PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 8
Ngày thi 05 tháng 4 năm 2011
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:

− −
 
= + −
 ÷
− + + −
 
2 2 2
x 5 x 2x 5 2x
P :
x 25 x 5x x 5x 5 x
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên.
Bài 2: ( 3 điểm)
Giải phương trình sau:
( )
+ −
− =
+ + − +
+ +
2 2
4 2

.
c) Vẽ
( )
⊥ ∈OH CD H CD
. Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm
của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng
hàng.
d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Ax để tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện
( )
− + + − =
2
2 2 2 2 2 2
x y 4x y x 2y 0
. Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= +
2 2
A x y
Hết
Họ và tên thí sinh:………………………. .Chữ ký của giám thị 1:………………………
Số báo danh :……………………. …. Chữ ký của giám thị 2:……………………
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
**********
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG
MÔN TOÁN 8

:
x x 5 x 5
− −
=
+ −
( )
2x 5 2x
x x 5 5 x
−
−
+ −
0,5

( ) ( )
( ) ( )
( )
x x 5 x x 5 x x 5
2x
.
x x 5 x 5 2x 5 5 x
− + + − +
= −
− + − −
0,5

5 2x 5 2x
x 5 x 5 x 5
+
= + =
− − −

.
( )
15
P Z Z x 5 ¦ 15
x 5
∈ ⇔ ∈ ⇔ − ∈
−
Lí luận
( ) { }
x 5 U 15 1; 3; 5; 15− ∈ = ± ± ± ±
Mà x lớn nhất nên x-5 lớn nhất. Do đó
x 5 15 x 20
− = ⇔ =
( thoả mãn (*))
0,75
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x = 20 để P có giá trị là một số nguyên. 0,25
Bài 2 (3điểm)
( )
2 2
4 2
2010x 2010 2010x 2010 2011
x x 1 x x 1
x x x 1
+ −
− =
+ + − +
+ +
(1)
Ta có
2

( )
( )
( )
2 2
2010x x 1 x x 1 2010x x 1 x x 1 2011⇒ + − + − − + + =
1
( ) ( )
3 3
2010x x 1 2010x x 1 2011⇔ + − − =
( )
3 3
2010x x 1 x 1 2011⇔ + − + =
0,5
1
y
x
I
F
E
H
D
C
O
B
A
2010x.2 2011
⇔ =
2011
x
4020

= − − − − − + −
( )
( )
( )
( )
4 4 4 4
b c a b a b b c= − − − − −
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
b c a b a b a b a b b c b c b c
= − − + + − − − + +
( ) ( )
( )
3 2 2 3 3 2 2 3
a b b c a ab a b b b bc b c c= − − + + + − − − −
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
a b b c a c a ac c b a c b a c a c
 
= − − − + + + − + − +
 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
a b b c a c a b c ab bc ca

Bài 4 ( 8 điểm)
a) (2 điểm)
Chứng minh
ADO BOC∠ = ∠
( cùng phụ với
AOD∠
)
0,5
Chứng minh
( )
ADO ~ BOC gg∆ ∆
0,5
2
OA AD
BC.AD a
BC OB
⇒ = ⇒ =
1
2
b) (2 điểm)
Chứng minh
OB OD
BC OC
=
. Từ đó chứng minh
( )
ODC ~ BOC cgc∆ ∆
0,5
Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của góc BCD 0,5
Chỉ ra

⇒ =
Suy ra
DE DI
EO IB
=
. Áp dụng định lý Ta lét đảo cho cho tam giác DOB
EI⇒
//
OB
0,25
0,25
0,25
Theo tiên đề Ơclit kết luận E, I, F thẳng hàng. 0,25
d) (2 điểm)
Chỉ ra
DOC
2S OC.OD OH.DC a.DC= = =
nhỏ nhất
⇔
DC nhỏ nhất
⇔

DC Ax⊥
⇔
ABCD là hình chữ nhật
⇔
AD=BC; CD=AB
1
Mà
2

( )
2
2 2 2
x y 1 3x 1⇔ + − = − +
0.25
Ta có
( )
2
2 2 2 2 2
3x 1 1 x x y 1 1 1 x y 1 1 0 A 2− + ≤ ∀ ⇒ + − ≤ ⇔ − ≤ + − ≤ ⇔ ≤ ≤
0.5
2 2
x 0
A 0 x y 0
x y 0
=

= ⇔ ⇔ = =

+ =

. Vậy
min A 0 x y 0= ⇔ = =
0.25
2 2 2
x 0 x 0
A 2
x y 2 y 2
= =
 