I HC S PHM H NI
GV: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
1

NHèN BI TON DI QUAN IM CC TR
TQT
I - Lý thuyết
Giả sử f(x) là hàm số thực xách định trên miền M. Khi đó:
1. Nếu f(x) có giá trị nhỏ nhất trên M thì:
Nguyên lí 1: f(x)

c với mọi x

M khi và chỉ khi
cxf
Mx


)(
min
.
Nguyên lí 2: Bất phơng trình f(x)

c có nghiệm thuộc M khi và chỉ khi
cxf
Mx


)(
min
.

Mx
Mx





Sau đây tôi xin giới thiệu một vài ứng dụng của 4 nguyên lí cực trị trên để giải
quyết một số bài toán.
II- ng dụng.
1.ng dng trong phng trỡnh v bt phng trỡnh.
a) Xột tam thức bậc hai f(x)= ax
2
+ bx + c ( a

0) di quan im cc tr:
Ta có f(x) =
a
acb
a
b
xa
4
4
2
2
2





.
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
2

Tõ ®ã ta nhËn thÊy:
+) a > 0 , minf(x) = -
a
4
∆
, maxf(x) = +
∞
.
+) a < 0 , maxf(x) = -
a
4
∆
, minf(x) = -
∞
.
+) f(x)
≥
0
∀
x
⇔




0 , Rx
∈
∀
ta chøng minh



≤∆
>
0
0a

CMR:
322242
44)2(2 xyxxyyxyx ≥++++ , yx,
∀

Gi¶i
§pcm
⇔
x
2
(y
2
+1)
2
+ 4y(1-y
2
)x + 4y
2


≤
0
∀
y.
Suy ra



>+
≤∆
0)1(
0'
22
y

⇒
f(x)
≥
0
∀
x,y (®pcm). I HC S PHM H NI
GV: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
3

VD2: Từ a.f(x)


===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
baba
1
2
1
2
2
1
(1)
Gii
+) Nếu

= 0
2
i
a thì BĐT đợc chứng minh.
+) Nếu

0
2
i





===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
baba

Đặt f(x) =

)(
2
i
a x
2
2(

ii
ba
)X +

2






=

0
0)(
2
i
aa
xaf



'

=
0
1
2
1
2
2
1





Đpcm.
VD3: Cho x,y,z là nghiệm của hệ phơng trình



=++
=++
4
8
222
xzyzxy
zyx

CMR:
3
8
,,
3
8
zyx
Giải
Ta có



+=
=+

- (4 - z)X + (z - 2)
2
= 0.
Ta có 0)2(4)4(
22
= zz
3
8
00)38( zzz (1)
+) Với x+y+z = -4 hay x+y = -z 4
Thay vào phơng trình sau ta suy ra xy = (z + 2)
2
.
Vậy x,y là nghiệm của phơng trình: X
2
(4 + z)X + (z + 2)
2
= 0
0)2(4)4(
22
++= zz
0)83(

+

xz 0
3
8
z (2)
Kết hợp (1) và (2) ta đợc

0 x

.
3) Cho ax + by xy , yx,

dơng. CMR: ab
4
1
.
4) Cho các số a
i
, b
i
> 0 (i = 1,2,n) thoả mãn:
M
a
b
m
i
i
<0
, i

.
CMR: a)
iii
baMmmMab )(
2
2
++

















=
==

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
5

b) Tính chất của hàm số nhìn theo quan điểm cực trị
như thế nào
Giải
Ta biết rằng hàm này được quy về

Khi đó ta thấy ngay min f(x)= c - và max f(x)= c+ Từ đó ta
ta suy ra:

BÀI TẬP THAM KHẢO
1) Cho hàm số với x .
Tìm a để min y=2.
2) Cho hàm số . Tùy theo m tìm min, max của
hàm số.
3) Xách định m để .
4) Xách định a để với mọi x thì :
.
c) Bài toán biện luận số nghiệm và tính có nghiệm của một phương trình và bất
phương trình luôn là một bài toán quan trọng, sử dụng cực trị để giải bài toán này
là một công cụ hết sức hiệu quả. Trong phần này tôi xin giới thiệu một số bài toán
áp dụng tính chất 3 để giải quyết tương đối dễ dàng.
Ví dụ 1: Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
x
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
7

Giải
TXĐ :
Xét hàm số
f’(x) =
f’(x)= 0 +2x = 0

Ta có bảng biến thiên :
x
f’(x) - 0 +
f(x)
Vậy phương trình f(x) = m có nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là
Chú ý Từ cách giải trên bằng cách tương tự giải bài toán tổng quát sau:
Với m, n nguyên lớn hơn 2 , giải phương trình sau: ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
9

Khi đó ta thấy nó tương đương với hệ sau: Có 4 khả năng sau xảy ra:
1.Nếu m=2k ,n=2l (tức m,n cùng chẵn)

2. Nếu m = 2k, n = 2l +1 (m chẵn ,n lẻ)

3.Nếu m ,n cùng lẻ

4.Nếu m lẻ ,n chẵn :
ݔ
=
ݐߨ

;

ݔ=
.

0

Trên trục hoành và trục tung ta đặt liên tiếp các đoạn thẳng sau:

khi đó ta thấy ,theo Pitago thì:
;

Như vậy VT là tổng của những đường gấp khúc từ O tới .
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
11

VP là độ dài đoạn
Vì vậy hiển nhiên là VP = VT.
Dấu ‘=’xảy ra khi thẳng hàng .
Tức là = .
Bây giờ ta thử nhìn bài toán trên theo quan điểm cực trị.
Xét hàm số : =
và có
Đặt =

Ta có

Bài toán được chứng minh.
Nhận xét
Ta thấy rằng đối với cách này, điều kiện các số: > 0
là không cần thiết.


VD
VDVD
VD3
33
3
:
::
: Cho n nguyên dương . CMR:

Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
Xét hàm số
Ta có
0
Suy ra
Ta cm
(2) Ta có dãy số là dãy số giảm và có giới hạn là e

Vậy ta có đpcm.

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
14

BÀI TẬP THAM KHẢO
1.CMR

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
21
12
1
≤+⇔
+
≥
R
r
R
r

2coscoscos ≤++⇔ CBA
Không giảm tính tổng quát , giả sử A=max{A;B;C}
≥

2
π
;
Ta có: ≤
−
+−=++
2
cos
2
sin2
2
sin21coscoscos
2
CBAA


∈∀=≤ xfxf ;2)
2
2
()(' )1;
2
2
[

2coscoscos ≤++⇔ CBA
∈
∀
x
)1;
2
2
[

Đẳng thức xảy ra khi





=
=
2
2
2
A

≥−−−−−−++ CcaBbcAabcba
0)2cos2()2cos2cos(2)(
222
≥+++++=⇔ BbccbaCcAbaaf
Xem f(a ) là tam thức bậc hai cúa
=
∇
' 0)2cos2()2cos2cos(
222
≥++++ BbccbCcAb
)2sin2sin2sin22sin
2222
CcCAbcAb −+−=
0)2sin2sin(
2
≤−−= CcAb
đẳng thức xảy ra khi



=−
=
02sin2sin CcAb
ccos2C bcos2Aa


=



=+
=−
⇔
)4(2
)3(2
π
π
BC
BC

Xét đẳng thức(3): BCBC
+
=
⇒
=
−
π
π
22
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
17







GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
18

i) min{a,b}=
ii) max{a,b}= ;
Ngược lại, thì a - và a +
Như vậy dựa vào những tính chất này để giải các bài toán tìm min, max của những
hàm số có dạng y= f(x) + đơn giản hơn nhiều so với việc phá dấu trị tuyệt
đối.
Ta có:
= max{ }

= min{ }

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sinx - .
Giải
Đặt f(x) = 2cosx + sinx + (cosx+ 3sinx -2) = 3cosx + 4sinx -2.
g(x) = 2cosx + sinx - (cosx+ 3sinx -2)= cosx – 2sinx +2.
Dễ thấy rằng min f(x) = -2 -
min g(x) = 2 - = 2- .
Vậy min y = -7.
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952
19

BÀI TẬP THAM KHẢO
1) Cho hàm số y = với -2 .