hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
hoctoancapba.com xin giới thiệu

Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM)
trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX – MIN trong
kỳ thi THPT QG sắp tới.
ĐỀ 1. THPT Quang Trung – Tây Ninh
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
     P x y z
2 2 2
3 3 3
log 1 log 1 log 1

Trong mp(Oxy), gọi
a x b y c z
3 3 3
(log ;1), (log ;1), (log ;1)  

và
n a b c n (1;3)    

Ta có:
a b c a b c x y z
2 2 2 2 2
3 3 3
log 1 log 1 log 1 1 3            
1 2 3 8
12 3 27 8
ab ac bc
bb
P
a b c b c b a c
a b c


  
      
  

Ta có:
     
0;1 , 0;2 , 0;3a b c  

  
  
10
2 3 2
22
20
a b c
b c ab ac
a b c ab bc ac
a c ab bc
b a c
  


     
8 8 8
8 8 2 8
b b b
b c b a c a b c b a c ab bc ac
  
  
          

Với mọi số thực x, y, z, ta có

     
 
 
 
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
0 2 2 2 2
3
x y y z y x x y z xy yz xz
x y z x y z
           
     

     
2 2 2
2 2 2 2
12 3 27 3 2 3 2 3 2 3 2a b c a b c a b c a b c ab bc ac

P
ab bc ac ab bc ac


  
        

  
     

Đặt t
 
2 0;13ab bc ac t    

Xét hàm số
 
 
28
, 0;13
18
t
f t t
tt
  


 
   
 
22

16
7

0.25

ĐỀ 3. THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh
Cho
x
là số thực thuộc đoạn
5
[ 1, ]
4

. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
5 4 1
5 4 2 1 6
xx
P
xx
  

   

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
Đặt
5 4 , 1a x b x   
thì
22
4 9,ab

Xét hàm số
2sin cos
()
2sin 2cos 4
xx
fx
xx



với
[0, ]
2
x



Ta có
/
2
6 4sin 8cos
( ) 0, [0, ]
(2sin 2cos 4) 2
xx
f x x
xx


   


1
3
Max P khi x  

0,25

ĐỀ 4. THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh
Cho 3 số thực dương
,,abc
thoả mãn
1abc 
.
Chứng minh rằng:
1
2 2 2
a b c
b a c b a c
  
  
.
Giải
Ta có
1
22
a a a
a ba
b a a ba




    
     
  

=
1
abc b cb
bc bca babc b cb b bc bac

     

=
1
1
1 1 1
b cb
bc b b cb b bc
  
     
(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
ĐỀ 5. THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
   
3
2
3 1 1 1
abc
P
ab bc ca a b c

33
3
1 3 3 abc 1abc abc abc    

0,25
Khi đó
 
 
3
3
2
1
1
31
abc
PQ
abc
abc
  



Đặt
6
abc t
. Vì
, , 0abc
nên
3
01

 
 
   


5
22
32
2 1 1
' 0, t 0;1
11
t t t
Qt
tt

    


0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
Do hàm số đồng biến trên


0;1
nên
     
5
1 2
6

  
.
 
1 1 1 1 1
5
yz
P x x
x y z x yz x

       

Ta có:
   
22
4
4 5 0 3 2 2 4 3 2 2y z yz x x x x
x
             

0,25
Xét hàm số:
     
2
11
5 5 2xf x x x f ' x
x
x


0,25
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
1 4 2

đạt tại:
1 2, 3 2 2 1 2,y 3 2 2x y z hay x z         

hoặc
3 2 2, 1 2 3 2 2, 1 2x y z hay x z y         

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
0,25

ĐỀ 7. THPT Tân Châu – Tây Ninh

ĐỀ 8. THPT Lê Duẫn – Tây Ninh
Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
3
23
P
x xy xyz x y z

   

Ta có

; 0 1f t f t t
tt

     

0.25
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được
min
3
2
P 
tại t=1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16
21
1
4
28
21
2 32
1
21
x
x y z
x y y
xz
z




hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
Ta có
 
 
2
2 2 2
33a b c a b c      
2
39abc    33abc    

0,25đ
Đặt
t a b c  
với
3;3t




Mà
 
 
2

3
3
P’(t)
+
P(t)
22

4 5 3Vậy
ax
22
m
P 
với
31t a b c    

0,25đ

ĐỀ 10. THPT Trảng Bàng – Tây Ninh
Cho các số thực a, b, c thỏa mn
cba 
và
5
222
 cba
.
Chứng minh rằng:
4))()()((  cabcabaccbba


)1(
4
)(
))()((
3
ca
cacbba



p dụng BĐT Bunhiacopski:
 
222
)()()(2 cacbba 

và
222222
)(2)(2)(2)(4 cacbbacabcabcba )2(
3
52
5
0)(3)5(4
)(2)()(4
2
22222
x








5
2
0)(';)
2
5
5(5)('
x
x
xfxxxf

Ta có:
0)5(;36)2(;0)0(  fff

 
 
5;0;36)5()(36)(
3
5;0
 xxxxfxfMax

0,25
436.
9








0
1
2
5
2
1
2
5
2
2
222222
c
b
a
cba
ac
ab
cabcab
cba
ca
cbba
x


Tương tự ta có

2
11
22
zx y y
x y z
y zx y zx
   


(2)

2
11
22
xy
zz
x y z
z xy z xy
   


(3) 0.25

2
(1 )
(1)
2 4 4 4
2
1

          


Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang

 
2
bc d
b bc d bc d bc d bc bcd
b b b b b
cd
1+c d c d
22
2
1
(2)
2 4 4 4

d d d d d
ab
1+a b a b
22
2
1
(4)
2 4 4 4
2
1

          


Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:

a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
b c c d d a a b
2 2 2 2
4
44
1 1 1 1
     
     
   
a b c d
abc bcd cda dab ab c d cd b a c d b a
22
22
   

          
   
   


     
a b c d
abc bcd cda dab a b c d a b c d
44


         

a b c d
abc bcd cda dab
2
4
2

  
     


ĐỀ 13. THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh
Cho a,b là hai số thực dương thỏa
5
2
4
ab
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
21
4
F
ab


Ta có :
2 1 2 1
8 4 (8 4 )
44
F a b a b
a b a b
        
21
8 4 5
4
ab
ab
   

0.5

2
4
4
,0
a
a
a
b
b
b
ab
ab



















1
t t xy t
P
xy t
  


. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy  
nên ta có
0,25

a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
    
   
 đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.

0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
2
32



f’(t) = 0  t = 0 v t = 4.
t
2 4 +
f’(t)
- 0 +
f(t)
+  +

8

0,25
Do đó min P =
(2; )
min ( )ft

= f(4) = 8 đạt được khi
42
42
x y x
xy y
  






0,25

       

Vì
1
2
a
c

nên
4
3
b
c


Đặt
c
t
b

thì
3
0
4
t

2
2
1 2 1 1 2 7
1

'( ) 0, 0;
4
f t t

  



, do đó
()ft
đồng biến trên
3
0;
4





Do đó GTLN của hàm số đạt tại
3
4
t 
, suy ra
27
max
5
P 

Đẳng thức xảy ra khi

bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c

     
11
2
bc
a b a c






Vì theo BĐT Cô-Si:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c



, dấu đẳng thức xảy ra

b = c

0,25

Tương tự
11

bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
    
    
  
,

0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
3
2
khi a = b = c = 1.
0,25

ĐỀ 17. THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh
Cho hai số dương x, y thoả mn điều kiện x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
3
11
11


     
   


S x y
xy

Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:

P
y z z x x y
     
(*)
Nhận thấy : x
2
+ y
2
– xy  xy x, y  R
Do đó : x
3
+ y
3
 xy(x + y) x, y > 0 hay
22
xy
xy
yx
  
x, y > 0
0,25
3
33
1 7 7 7 7 1
1 3. . 1 (2)
2 2 2 2
   
   
      
       


x y xy
x y x y x y
xy
nên
3
32
3
1 1 7 7 4
1 1 3. 2
22
   
   
         
       

   
   
x y x y
x y x y
0,25
Theo giả thiết x = y = 4 nên
2
3
7 7 343
3. .7
2 2 4


x
x
y
xy
y
xy
xy

Vậy
343
min
4
S 0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang
Tương tự, ta có :
22
yz
yz
zy
  
y, z > 0
22

  

+ Ta có
22
3
( ) 3 (1) 0, 0 ê 0
x y xy x y xy
xy x y x y xy do x y n n x y
   
          
2
22
1 1 4
(1) 3 3 ( ) 3( ) 4 0
( ) 1 ( ) 4 0 4
1 3 3 1
(1) 1 1
13
ê ( ) 2 ( ) 1
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
xy x y x y xy
N n P x y x y
xy x y
            


0.25 điểm

0.25 điểm

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Biên soạn lại: Thầy Vinh An Giang

ĐỀ 20. THPT Châu Thành – Tây Ninh
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn
2 3 7xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
3
2 5( ) 24 8( ) ( 3)P xy y x y x y x y        
.
Ta có
2
2 2 3 3

0,25

Đặt


, 0;5t x y xy t   
,
3
( ) 2 24 2 6P f t t t   

Ta có


2
3
/
22
33
(2 6) 8
24.2
( ) 2 2 0, 0;5
3 (2 6) (2 6)
t
f t t
tt

     


Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng

. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+
4
x y z

 
 
 
 
2
2 2 2
2
2
1
2
3
2
3
4
2
x y z x y z
x y z
x y z
x y z

    

  
  


x y z
x y z
x y z
    
  

     
    
   
Vì 0 xy + yz + zx
Nên 0Suy ra

0.25
 
2
2
3
22
3
3
33
34
2
34
33
2
44

3
13
3
3
13
33
3
13
3
13
3
13
3
f
f
tt


  

Nên f khi
Do đó P
Khi x=y=z=1 thì P=
Do đó giá trò lớn nhất của P là

0.25