SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
(Thời gian làm bài 120 phút)
Năm học 2010-2011
Câu 1: (6 điểm)
Cho parabol y = x
2
. M là một điểm bất kỳ trên parabol và M ≠ O (O là gốc tọa độ).
P là một điểm khác trên parabol sao cho OP ⊥ OM.
1). Viết phương trình đường thẳng MP;
2). Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định;
3). Gọi I là trung điểm của MP. Tìm quỹ tích điểm I.
Câu 2: (4 điểm)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1).
3
3
1221 −=+ xx
;
2).





=+
−=−+−
6
2
3

+
+
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
+
+
.
Câu 4: (3 điểm)
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:
(C): x
2
+ y
2
-1 = 0; (C’): (x - 8)
2
+ (y - 6)
2
= 16.
Câu 5: (4 điểm)
1). Cho tam giác ABC cân tại C cạnh AB: 2x - 3y + 11= 0, cạnh AC: x + 5y – 14 = 0.
Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3). Hãy viết phương trình cạnh BC.

Viết được phương trình đường thẳng MP : m(m
2
– 1)x – m
2
y + m
2
= 0. 1 đ
2)
Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định;
Chỉ ra được điểm cố định ( 0 ; 1). 2 đ
3)
Gọi I là trung điểm của MP. Tìm quỹ tích điểm I.
Quỹ tích trung điểm I của MP là parabol y = 2x
2
+ 1. 2 đ
Câu 2:
(4 đ)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
3
3
1221 −=+ xx
1)
Đặt
3
12 −= xt
, ta có t
3
= 2x -1. Do đó ta có hệ phương trình:






+−−−
=
2
51
;
2
51
;1S
. 1 đ
2)





=+
−=−+−
6
2
3
252613
2
y
x
yxxy
⇔


x
y
x
1 đ




=+
=++
5
5.
22
vu
vvuu
giải hệ tìm được (u, v) = {(2 ;1), (1 ;2)}
1 đ
Suy ra được (x, y) = {(5/3 ;
2
), (2/3 ;
2
/2).
Câu 3:
(3 đ)
Cho a, b, c, d
≥
0 và a+b+c+d
≤
4. Chứng minh bất đẳng thức sau:


+
+

* Cã
4
)d1)(c1)(b1)(a1(
4
d1
1
c1
1
b1
1
a1
1
++++
≥
+
+
+
+
+
+
+

2
4
4
)1)(1)(1)(1(
4

2
+ (y-6)
2
= 16.
Đường thẳng Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, ta phải có :
1
22
=
+
BA
C
và
4
68
22
=
+
++
BA
CBA

Từ đó suy ra
CCBA 468 =++
hay
CBA ++ 68
= ± 4C 1 đ
TH1:
CBA ++ 68
= 4C … có hai tiếp tuyến chung:
09181855)91348( =+−++− yx

2 2
0a b+ ≠
) là một
VTPT của đường thẳng (BC) , vì (BC) đi qua M(3;-3) nên phương trình (BC) có dạng:
a(x-3) + b(y+3) = 0 hay ax + by - 3a + 3b = 0 . ∆ABC cân tại C nên
2
cos cos
2
A B= =
.
Từ đó:
2 2 2 2
2 2
2 3
2
26( ) 2 2 3 5 24 5 0. 0 0
2
4 9
a b
a b a b a ab b Khia b
a b
−
= ⇔ + = − ⇔ + − = = ⇒ =
+ +
(Loại)
1 đ
1 đ
Xét
2
1

Cho ba điểm A(-1;-2), B(4;-1), C(3;2) và đường thẳng d:
022 =−− yx
.
Tìm M thuộc d sau cho
MCMBMA ++
đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
1
(2; )
3
G −
. M thuộc (
∆
) ta có
3 3MA MB MC MG MA MB MC MG+ + = ⇒ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur
.Từ đó
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất khi
MG
uuuur
nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên (
∆
). Tìm được
28 1
( ; )
15 15
M −
.