CHƯƠNG 2
CHƯƠNG 2
ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Trong chương này ta xét chủ yếu các ma trận
Trong chương này ta xét chủ yếu các ma trận
vuông cấp n bất kỳ.
vuông cấp n bất kỳ.
Mỗi ma trận vuông cấp n
Mỗi ma trận vuông cấp n
[ ]
njiaA
ij
,1,, ==
[ ]
ij
aA =
theo một quy luật xác đònh,
theo một quy luật xác đònh,
ta đặt tương ứng một số thực, gọi là đònh thức, ký
ta đặt tương ứng một số thực, gọi là đònh thức, ký
hiệu
hiệu
∆
∆
, det A hoặc :
, det A hoặc :
Có thể nói đònh thức là hàm số với miền xác đònh là
Có thể nói đònh thức là hàm số với miền xác đònh là

1 của ma trận.
1 của ma trận.
Ma trận vuông cấp 2 có
Ma trận vuông cấp 2 códạng :
dạng :
Khi đó đònh thức cấp 2 tương ứng với ma trận A là
một số bằng a
11
a
22
- a
12
a
21
.






=
2221
1211










=
333231
222221
131211
aaa
aaa
aaa
A






+







toán nhờ các đònh thức cấp 2. Đặt :






=






=






=
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322

gạch bỏ hàng 1 cột 1 của đònh thức cấp 3, tương tự
M
12
: gạch bỏ hàng 1 cột 2 của ∆, M
13
: gạch bỏ
hàng 1 cột 3 của ∆. Với khái niệm đònh thức con của
phần tử, có thể viết lại công thức (2.2) :

k
k
k
k
MaMaMaMa
1
1
3
1
1131312121111
)1(
+
=
−=+−=∆
∑
(2.2’)
và gọi A
11
, A
12
, A

1
1131312121111
∑
=
=+−=∆
(2.4
)

Ta gọi (2.4) là biểu thức khai triển của đònh thức
cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử hàng 1.
k
k
k
AaAaAaAa
2
3
1
2232322222121
∑
=
=+−=∆
(2.5
)
Tương tự ta có các biểu thức khai triển của đònh
thức cấp 3 theo các phần phụ đại số của phần tử
hàng 2 và hàng 3 :
Hàng 2 :
k
k
k

2
3
1
2323222221212 i
k
i
AaAaAaAa
∑
=
=+−=∆
(2.9
)
Cột 3 :
3
3
1
3333323231313 i
k
i
AaAaAaAa
∑
=
=+−=∆

Trong các công thức (2.4) – (2.9) A
ij
là phần phụ đại
số của phần tử a
ij
được xác đònh qua đònh thức con









+−+
−+−
+−+

Nhận xét :
322311332112
312213322113312312332211
333231
232221
131211
det
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
−−
−++=




ii. Biểu thức tính trực tiếp qua các phần tử (2.11)
5. Người ta thường áp dụng quy tắc Sarrus (quy tắc
tam giác) để tính đònh thức cấp 3.
Quy tắc Sarrus được mô tả bằng sơ đồ sau :


















•
•
•
−
•
•
•
−

j
j
j
j
Ma
1
3
1
1
1
)1(
∑
=
+
−
và ký hiệu ∆ = det A = /a
ij
/.
Vậy theo đònh nghóa ta có :
∑
=
+
−=








Đònh thức con M
ij
của các phần tử hàng 1 là đònh
thức cấp n – 1, thu được từ đònh thức cấp n sau khi
gạch bỏ hàng 1 và cột j.
Cũng như trường hợp đònh thức cấp 3, đối với đònh
thức cấp n, ta đònh nghóa phần phụ đại số của các
phần tử hàng 1, ký hiệu A
1j
qua các đònh thức con
M
1j
bằng công thức :
(2.13)
j
j
j
MA
1
1
1
)1(
+
−=
Với (2.13) công thức (2.12) có thể viết lại dưới dạng
j
j
jnn
AaAaAaAaA
1

det
(2.15)

Trong các công thức (2.15) và (2.16) sự liên hệ
giữa A
ij
và M
ij
tương tự (2.13)ij
i
ijnjnjjjjj
AaAaAaAaA
∑
=
=+++==∆
3
1
2211
det
(2.16)
b. cột j :







tam giác cấp
n :

Khai triển theo các phần tử hàng 1 :1
11
−∆=∆
nn
a












=∆
−
nnnn
n
aaa
aa
a

Công thức tính đònh thức trực tiếp qua các
phần tử :
nnn
aaa
2211
=∆
Hoán vò cấp n : ánh xạ tương hỗ đơn trò π của
tập hợp n số tự nhiên đầu tiên (1,2,3 …, n) vào chính
nó được gọi là hoán vò cấp n. Hoán vò cấp n bất kỳ
có thể viết dưới dạng :







=
iniii
n
aaaa
iiii321
321
π
(2.17)
Trong đó


thành một nghòch thế trong hóan vò π, nếu i < j,
nhưng a
i
> a
j
. Số S (π) tổng tất cả các nghòch thế xác
đònh tính chẵn lẻ của hóan vò. Hoán vò được gọi là
chẵn, nếu S (π) là số chẵn, lẻ nếu S (π) là số lẻ.
Thí dụ : Xác đònh tính chẵn lẻ của hoán vò.






=
14532
42531
π
Lập hoán vò chính tắc :






=
51342
54321
π


21
22221
11211

trong đó dấu tổng lấy theo tất cả các hoán vò π cấp
n (=n!) số hạng.
là số :












==∆
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A





12
21
21
21
và
Hoán vò thứ nhất có số nghòch thế bằng 0 nên nó là
hoán vò chẵn, hoán vò thứ hai có số nghòch thế bằng
1 nên nó là hoán vò lẻ.
Do đó :
21122211
det aaaaA −=
(2.20)
(2.20) trùng với (2.1).

Khi n = 3, ta có tất cả 6 hoán vò (6 = 3!)

























231
321
312
321
123
321
và
(2.21) trùng với (2.11).

Hoặc
Tính chất 1 (Đònh lý 2) Khi chuyển vò ma trận, đònh
thức của nó không thay đổi.
(2.22’)
3. Các tính chất cơ bản của đònh thức :
T
AA detdet =