội tiếp
b. Tính AK theo R
ECIK nội tiếp
AK.AI = AE.AC
BDEC nội tiếp
AE.AC = AD.AB = OA
2
– R
2
( chắn
DA
)
Mà :
DEA DBO
( cmt )
DNA DBO
BDNO nội tiếp
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
26 LVC
AN.AO = AD.AB = AK.AI. Do A, O , K , I cố đònh
N cố đònh
M thuộc đường trung trực của NA cố đònh
3. Tìm vò trí BC để diện tích
ABC lớn nhất
Mà O” cố đònh ( O” là trung điểm IA ).
Nên O’A nhỏ nhất
O’A = O”A
O’
O”.
Mà O”B = O”C
BC
O”A hay BC
OA
Khi đó : O’A =
IA 5R
2 4
Bài 37
Cho hình vuông ABCD cố đònh cạnh là a. E là điểm di động trên CD
( E
D ). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F. Đường thẳng
vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
1. Tính sđ
AFK
.
AK = AF
KAF vuông cân
AFK
= 45
0
2. Chứng minh I thuộc đường thẳng cố đònh
Tứ giác ADIK nội tiếp
0
KDI KAI 45
Mà
0
ADB 45
F
Ta có IC = IA và NC = NA
INA =
ICA ( c- c-c )
IAN ICN
Mà IABF nội tiếp
0
IAN IBF 45
x
Ta có DK = BF =
2
a
x
KE = KD + DE =
2
a
x
+ x
2
=
2 2
a x
x
AE =
2 2 2 2
AD DE a x
AK
2
= KE
2
– AE
EK
min
= 2a .
Dấu = xảy ra khi a = x
E
C. Khi đó KD = a. Bài 38
Cho
ABC vuông tại A (AB < AC).Dưng ngoài tam giác hai hình vuông
ABHK và ACDE .
1. Chứng minh H , A , D thẳng hàng
2. Đường tròn ngoại tiếp
ABC cắt AD tại F. Ch/ minh
FBC vuông
cân
3. BF cắt ED tại M. Chứng minh K , B , C , E , M cùng thuộc một đường
tròn
4. Chứng minh MC
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh H , A , D thẳng hàng
0
HAB DAC 45
H , A , D thẳng hàng
2. Chứng minh
FBC vuông cân
0
FAC 45 FC FB FB FC
MC làtiếp tuyến của (O)
MC
2
= MB.MF
5. Biết
0
ACB 30
.Tính diện tích tứ giác HBCD theo BC.
Đặt BC = 2a , ta có
0
ACB 30
ABC là nửa tam giác đều
AB = a và AC = a
3
S
BHDC
= S
2. Chứng minh IF.BK = IK.BF
3. Trung tuyến AM của
ABC cắt BF tại N. Chứng minh NA = NF.
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh A , B , E , D , F cùng thuộc một đường tròn
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
29 LVC
A F
I
N
D
K
B C
M E
x
E
M
AD là phân giác
FAE
AB là phân giác ngoài của
FAE
IK BK
IK.BF IF.BK
IF BF
3. Chứng minh NA = NF
AM là trung tuyến của
ABC vuông
MAC MCA
(MC = MA)
xOy = a
( không đổi ). Điểm O cố đònh . M
Ox , N
Oy sao cho
OM + ON = 2a ( không đổi ).
1. Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đoạn thẳng cố đònh.
2. Chứng minh đường trung trực của MN đi qua một điểm cố đònh
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
OMN đi qua điểm cố đònh khác
điểm O
4. Xác đònh vò trí MN để MN ngắn nhất
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đoạn thẳng cố đònh
Lấy E
MEA =
NFA
AM = AN
A thuộc trung trực của MN , mà A cố đònh. Đpcm
3. Chứng minh đường tròn (OMN) đi qua điểm cố đònh khác O
Tứ giác MEAI nội tiếp
AEI IMA
(chắn cung AI)
Mà
AEI EOA
góc có cạnh tương ứng vuông góc )
B
MN
OA
MN
EF.
Bài 41
Cho BC là dây cung cố đònh của đường tròn (O;R). A
cung lớn Bcsao
cho O nằm trong
ABC .Vẽ đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H.
1. Chứng minh
AEF ~
ACB
2. M là trung điểm BC.Chứng minh OM =
1
AH
2
3. N là trung điểm EF .Chứng minh R.AN = AM.ON
4. Chứng minh : 2S
E
F K
H
O B D M C A
F
E
I
B C
D
Tương tự ta chứng minh : FD.R = 2S
AOC
và DE.R = 2S
BOA
Suy ra : R(EF + FD + DE) = 2(S
BOC
+ S
COA
+ S
AOB
) = 2S
ABC
5. Tìm vò trí điểm A trên (O;R) dể chu vi
DEF lớn nhất ?
Theo câu 4 thì chu vi
DEF lớn nhất
S
Hướng dẫn giải
Ta có :
AFD 2ACD
( góc ở tâm F và góc nội tiếp )
AIB 2ACD
(AI là trung tuyến tam giác vuông)
AIB AFD
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
32 LVC
P B
A
( EF là trung trực của AD)
FED ABD
Mà
0
ADE FED 90
( EF
AD )
0
ACD ABD 90
(
ABC vuông )
AFE ADE
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh PB + QD = PQ
Ta có : PB + QD
= AB – AP +AD +AQ = AB + AD – ( AP + AQ )
= 2 – ( AP + AQ ) = ( AB + AP + PQ ) – ( AP + AQ ) = PQ
2. Chứng minh
0
PCQ 45
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
33 LVC
A B
E
M
I H
F
D C
N
Vẽ đường tròn tâm C bán kính 1 đv
0
1 2 3 4
C C C C 90
0
2 3
C C 45
hay
0
P'CQ' 45
Vậy nếu hai điểm P và Q thõa mãn chu vi
APQ = 2(đv) thì
0
PCQ 45
.
Chú ý
1. Có thể thay đổi giả thiết là hình vuông cạnh a , chu vi
0
ENF BCE 45
0
MBF MAF 45
ABFM nội tiếp
0
BMF BAF 45
Suy ra :
0
EMF ENF 45
E
D
B C
M Suy ra :
MBI MNE
(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Mà :
MNE MFE
( MEFN nội tiếp )
ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên BC lấy điểm M. Vẽ
MD // AB và ME // AC ( D
AC ; E
AB ). Chứng minh điểm dối
xứng với M qua DE thuộc đường tròn (O).
Hướng dẫn giải
M đối xứng với I qua ED
EID EMD
AEMD là hình bình hành
EMD EAD
Tương tự :
AEI 2ABI
(3)
Từ (1) , (2) và (3)
ACI ABI
ABCI nội tiếp
I
(O)
Bài 46
Cho hình vuông ABCD tâm O.Vẽ đường thẳng d qua O cắt AD , BC tại E
và F. Từ E , F vẽ các đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau tại I.
1. Tìm quỹ tích I khi E chạy trên AD
2. Vẽ đường cao IH của
IEF. Tìm quỹ tích của H
3. Chứng minh đường thẳng HI đi qua điểm cố đònh
1
D A
2 E
H
B C
Hướng dẫn giải
1. Tìm quỹ tích I khi E chạy trên AD
OE = OF ( tính chất đối xứng )
Mà EI // OM
MI = MF
Do FI
BD
I đối xứng với F qua BD
I
AB
2. Quỹ tích của H
KHB IFB 45
( HIBF nội tiếp )
0
KHB KOB 45
KHOB nội tiếp
0
BKO BHF 45
(=
BIF
)
OKB vuông cân tại B
OK = a
B
< 90
0
và
C
< 90
0
A
1 2
A A
2. Tìm quỹ tích trực tâm H
Ta có
0
BHC 180 A
( không đổi )
H
cung chứa góc
Bài 48
Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B , C cố đònh. Biết AB = a, BC = b.
Đường tròn (O) di động đi qua B và C. Vẽ tiếp tuyến AT của (O) (T
(O) )
1. Tìm quỹ tích của T
2. Vẽ đường kính BE của (O). AE cắt (O) tại D. Chứng minh :
AD.AE = OA
2
– OC
2
3. Tìm quỹ tích D và E .
Hướng dẫn giải
1. Quỹ tích của T
Chứng minh : AT
2
= AB. AC = ab
AT =
ab
T
AC
E
đường thẳng d
AC tại C
Bài 49
Cho đường tròn (O;R) có hai dây cung AC và BD vuông góc tại I nằm
trong đường tròn ( I
O ).
1. Chứng minh IA.IC = IB.ID
2. Vẽ đường kính CE của (O) .Chứng minh :
a. AB
2
+ CD
2
= 4R
2
b.
AB
2
+ BC
2
+ CD
2
D
H
N M
A I C
K
P
O E
B
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh IA.IC = IB.ID
Chứng minh
IAB ~
IDC
2a. Chứng minh AB
2
+ CD
2
= DE
2
+ CD
2
= CE
2
= 4R
2
2b. C/m AB
2
+ BC
2
+ CD
2
+ AD
2
= 8R
2
BC
2
+ AD
2
= BC
2
+ EB
ACD ABD
( cùng chắn
AD
)
DBK ABD
ABK cân tại B
AI = IK (1)
Ta có :
FBK BFA
(so le trong )
Mà
DE = 2OM ,
mà DE = AB
AB = 2OM
5. Chứng minh : MO
2
+ MI
2
– 2MP
2
=
2
OI
2
IMO có : IO
2
= IM
2
+ OM
2
– 2IM.OM.cos
IMO
(ch/ minh công thức)
= IM
2
+ OM
– OM
2
– HI
2
]
= IM
2
+ OM
2
– ( 4PN
2
– OM
2
– HI
2
)
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
38 LVC
A
E
D M
I
B C F
2
– 4PM
2
+ 4
2
2
HM
HI
4
= IM
2
+ 2OM
2
– 4PM
2
+ IM
2
= 2IM
2
+ 2OM
2
– 4PM
2
Vậy :
2
OI
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AH = AK
Chứng minh
AHK AKH
(góc có đỉnh trong đường tròn )
AH = AK
2. Chứng minh C, D , I thẳng hàng
CD là phân giác
C
, AF là phân giác  , BE là phân giác
B
Suy ra C , I , D thẳng hàng
AI đi qua điểm cố đònh F (điểm chính giũa
BC
)
3. Chứng minh
HK
AH
không phụ thuộc vào vò trí điểm A
xứng nhau qua O. M là điểm
(O) ( M
A và B). MI , MO , MK cắt
(O) tại C , E , D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt ME tại L,
cắt MC tại N.
1. Chứng minh LN = LD
2. Vẽ OH
CD tại H . Chứng minh LHDE nội tiếp
3. CD cắt AB tại F. Chứng minh FE là tiếp tuyến của (O).] Hướng dẫn giải
1. Chứng minh LN = LD
IO OM
LN ML
( do IO // NL )
IO OK
NL LD
HLED nội tiếp ( góc ngoài bằng góc trong đối diện )
3. Chứng minh FE là tiếp tuyến của (O)
HDL HEL
(tứ giác HLED nội tiếp )
Mà
HDL BFD
(slt)
OFH OEH
OFEH nội tiếp
M E K F O N
B
R C
2. Chứng minh K là trung điểm MN . Suy ra K thuộc đường thẳng
cố đònh khi M di động trên AB
3. Chứng minh E , K , F thẳng hàng
4. Tìm vò trí M , N , R để chu vi
MNR nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh K , F , N , O cùng thuộc một đường tròn
0
OKN OFN 90
FKN FON
( tứ giác nội tiếp )
MKE FKN
Do M , K , N thẳng hàng
E , K , F thẳng hàng
4 Tìm vò trí M , N , R dể chu vi
MNR nhỏ nhất
Chu vi
MNR min
KN min
Mà tg
OK
KNC
KN
AC
không chứa B lấy 2 điểm K và M ( K , M
A , C ). BK cắt AM tại E ,
KC cắt BM tại D. Chứng minh ED // AC
Hướng dẫn giải
Tứ giác KEDM nội tiếp (
BKC BMA
)
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
41 LVC
B
A C
E D
K
EDK ACK
ED // AC
Bài 54
Cho
ABC có 3 góc nhọn . M là điểm trong
ABC. H là trực tâm .
Chứng minh :
MA.BC + MB.AC + MC.AB
HA.BC + HB.AC + HC.AB
Hướng dẫn giải
ABC
½ AC.BM + S
AMC
½ CH.AB + S
ABC
½ AB.CM + S
AMB
Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được
điều phải chứng minh
Chú ý: Ta có thể thay đổi câu hỏi bài toán này theo hai cách sau:
1. Tìm vò trí của M để MA.BC + MB.AC + MC.AB nhỏ nhất
2. Chứng minh MA.BC + MB.AC + MC.AB
4S
ABC
1. Dấu = xảy ra khi M
H
½ BC.AM
S
ABC
– S
BMC
(1)
Tương tự : ½ AC.BM
S
ABC
– S
AMC
(2)
½ AB.CM
S
ABC
– S
AMB
(3)
1 1
2 2
B N M C
Bài 55
Cho
ABC có 3 góc nhọn . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
Vẽ đường cao AK. Chứng minh : KH.KA
2
BC
4 Hướng dẫn giải
Ta chứng minh
AKB ~
CKH
AK.HK = KB.KC
Mà theo BĐT Cauchy :
KB KC
KB.KC
2
đường tròn nội tiếp
ABC ,
ABH ,
AHC .
1. Chứng minh AI
JK.
2. Chứng minh BJKC nội tiếp .
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AI
JK
Ta có
0
0
1 1
90
A B 45
2
Mà
0
2 3
3
A
Mà
3
A
+
M
= 90
0
2
B
+
M
= 90
0
BE
AM
JE
JAK IAJ 45 IAJ
Mà
2
C
=
2
A
=
1
A
( góc có cạnh tương ứng
)
=
0
IAB IAJ 45 IAJ
Suy ra
2
BI
2. Chứng minh OA.B =
1
2
AH.BI
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh AO
BI
Gọi K là trung điểm
HK // BI và OK // BC
Mà BC
AH
OK
AH
O là trực tâm của
AHK
AO
HK
AOH ~
BIC
AO AH
BI BC
AO.BC = AH.BI
AO.BH =
1
2
AH.BI
Bài 58
Cho
ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (I) tùy ý đi qua B
và C cắt AB , AC tại M , N. Đường tròn tâm K ngoại tiếp
AMN cắt (O)
Vẽ tiếp tuyến Ax của (O) tại A
Ta cm được Ax // MN
OA
MN
Mà IK
MN ( đường nối tâm )
IK // OA (1)
Vẽ tiếp tuyến Ay của (K) tại A
Ta có
yAN
=
AMN
( chắn
AN
Từ (1) và (2)
AKIO là hình bình hành
2. Chứng minh
0
ADI = 90
Hai đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại A và D
OK là trung trực AD
Gọi E là giao điểm của KO và AI ta có : EA = EI ( hình bình hành )
Mà E
OK
EA = ED ( t/c trung trực )
Suy ra : ED = ½ AI
DAI vuông tại D
0
ADI = 90Bài 59
xMA MEF
xy // EF
OM
EF
2 . Ta có HE
MD ( đk-dc )
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
45 LVC y
M x E
F
H D
1
2
MHE MHD
Mà
1
2
MCD MHD
(góc nt-ở tâm)
MHE MCD
Mà
MFE MHE
(tứ giác nội tiếp)
CD. Vậy đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD đi qua
điểm O’ cố đònh
Bài 60
Cho
ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi A’ , B’ , C’ là điểm chính giữa
của các cung nhỏ
BC , AC , AB
.
1. Chứng minh các đường tròn (A’;A’C) ; (B’;B’A) ; (C’;C’B) cùng đi
qua một điểm
2. Chứng minh AA’ + BB’ + CC’ > AB + AC + BC
Hướng dẫn giải
1. Ta có AA’ , BB’ , CC’ là ba đøng phân giác của
ABC nên chúng
đồng qui tại M.
MCA’ có :
1
' ' ( ' ')
MA’C cân tại
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
46 LVC
A N
M
O
B Q C A N
D
Q
P N
CKA’
BH = KC
AB + AC = AH – BH + AK + KC = AH + AK = 2AK
Mà AK < AA’
2AK < 2AA’
AB + AC < 2AA’
AA’ >
2
AB AC
Chứng minh tương tự ta được : BB’ >
2
BC AB
và CC’ >
2
AC CB
Vậy : AA’ + BB’ + CC’ > AB + AC + BC
Bài 61
1. Cho
2. Theo kết quả câu 1. ta có ;
2AM = AB +AC – BC
2
AB AC BC
AM
Tương tự :
2
CA CD AD
CN
Ta có : MN = AC – AM – NC
= AC –
2
AB AC BC
–
2
CA CD AD
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
47 LVC
C
MN =
( ) ( )
2
AD BC AB CD
Tương tự ta chứng minh : PQ =
( ) ( )
2
AD BC AB CD
Suy ra : MN = PQ
3. p dụng câu 1. ta có : 2AI = AC +AB – BC
2BI = BC + BA – AC
4AI.BI = (AC +AB – BC )(BC + BA – AC )
= 2AC.BC = 4S
Hướng dẫn giải
1. ND là tiếp tuyến
ON
BC , AC
BC
ON //AC Mà DN
AC
DN
ON tại N
Do N
(O)
DN là tiếp tuyến
2. ADEK là hình bình hành
DEN CNE
( hình chữ nhật )
B
H
Q D
N
I
M J C
K
MON vuông cân
OH =
2
2
R
.
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn (O; OH) cố đònh
Bài 63
Cho
ABC cố đònh cân tại A. Gọi D là điểm di động trên BC. Qua D vẽ
hai đường tròn (I) và (J) tiếp xúc với AB tại B , tiếp xúc với AC tại C.
Hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau tại K ( K
0
180
ABO ACD A
0
180
AKC BKD A
0
180
BKC A
ABKC nội tiếp
2. Theo chứng minh trên ta có :
DKB DKC
KD là phân giác
2
( không đổi )
3. Gọi R là bán kính của (I) và r là bán kính của (J)
Vẽ IH , JN
BC
2 2
BD DC BC
HN
(không đổi )
BIH BKD
DJN DKC
100 Bài toán Hinh học Lớp 9 Chọn lọc
49 LVC A
BKD DKC
Ta có : R =
sin sin
sin
BH BH HD
BIH
; r =
sin
sin
DN DN
DJN
Suy ra : R + r =
sin 2sin
DH DN BC
( không đổi )
4. Kẻ MQ
BC ta có MQ là đương trung bình của hình thang HIJN
ABC đều. K là điểm thuộc cung nhỏ
AB. Vẽ đường tròn (I; r) tiếp xúc với (O;R) tại K (R > r). Đường tròn (I)
cắt KA , KB , KC tại D , E , F
1. Chứng minh DE // AB và DF // AC
2. Chứng minh FC = AD + BE
3. Từ A , B , C vẽ cát tuyến AM , BN ,CP với (I).
Chứng minh CP = AM + BN
Hướng dẫn giải
1. Chứng minh FC = AD + BE Ta có :
0
60
DEF AKF
( chắn
AC
)
0
60
FDE BKF (chắn
BC
)
Suy ra
2. Chứng minh CP = AM + BN
AM , BN , CP là các tiếp tuyến của (I)
AM
2
= AD.AK , BN
2
= BE.BK
AM
2
.BN
2
= (AD.BK)(AK.BE)
Mà CP
2
= CF.CK = (AD + BE)(KA + KB)
= AD.AK + AD.KB + BE.KA + BE.KB
= AM
2
+ AD.KB + BE.AK + AN
2
Mặt khác : ED // AB
AD BE
KA KB
Bài 65
Cho
ABC có phân giác BE tạo với cạnh AC một góc bằng 45
0
0
BEA = 45
Vẽ đường cao AD của
ABC. Tính số đo
EDC
?
Hướng dẫn giải
Từ E vẽ Ex
AC cắt BC tại F.
Suy ra FEAD nội tiếp
Ta có :
0
45
EAB
;
0
45
EDF ( cùng chắn
EF
)
Vậy
0
45
EDC Bài 66
Cho
ABC vuông tại A , A và B cố đònh , C di động trên tia At
AB
tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
ABC với P , Q , R là các tiếp
điểm trên aC , BC , AB. Đường thẳng PQ cắt tia AI tại D
1. Chứng minh B , D , Q , R cùng thuộc một đường tròn
Copyright: Tài liệu đại học ©