TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Đònh m để hàm số :
1) f(x) =
3
1
x
3
-
2
1
mx
2
– 2x + 1 đồng biến trong R
2) f(x) =
1
1
2
−
+−
x
mxx
tăng trong từng khoảng xác đònh của nó.
CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Bài 1 : Đònh m để các hàm số sau đây có cực trò :
1/ y =
3
1
mx
3
– (m – 1)x

+++
ααα
sìnxx
5/y =
4
3
2
−
++−
x
mxx
6/y =
1
2
−
+−
x
mmxx
Bài 2: Đònh m để hàm số đạt cực trò tại điểm x
0
1/y =
3
3
x
+ mx
2
+ 2(5m – 8)x + 1 đạt cực tiểu tại x
0
= 2
2/y = x

6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
trên đoạn
[ 1; 1]-
.
3/
2
f(x) x 5x 6= - + +
.
4/
3
y x 3x 2= - +
trên đoạn [–3; 2].
5/ y = x
3
- 3x
2
+ 6x – 2 trên
[ ]
1,1−
6/ y = x + 2
x
trên
[ ]
4,0
7/ y =
1

ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
10/ y = 4cos2x + 3sin2x + 7
11/ y = 2 sin x + 4 cosx – 3
12/ y =
1coscos
1
2
++ xx
13/ y =
x
2
sin2
3
+
14/
2
x 1
f(x)
x 1
+
=
+
.
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI 1 : Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x + 1 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số đã cho.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x
3

1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
2) Xác đònh m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác đònh.
3) Xác đònh m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu.
BÀI 5 : Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4, có đồ thò (Cm).
1) Xác đònh m để hàm số có cực trò.
2) Xác đònh m để đồ thò của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
3) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
BÀI 6 : Cho hàm số y = 3x
2
– x
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Gọi I là điểm uốn của đồ thò (C) và A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 3. Viết phương
trình các tiếp tuyến của (C) tại I và A. Tìm tọa độ giao điểm B của hai tiếp tuyến này.
BÀI 7 : Cho hàm số : y = x
3
– (m + 3)x
2
+ mx + m + 5 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
3) Giá trò nào của m thì trên đồ thò (C
m
) có 2 điểm đối xứng với nhau qua O.

2
+ 3(1 – m
2
)x + m
3
– m
2
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm k để phương trình : -x
3
+ 3x
2
+ k
3
– 3k
2
= 0 có ba nghiệm phân biệt.
3) Viết ph. trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số (1).
BÀI 12 : Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ m (1) (m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 2
BÀI 13 : Gọi (C
m
) là đồ thò của hàm số y =
3

2
– 2x – m – 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m = 1.
2) Tìm tất cả giá trò m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ điểm cực đại x
CĐ
,
hoành độ điểm cực tiểu x
CT
thỏa : | x
CĐ
. x
CT
| = 1.
BÀI 18 : Cho hàm số : y = – x
3
+ 3x + 2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
2) Tìm m để phương trình : x
3
– 2x + 2
m
– 6 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
B. HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax
4
+ bx
2
+ c
( )
a 0¹
BÀI 1 : Cho hàm số : y = –

2
1
24
−+−
= 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
BÀI 3 : Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 có đồ thò (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 3
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
x
4
– 2x
2
+ 1 –m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1).
BÀI 4 : Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
có đồ thò (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x

+ 3 có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), hãy xác đònh các giá trò m để pt x
4
– 2x
2
+ m = 0 có 4 nghiệm phân
biệt.
Câu 8 : Cho hàm số: y = mx
4
+ (m
2
– 9)x
2
+ 10 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1
2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trò.
3. HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 1/1:
( )
ax b
y ad bc 0
cx d
+
= - ¹
+
BÀI 9 : Cho hàm số y =
1x
2x2
−
+


1) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y = k.
BÀI 12 : Cho hàm số :
4x
4
y
−
=
1) Khảo sát hàm số trên (đồ thò là (C) )
2) Viết p. trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ là 3.
BÀI 13 : Cho hàm số : y =
m2x
1mx
+
+
(C
m
)
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 4
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
1) Đònh m để hàm số đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó.
2) Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi đồ thò là (C).
BÀI 17 : Cho hàm số : y =
1x
1x
−
+
(1), có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số (1).

4.1. Miền xác đònh :
{ }
E
D \
D
= -¡
.
2
Ax Bx C c
y ax b
Dx E Dx E
+ +
= = + +
+ +
( a, b, c là các kết quả trong biểu thức Hoocne)
4.2. Đạo hàm
2
/
2
ADx 2AE.x (BE CD)
y
(Dx E)
+ + -
=
+
+ (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có hai cực trò.
+ (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đơn điệu trên MXĐ.
4.3. Giới hạn và tiệm cận
+
E

+
++
có đồ thò (C).
1) Khảo sát hàm số trên, từ đó suy ra đồ thò hàm số : y =
2x
3x3x
2
+
++
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C), biết rằng d vuông góc với đường thẳng d’ : 3y – x +
6 = 0.
3) Dùng đồ thò (C) để biện luận theo a số nghiệm của phương trình : x
2
+ (3 – a)x + 3 – 2a =
0.
BÀI 2 : Cho hàm số :
)1x(2
4xx
y
2
−
+−
=
, có đồ thò là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số.
2) Tìm trên đồ thò (C) tất cả các điểm mà hoành độ và tung độ của chúng đều là số nguyên.
3) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A




=
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số trên.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = –
3x + 3
3) Biện luận theo tham số m số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng (D) : y = –2x + m.
4) Tìm trên đồ thò (C) các điểm M cách đều 2 trục tọa độ.
BÀI 5 :của hàm số
1x
x
y
2
−
=
1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thò (C)
2) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên của (C) và hai đường
thẳng có phương trình : x = –2, x = –1.
3) Tìm k để đường thẳng (d
1
) : y = kx + 1 cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh phân biệt.
4) Tìm k để đường thẳng (d
2
) : y = kx + 1 cắt (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
BÀI 6 : Cho hàm số y =
1x
1m3x)4m(x
2
+
−+−−
(C
m



−
2
1
;0
BÀI 8 : Cho hàm số :
1−
++−
=
x
1m2mxx
y
2
(C
m
)
1) Đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu và tung độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng dấu.
2) Khảo sát hàm số trên với m = 1. (đồ thò là (C))
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò (C), đường thẳng y = 3 và hai đường thẳng x =
2, x = 3.
BÀI 9 :
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (G) của hàm số :
1x
1
1x
2
1
y
−

=
có các tiệm cận trùng với
các tiệm cận tương ứng của đồ thò hàm số khảo sát trên.
BÀI 11 : Cho hàm số:
)1x(2
3x3x
y
2
−
−+−
=
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thò hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
BÀI 12: Gọi (C
m
) là đồ thò của hàm số y = mx +
x
1
(m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m =
4
1
.
2) Tìm m để h/s có cực trò và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng

m (m > 2). Tìm m để diện tích này bằng 3.
Bài 15: Cho hàm số:
1x
mxmx
y
2
−
++
=
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ
dương.
Câu I : (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
)1(
2x
4x2x
y
2
−
+−
=
2) Tìm m để đường thẳng d
m
: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thò của hàm số (1) tại hai điểm phân
biệt
NGUYÊN HÀM
I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT
1. Đònh nghóa

/
f(x)dx f(x)=
ò
b/
a.f(x)dx a. f(x)dx (a 0)= ¹
ò ò
c/
[ ]
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
.
3. Đònh lý
Đònh lý 1
Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a; b) (hoặc đoạn [a; b]) thì có nguyên hàm trên khoảng
(hoặc đoạn) đó.
Đònh lý 2
Nếu
u u(x)=
và
f(x)dx F(x) C= +
ò
thì
f(u)du F(u) C= +
ò
.
4. Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
a.dx ax C, a= + Ỵ
ò
¡

ò
/
u dx
ln u C, u 0
u
= + ¹
ò
2
dx 1
C
x
x
= - +
ò
/
2
u dx 1
C
u
u
= - +
ò
dx
2 x C
x
= +
ò
/
u dx
2 u C

/
u sinudx cosu C= - +
ò
2
1
dx tgx C
cos x
= +
ò
/
2
u
dx tgu C
cos u
= +
ò
2
1
dx cotgx C
sin x
= - +
ò
/
2
u
dx cotgu C
sin u
= - +
ò
Đặc biệt:

c/
ax b ax b
1
e .e C
a
+ +
= +
ò
d/
1
cos(ax b)dx .sin(ax b) C
a
+ = + +
ò
e/
2
dx 1
.tg(ax b) C
a
cos (ax b)
= + +
+
ò
.
5. BÀI TẬP :
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1/
5
f(x) (2x 3)= -
2/

2x
=
8/
3
(lnx 3)
f(x)
2x
+
=

9/
2
f(x) sin(ax b)cos (ax b)= + +
10/
f(x) tgx=

11/
2 3
f(x) x x 1= +
12/
3cosx
f(x) e sinx=

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 10
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
13/
2
2
f(x)
1 x

(sinx cosx)
=
+

19/
2 2
2
5sin x 3cotg x
f(x)
cos x
-
=
20/
( )
2
x x
f(x) sin cos
2 2
= -

21/
( )
3
x 1
f(x)
x x
-
=
22/
( )

2 2
sinxcosx
f(x)
cos x sin x
=
-

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo:
1/
x
x
e
f(x)
e 2
=
+
,
F(0) ln3= -
2/
20
cosx
f(x)
sin x
=
,
( )
F 0
2
p
- =

++
−++
=
,
3
1
F(1)=
TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng
( )
; a b
và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với
( )
a, b ; Ỵ a b
ta gọi hiệu
F(b) F(a)-
là tích phân từ a đến b của f(x).
Ký hiệu:
b
b
a
a
f(x)dx F(b) F(a) F(x)= - =
ò

(công thức Newton - Leibniz).
+ Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân.
+ f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).
+ a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b).

¡

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 11
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
4/
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +
ò ò ò
5/
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±
ò ò ò
6/
[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0³ " Ỵ Þ ³
ò

[ ]
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0£ " Ỵ Þ £
ò
7/
[ ]
b b
a a

u( ) a, u( ) ba = b =
thì
b
/
a
f(x)dx f[u(t)].u (t)dt f(u)du
b b
a a
= =
ò ò ò
.
4. BÀI TẬP
DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa
PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm
Bài 1 : Tính các tích phân :
1/
dxxx )1(
2
1
0
+
∫
2/
dxxxx )1(
2
16
1
−
∫
3/

2/
dx
x
x
∫
−
−
2
1
21
12
3/
dx
x
xx
∫
−
+−
5
4
2
3
52
4/
dx
xx
x
∫
+−
−

∫
+−
5
4
2
96
3
8/
dx
xx
x
∫
+−
−
5
4
2
96
12
9/
dx
x
x
2
2
1
3
1
∫


2
0
sin2sin
π
xdxx
3/
∫
2
0
3sincos
π
xdxx
4/
∫
2
0
5cos2sin
π
xdxx
5/
∫
2
0
4
cos
π
xdx
6/
∫
3

4
0
2
∫
−
+
π
DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
( trong đó u(x) là hàm số biến x)
*Phương pháp:
+ Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a
⇒
t = u(a), khi x = b
⇒
t= u(b)
+ Thay thế :
Khi đó
∫
b
a
dxxuxuf )(')].([
=

1
dx
x
x
4/
∫
−
2ln
0
1dxe
x
5/
∫
+
2
1
2
1 xx
dx
6/
∫
−
2
3
21
2
1 xx
dx
Bài 2 : Tính các tích phân :
1/

dxe
1
ln
5/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
6/
dx
x
e
tgx
∫
2
0
2
cos
π
Bài 3 :Tính các tích phân :
1/
dx
x
x

0
dx
ee
e
xx
x
5/
∫
+
27
1
3
)1(
dx
xx
dx
6/
∫
π
0
4
cos xdx
7/
∫
−
−−
1
1
2
)1112( dxxx

π
dx
xx
x
11/
∫
+
dx
xx
x
33
3
cossin
cos
12/
∫
−
+
2ln
0
xx
ee
dx
DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần
* p dụng cho những tích phân có dạng
∫
b
a
dxxvxu )(').(
( trong đó u(x), v’(x) là những hàm

xvxu )()(
-
∫
b
a
dxxvxu )().('
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …
- Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv
Bài tập : Tính các tích phân sau :
1/
∫
2
0
cos
π
xdxe
x
2/
∫
2
4
2
sin
π
π
dx
x
x
3/
∫

π
π
dx
x
xx
7/
∫
2
0
2
sin
π
xdxx
8/
∫
−
e
dxx
1
2
)ln1(
9/
∫
e
e
dxx
1
ln
10/
∫

1
2
DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1
* p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức
22
xa −
,
22
1
xa +
mà không thể tính
bằng các phương đã học .
*Phương pháp:
+ Đặt biến mới
-Dạng chứa
22
xa −
: Đặt x = asint, t






−∈
2
;
2
ππ
- Dạng chứa

−
1
22
2
2
1
3/
∫
−
e
xx
dx
1
2
ln4
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 14
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
4/
dxxx
∫
++−
1
0
2
32
5/
∫
+
3
0

0
22
1 dxxx
9/
∫
+
2
1
22
4
1
dx
xx
BÀI TẬP ÔN TẬP
BÀI 1 : Chứng minh :
∫∫
π
π
=
2
4
e
1
sin
xdxln
x
dx
2
BÀI 2 : Tính các tích phân sau :
1)

1
2
xdxln)x - (x
6)
∫
+
2
0
3 3
2
1 x
dxx
7)
∫
−
2
1
2
9x
dx
∫
2
1
4
dx
x
lnx
8)
∫
e

π
xdxtg
13)
∫
++
e
xdxxx
1
2
ln).1(
14)
∫
−−
−
2
1
2
6
)1(5
dx
xx
x
15)
∫
2
0
sin
π
xdxe
x

4
0
2
sin
π
dxx
20)
∫
4
0
2
cos
π
x
xdx
21)
∫
−+
2
0
2
32 dxxx

22)
∫
−
π
0
2
sin1 dxx

25)
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
26)
∫
+
1
0
2
dx
1x
x
27)
∫
2
π
0
x.sin2xdx
28)
∫
+
1
0
2
dx1xx.

0
2
dx)in(x.
π
sx

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 15
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
34)
∫
+
2
0
53
dxx)2cosx(cos
π
35)
∫
+
1
0
3
dx
)1(x
x
36)
∫
2
6
2

−
2
0
2
dxxx
40)
∫
+
32
5
2
4xx
dx
41)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
42)
∫
−+
2

x.sin2xdx
46)
∫
+
1
0
2
dx1xx.
47)
∫
+
1
0
12x
dxx.e
48)
∫
+
1
0
2
dx1)n(x.x l
49)
∫
2
0
5
dxxin
π
s

1
0
2
dx
1
1
x
x
54)
dx
tgx
tgx
∫
−
+
3
6
1
1
π
π
BÀI 3: Chứng minh rằng :
1)
dxedxe
xx
∫∫
−−
≤
1
0

1
0
2
27
4
)1(0 dxxx
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng:
1) Giới hạn bởi (P): y = x
2
và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2).
2) Giới hạn bởi (C ) : y =
1
2
−x
x
, đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x =
λ
(
λ
> 2)
Tính
λ
để diện tích S = 16 đvdt
3) Giới hạn bởi : y
2
= 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0
4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin
2
x + x (0

2
= x ; y = – x + 2.
11)Giới hạn bởi
2x
12x10x2
y
2
+
−−
=
và đường thẳng y = 0
BÀI 2 : Cho Parapol (P). Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2 .
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 16
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
a) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
b) Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt
giá trò lớn nhất.
BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh
trục Ox
1) y = - x
2
+ 2x và y = 0
2) y = sin x, y = 0, x =
π
3) y = cosx , y = 0, x = 0, x =
2
π
4) y =
x
4

1) Tính diện tích hình (H).
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox.
BÀI 5 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = x +1 ; y = x
3
– 3x
2
+ x + 1.
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay
xung quanh trục Ox : y = x
2
– 1 và y = 0.
BÀI 6 :
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x
2
+ 2x +1 ; y = –
x
2
và x = –
2
1
2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox :
x = 0 ; x =
2
π
; y = 0 ; y =
xsinx
HÌNH HỌC PHẲNG
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

ka (ka ; ka ), k= Ỵ
r
¡
.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 17
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
3)
1 2
1 2
1 2 2 1 1 2
1 2
1 2
a a
a a
a b a k.b 0 a b a b 0 (b 0 b )
b b
b b
Û = Û = Û - = Û = ¹ ¹
r r
r r
P
.
4)
1 1 2 2
a.b a b a b= +
r
r
.
5)

7)
( ) ( )
2 2
B A B A B A B A
AB (x x ; y y ) AB x x + y y= - - Þ = - -
uuur
.
8) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
MA k.MBÛ =
uuur
uuuur

( )
A B A B
x k.x y k.y
M ; .
1 k 1 k
- -
Þ
- -
9) Điểm I là trung điểm của đoạn AB thì I
( )
A B A B
x x y y
; .
2 2
+ +
10) Tọa độ trọng tâm G của
ABCD
là

r
thì (d):
0 0
pt(d) : A(x x ) B(y y ) 0- + - =
.
b) Phương trình tham số (ptts)
(d) đi qua
0 0 0
M (x ; y )
và có VTCP
1 2
a (a ; a )=
r
thì
0 1
0 2
x x a t
ptts(d) : (t )
y y a t
= +
ì
ï
ï
Ỵ
í
= +
ï
ï
ỵ
¡

, với quy ước
0
x x 0 =
d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A A
B A B A
x x y y
pt(AB) :
x x y y
- -
=
- -
hoặc
B B
B A B A
x x y y
pt(AB) :
x x y y
- -
=
- -
.
e) Phương trình đoạn chắn
Cho (d) đi qua
A(a; 0), B(0; b)

(a 0 b)¹ ¹
thì
x y
pt(d) : 1

C A
0
C' A'
¹
.
3) (d) trùng (d’)
A B B C C A
0
B' C'
A' B' C' A'
Û = = =
.
LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 18
TRƯỜNG THPT. BC CHU VĂN AN
b) Chùm đường thẳng
Giả sử (d) cắt (d’) tại I, đường thẳng
( )D
đi qua I thì
( )D
thuộc chùm đường thẳng tâm I và
2 2
pt( ) : m(Ax By C) n(A 'x B 'y C ') 0 (m n 0)D + + + + + = + >
.
c) Góc giữa hai đường thẳng
Gọi
, n, n'j
ur
r
là góc và VTPT của (d) và (d’), ta có:
2 2 2 2

A B A ' B '
+ + + +
= ±
+ +
.
3. Một số tính chất khác
Cho hai điểm
1 1 1 2 2 2
M (x ; y ), M (x ; y )
và đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có:
1)
1
M
hoặc
2
M
nằm trên (d)
1 1 2 2
(Ax By C)(Ax By C) 0Û + + + + =
.
2)
1 2
M , M
nằm khác phía so với (d)
1 1 2 2
(Ax By C)(Ax By C) 0Û + + + + <
.
3)
1 2
M , M

3) (d) không cắt (C)
Û
d(I; (d)) > R.
3. Vò trí tương đối của hai đường tròn
Cho (C
1
) tâm I
1
bán kính R
1
và (C
2
) tâm I
2
bán kính R
2
, ta có 5 vò trí tương đối sau đây:
1) (C
1
) và (C
2
) ngoài nhau
Û
I
1
I
2
> R
1
+ R

1 2 1 2
I I R RÛ = -
.
5) (C
1
) và (C
2
) chứa nhau
1 2 1 2
I I R RÛ < -
.
4. Phương tích. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0 và điểm M
0
(x
0
; y
0
), vẽ cát tuyến
M
0
AB và tiếp tuyến M
0
M với (C) ta có phương tích của điểm M
0
đối với (C) là:


0
M / (C)
0<
thì
0
M
nằm trong (C).
3) P
0
M / (C)
0>
thì
0
M
nằm ngoài (C).
5. Trục đẳng phương
Cho (C
1
): x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b
1
y + c
1
= 0 và (C
2

2
x – 2b
2
y +
c
2
Û
2(a
1
– a
2
)x + 2(b
1
– b
2
)y – (c
1
– c
2
) = 0.
6. Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) thuộc (C)
a) Dạng chính tắc: (x – a)(x
0
– a) + (y – b)(y

1
, F
2
là 2 tiêu điểm.
2) F
1
F
2
= 2c là tiêu cự.
3) A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0;–b), B
2
(0; b) là 4 đỉnh của elip.
2. Phương trình chính tắc
Cho elip (E) có hai tiêu điểm F
1
(–c; 0) và F
2
(c; 0)
nằm trên trục hoành thì (E) có phương trình chính
tắc là:
2 2
2 2
x y
(E) : 1

.
4. Tâm sai:
2 2
c a b
e
a a
-
= =

( )
e 1<
.
5. Đường chuẩn của elip:
2 2
1 2
a a a a
( ) : x x , ( ) : x x
e c e c
D = - Û = - D = Û =
.
6. Tiếp tuyến với elip
a) Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
)
Cho
2 2

a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2

(C 0)¹
.
II. HYPERPOL
1. Đònh nghóa
Cho hai điểm cố đònh F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c và hằng số 2a (c > a > 0).
Tập (H) là một hyperpol nếu
1 2
M (H) MF MF 2 Û - =
.
1) F
1

.
3. Bán kính qua tiêu điểm
1) M thuộc nhánh phải (x
M
> 0):
MF
1
= ex
M
+ a, MF
2
= ex
M
– a.
2) M thuộc nhánh trái (x
M
< 0):
MF
1
= – ex
M
– a, MF
2
= – ex
M
+ a.
4. Tâm sai:
c
e 1
a

B
2
= C
2

(C 0)¹
.
Chú ý:
2 2
2 2
x y
1
a b
- = -
là hyperpol liên hợp của
2 2
2 2
x y
1
a b
- =
.
III. PARAPOL
1. Đònh nghóa
Cho đường thẳng cố đònh
( )
D
và điểm
( )
F Ï D

0
; y
0
) thuộc (P):
y
0
y = p(x
0
+ x).
6. Điều kiện tiếp xúc: 2AC = B
2
p.
7. Các dạng parapol khác: y
2
= – 2px, x
2
= 2py, x
2
= – 2py (p > 0).
B. BÀI TẬP
BÀI 1 :
1) Cho ∆ABC có M(–1 ; 1) là trung điểm cạnh BC, hai cạnh còn lại có phương trình lần lượt
là (AC) : x + y – 2 = 0, (AB) : 2x + 6y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC và viết phương trình
cạnh BC.
2) Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục hoành và có tâm I
nằm trên đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 21
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
BÀI 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x

22
=+
.
1) Xác đònh tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
2) Chứng minh OM
2
+ MF
1
.MF
2
là một số không đổi với F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E) và M
∈ (E).
3) Tìm các điểm M thuộc (E) thỏa MF
1
= 2.MF
2
với F
1
, F
2
là hai tiêu điểm của (E).
4) Tìm các điểm M ∈ (E) nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
BÀI 5 : Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 9x
2
– 16y
2

4) Tìm các điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F
1
F
2
dưới một góc 60°.
BÀI 7: Cho Parabol có phương trình (P) : y
2
= 8x
1) Tìm tọa độ tiêu điểm của (P) và viết phương trình đường chuẩn của (P).
2) Tìm điểm M trên (P) cách tiêu điểm F một đoạn bằng 10.
3) Chọn điểm M tìm được có tung độ dương. Tìm điểm A trên (P) sao cho ∆AFM vuông tại F.
4) Biện luận theo m số giao điểm của (P) với đường thẳng y = x + m. Khi đường thẳng y = x +
m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Hãy tìm tập hợp các trung điểm của đoạn MN.
BÀI 8 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 4x
2
+ 9y
2
= 36.
1) Xác đònh tọa độ các tiêu điểm, độ dài các trục của (E).
2) Cho thêm elip (E ’) :
1y
16
x
2
2
=+
. Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm của hai
elip.
3) Cho 2 đường thẳng (D) : ax – by = 0 và (D’) : bx + ay = 0 (a
2

1
+x
2
+ 4.
BÀI 12 : Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225.
1) Viết phương trình chính tắc và xác đònh các tiêu điểm, tâm sai của (E).
2) Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) và đi qua điểm A(4 ; 2). Viết phương trình đường tròn và
chứng tỏ (T) đi qua hai tiêu điểm của (E).
3) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (E) sao cho OA ⊥ OB. Chứng minh rằng :
22
OB
1
OA
1
+
có giá trò
không đổi.
BÀI 13:
1) Cho ∆ABC có đỉnh A(2 ; –1) và hai đường phân giác trong của góc B, góc C có phương
trình lần lượt là (d
B
) : x – 2y + 1 = 0 và (d
C
) : x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.
2) Tìm điểm M ∈ (H) : 5x
2

2
– MF
1
.MF
2
là một số không đổi.
d) Tìm các giá trò của k để đường thẳng y = kx – 1 có điểm chung với (H).
BÀI 15 :
1) Trong mp Oxy cho đường thẳng d có phương trình : 2x – y + 5 = 0 và điểm I(3 ; 1).
a) Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với d.
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của đường tròn đó với d.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 23
ÔN TẬP TỐT NGHIỆP
2) Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 12x
2
– 16y
2
= 192 và điểmP(2 ; 1). Viết phương
trình đường thẳng đi qua P và cắt (H) tại 2 điểm M, N sao cho P là trung điểm của MN.
BÀI 16 : Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x
2
+ y
2
= 4.
1) Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai của (E).
2) Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E) tại 2 điểm phân biệt M, N khi m
thay đổi. Tìm tập hợp các trung điểm của MN.
BÀI 17: Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 9x
2

2
= 4.
1) Tìm tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm và tâm sai của elip.
2) Đường thẳng qua một tiêu điểm của elip và song song với trục Oy cắt elip tại hai điểm M
và N. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
3) Tìm giá trò của k để đường thẳng y = x + k cắt elip đã cho.
BÀI 21: Trong mp Oxy cho hai điểm A(5 ; 0) và B(4 ;
23
).
1) Lập phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính. Tìm tọa độ các giao điểm của
đường tròn và trục hoành.
2) Lập phương trình chính tắc của đường elip (E) đi qua hai điểm A và B.
BÀI 22 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(2 ; 0) và đường thẳng (D) có phương trình : 4x – 3y + 2 =
0
1) Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ.
2) Tính khoảng cách từ F đến (D) rồi lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D).
Tìm tọa độ tiếp điểm.
BÀI 23:
1) Cho Parabol (P) có phương trình y
2
= x và đường thẳng d có phương trình : 2x – y – 1 = 0.
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại các giao điểm của (P) và d.
2) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (P) : y
2
= 4x và (E) :
1
2
y
8
x

x
2
2
=+
1) Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của (E).
2) Điểm M thuộc (E) nhìn hai tiêu điểm của nó dưới một góc vuông. Viết phương trình tiếp
tuyến của (E) tại M.
BÀI 26 : (1,5đ) Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) đi qua điểm M(5;
4
9
) và nhận điểm F
1
(5 ; 0)
làm tiêu điểm của nó.
1) Viết phương trình chính tắc của hyperbol (H).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có
phương trình : 5x + 4y – 1 = 0.
BÀI 27 : (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một elip (E) có khoảng cách giữa các
đường chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu điểm M nằm trên elip (E) là 9 và 15.
1) Viết phương trình chính tắc của elip (E).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) tại điểm M.
BÀI 28 : (1,5 điểm) Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) :
1
16
y
25
x
2
2
=+

+ 4.
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc
Oxyz. Gọi
i, j, k
r
r r
lần lượt là vector đơn vò của các
trục Ox, Oy, Oz. Ta có:
1)
0 0 0 0 0 0
a (x ;y ;z ) a x i y j z k.= Û = + +
r
r r
r r
2)
0 0 0 0 0 0
M(x ; y ; z ) OM (x ; y ; z ).Û =
uuur
2. Tính chất và công thức
Cho
1 2 3 1 2 3
a (a ; a ; a ), b (b ; b ; b )= =
r
r
:
1)

AB x x y y z z .Þ = - + - + -
6)
·
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a.b a b a b a b
cos(a, b)
a a a b b b
a . b
+ +
= =
+ + + +
r
r
r
r
r
r
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b 0Þ ^ Û + + =
r
r
.

LƯU HÀNH NỘI BỘ – trang 25