BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
PHAN THỊ THANH HUYỀN
GIẢI MỘT BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT
NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
PHAN THỊ THANH HUYỀN
GIẢI MỘT BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT
NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Phép tính vi phân trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Không gian Banach và các ánh xạ tuyến tính liên tục, đa tuyến tính liên tục . . . 4
1.2 Ánh xạ khả vi trên không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Chỉnh hoá bài toán truyền nhiệt ngược thời gian bằng phương
pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.2 Phương pháp biến phân cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . 21
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

x
= 0, (x, t) ∈ Q
T
:= (0, l) × (0, T ),
w(x, T ) = Θ
T
(x), x ∈ [0, l],
−a(0, t)w
x
(0, t) = g
0
(t), t ∈ [0, T ]
a(l, t)w
x
(l, t) = g
1
(t), t ∈ [0, T ],
(1)
với a(x, t) ∈ C
1
(Q
T
), a(x, t)  ν > 0, ν là hằng số cố định và Θ
T
(x), g
0
(t), g
1
(t) là các
hàm số đã cho. Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương:

+
là tập các số thực
không âm. Ánh xạ  ·  : E → R
+
được gọi là một chuẩn trên E nếu
(i) 0 = 0;
(i’) (x = 0) ⇒ x = 0;
(ii) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ E;
(iii) λx = |λ|.x, ∀x ∈ E, λ ∈ K.
Một không gian vectơ được trang bị một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn.
1.1.2 Định nghĩa. Một dãy (x
n
)
n≥0
các điểm thuộc E được nói là hội tụ tới điểm
a ∈ E và được ký hiệu là lim
n→∞
= a nếu dãy số (x
n
− a)
n≥0
hội tụ tới 0.
Một dãy (x
n
)
n≥0
các điểm thuộc E được nói là dãy Cauchy nếu
lim
m,n→∞
x

1≤i≤n
|x
i
|, ∀x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
,
x
3
=




n

i=1
|x
i
|
2
, ∀x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n

1.1.5 Định lý. Nếu F là một không gian Banach thì L(E, F ) cũng là một không gian
Banach.
6
1.1.6 Định lý. Cho E, F và G là các không gian định chuẩn và f : E → F, g : F → G
là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó g ◦ f : E → G cũng là ánh xạ tuyến tính liên
tục và
g ◦ f   gf.
1.1.7 Định nghĩa. Cho E
1
, , E
n
và F là các không gian vectơ trên trường K. Một
ánh xạ
f : E
1
× × E
n
→ F
được gọi là đa tuyến tính (song tuyến tính nếu n = 2, tam tuyến tính nếu n = 3) nếu
với mỗi k ∈ {1, 2, ··· , n} và (a
1
, a
2
, ··· , a
n
) ∈ E
1
× × E
n
, ánh xạ

n
;
(b) f liên tục tại điểm (0, , 0) ∈ E
1
× × E
n
;
(c) f(x
1
, , x
n
) bị chặn trên tích của các hình cầu đơn vị
x
1
  1, , x
n
  1.
Chứng minh. Rõ ràng rằng (a) ⇒ (b). Để chứng minh (b) ⇒ (c) chúng ta chú ý rằng
nếu f liên tục tại (0, , 0) ∈ E
1
× × E
n
thì nghịch ảnh của hình cầu đơn vị của f là
một lân cận của (0, , 0) ∈ E
1
× × E
n
. Do đó, tồn tại số thực r > 0 sao cho
(x
i

  1, ∀i ∈ {1, 2, , n}) ⇒ f(x
1
, , x
n
)  M.
Điều này kéo theo rằng
f(x
1
, , x
n
)  Mx
1
 x
n
, ∀(x
1
, , x
n
) ∈ E
1
× × E
n
. (1.1)
Lấy bất kỳ điểm (a
1
, , a
n
) ∈ E
1
× × E

, x
3
, , x
n
) + + f(a
1
, , a
n−1
, x
n
− a
n
). (1.2)
7
Từ (1.1) và (1.2) ta có
f(x
1
, , x
n
) − f(a
1
, , a
n
)
 Mx
1
− a
1
.x
2

+ε, ∀i ∈ {1, 2, , n}
nên ta khẳng định rằng tồn tại một hằng số A > 0 sao cho
(x
i
− a
i
  ε, ∀i ∈ {1, 2, , n}) ⇒ x
i
  A, ∀i ∈ {1, 2, , n}. (1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta có
f(x
1
, , x
n
) − f(a
1
, , a
n
)  MA
n−1

n

i=1
x
i
− a
i



Ký hiệu L(E
1
, , E
n
; F ) là không gian tất cả các ánh xạ đa tuyến tính liên tục từ
E
1
× × E
n
và o F . Trên không gian này ta trang bị chuẩn
f = sup{f(x
1
, , x
n
) : x
1
  1, , x
n
  1}, ∀f ∈ L(E
1
, , E
n
; F ).
Khi đó L(E
1
, , E
n
; F ) trở thành một không gian định chuẩn.
1.1.9 Định lý. Nếu F là không gian Banach thì L(E
1

1
−f
2
liên tục tại điểm a và nhận g iá
trị bằng 0 tại điểm a.
1.2.3 Nhận xét. Cho ánh xạ f : U → F . Khi đó với mỗi a ∈ U, có không quá một
ánh xạ tuyến tính g : E → F sao cho các ánh xạ x → f(x) −f(a) và x → g(x −a) tiếp
xúc với nhau tại a.
1.2.4 Định nghĩa. Ta nói rằng ánh xạ f : U → F khả vi tại điểm a ∈ U nếu các điều
kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) f liên tục tại điểm a;
(ii) tồn tại một ánh xạ tuyến tính g : E → F sao cho các ánh xạ x → f(x) − f(a)
và x → g(x − a) tiếp xúc với nhau tại điểm a.
Điều kiện (ii) cũng có thể viết lại thành
f(x) − f(a) − g(x − a) = o(x − a). (1.8)
1.2.5 Nhận xét. Nếu f khả vi tại điểm a thì g là ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất.
Như vậy ánh xạ này là một phần tử của L(E; F ). Nó được ký hiệu là f

(a) và gọi là
đạo hàm của ánh xạ f tại điểm a. Do đó ta có một định nghĩa khác tương đương: ánh
xạ f khả vi tại a ∈ U nếu tồn tại một phần tử g ∈ L(E; F ) sao cho (1.8) được thỏa
mãn. Tính liên tục của g kéo theo từ tính liên tục của f tại điểm a. Ta cũng chú ý rằng
điều kiện (1.8) thường được viết bằng cách sử dụng ký hiệu f

(a) là
f(x) − f(a) − f

(a)(x − a) = o(x − a). (1.9)
1.2.6 Định nghĩa. Ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi
điểm thuộc U. Ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi liên tục hay thuộc lớp C


(a) : E → G là hợp thành của ánh xạ tuyến
tính liên tục f

(a) : E → F và ánh xạ tuyến tính liên tục g

(f(a)) : F → G.
9
Chứng minh. Từ giả thiết ta có
f(x) = f(a) + f

(a)(x − a) + ϕ(x − a), (1.11)
trong đó
ϕ(x − a) = o(x − a). (1.12)
Tương tự, ta có
g(y) = g(b) + g

(b)(y − b) + ψ(y − b), (1.13)
trong đó
ψ(y − b) = o(y − b). (1.14)
Bây giờ ta đánh giá đại lượng h(x) − h(a) = g(f(x)) − g(f(a)). Áp dụng (1.13) với y
được thay bởi f(x) và b được thay bởi f(a) ta có
h(x) − h(a) = (g

(f(a)) ◦ f

(a))(x − a)
+ g

(f(a))ϕ(x − a) + ψ(f(x) − f (a)). (1.15)

Từ (1.12) và (1.19) ta suy ra (1.17). Áp dụng (1.14) với y = f(x) và b = f(a) ta được
ψ(f(x) − f(a)) = o(f(x) − f(a)). (1.20)
Mặt khác, từ (1.11), (1.12) và với chú ý rằng f

(a) : E → F là một ánh xạ tuyến tính
liên tục, ta có
f(x) − f(a) = f

(a)(x − a) + ϕ(x − a)
 f

(a)(x − a) + ϕ(x − a)
 f

(a)(x − a) + ϕ(x − a). (1.21)
Từ (1.12), (1.20) và (1.22) ta suy ra (1.19).
Định lý đã được chứng minh.
10
1.2.8 Định lý. (Định lý giá trị trung bình) Cho a, b là các số thực thỏa mãn a < b và
f : [a, b] → F , g : [a, b] → R là các ánh xạ liên tục trên [a, b], trong đó F là một không
gian Banach. Giả sử rằng f và g khả vi tai mọi điểm thuộc khoảng (a, b) và ta có
f

(x)  g

(x), ∀x ∈ (a, b). (1.22)
Khi đó
f(b) − f(a)  g(b) − g(a). (1.23)
Chứng minh. Lấy ε > 0 bất kỳ. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng
f(x) − f(a)  g(x) − g(a) + ε(x − a) + ε (1.24)


(c) 




f(x) − f(c)
x − c




−
ε
2
(1.27)
g

(c) 
g(x) − g(c)
x − c
+
ε
2
. (1.28)
Từ (1.26), (1.27) và (1.28) ta có





điều mâu thuẫn.
Định lý được chứng minh.
Cho E và F là các không gian Banach, U là một tập mở của E và ánh xạ f : U → F
khả vi trên U. Khi đó ta có ánh xạ
f

: U → L(E; F)
x → f

(x).
1.2.9 Định nghĩa. Ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi cấp hai tại điểm a ∈ U nếu
ánh xạ f

khả vi tại điểm a. Đạo hàm tại điểm a của f

được ký hiệu là f

(a). Như vậy
f

(a) ∈ L(E; L(E; F )) .
Chú ý rằng khi f không khả vi trên U thì có thể định nghĩa khả vi cấp hai tại điểm
a như sau: ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi cấp hai tại điểm a ∈ U nếu
(1) f khả vi trong một lân cận V của a;
(2) ánh xạ f

: V → L(E; F ) khả vi tại điểm a.
1.2.10 Định nghĩa. Ánh xạ f : U → F được gọi là khả vi cấp hai trên U nếu f khả
vi cấp hai tại mọi điểm thuộc U . Nói cách khác, ánh xạ f : U → F khả vi trên U và
ánh xạ f


(a)(h, k) :=

f

(a)h

k.
1.2.13 Định lý. Nếu f : U → F khả vi cấp hai tại điểm a ∈ U thì đạo hàm cấp hai
f

(a) ∈ L(E, E; F ) là một ánh xạ song tuyến tính đối xứng, nghĩa là
f

(a)(h, k) = f

(a)(k, h), ∀(h, k) ∈ E ×E.
Chứng minh. Đặt
A(h, k) = f(a + h + k) − f(a + h) − f (a + k) + f (a), ∀(h, k) ∈ E ×E.
Dễ thấy rằng A có tính đối xứng
A(h, k) = A(k, h), ∀(h, k) ∈ E × E. (1.34)
Giả sử rằng ta đã chứng minh được mối quan hệ sau
A(h, k) − (f

(a)k)h = o

(h + k)
2

. (1.35)

. (1.38)
Mối quan hệ (1.38) tương đương với khẳng định sau: với mọi ε > 0, tồn tại η > 0 sao
cho
(f

(a)k)h − (f

(a)h)k  ε(h + k)
2
(1.39)
13
nếu h + k  η. Tuy nhiên, vì f

(a) là một ánh xạ song tuyến tính nên với bất kỳ
đại lượng vô hướng λ, ta có
(f

(a)λk)(λh) − (f

(a)λh)(λk) = |λ|
2
(f

(a)k)h − (f

(a)h)k.
Với bất kỳ (h, k) ∈ E × E, chúng ta luôn tìm được một đại lượng vô hướng λ = 0 sao
cho λh + λk  η. Sử dụng (1.39) với h được thay bởi λh và k được thay thế bởi
λk ta được
|λ|


(a) là một ánh xạ song tuyến tính đối xứng.
Vấn đề còn lại là ta phải chứng minh mối quan hệ (1.35). Ta có đánh giá sau
A(h, k) − (f

(a)k)h  A(h, k) − f

(a + k)h + f

(a)h
+ f

(a + k)h − f

(a)h − (f

(a)k)h. (1.42)
Tiếp theo ta sẽ đánh giá từng số hạng ở vế phải của (1.42). Đầu tiên ta đánh giá số
hạng
f

(a + k)h − f

(a)h − (f

(a)k)h. (1.43)
Ta có
f

(a + k)h − f

(a + h) − f

(a + k) + f

(a),
14
ta đạt được
A(h, k) − f

(a + k)h + f

(a)h = B(h) − B(0)  h. sup
0t1
B

(th)
 h. sup
0t1
f

(a + k + th) − f

(a + th) − f

(a + k) + f

(a). (1.47)
Mặt khác, từ định nghĩa của f

(a) ta suy ra

(a + k + th) − f

(a + th) − f

(a + k) + f

(a)
= o(k + th) + o(th) + o(k). (1.49)
Vì t ∈ [0, 1] nên
k + th  k + th  k + h, (1.50)
th = |t|h  h. (1.51)
Từ (1.42), (1.44), (1.47), (1.49), (1.50) và (1.51) ta kết luận rằng
A(h, k) − (f

(a)k)h = h.o(h + k).
Điều này có nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại η > 0 sao cho
A(h, k) − (f

(a)k)h  εh(h + k)  ε(h + k)
2
nếu h + k  η. Do đó
A(h, k) − (f

(a)k)h = o

(h + k)
2

.
Vậy (1.35) đúng.

= 0, (x, t) ∈ Q
T
:= (0, l) × (0, T ),
w(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, l],
−a(0, t)w
x
(0, t) = g
0
(t), t ∈ [0, T ]
a(l, t)w
x
(l, t) = g
1
(t), t ∈ [0, T ],
(2.1)
với a(x, t) ∈ C
1
(Q
T
), a(x, t)  ν > 0, ν là hằng số cố định và g
0
(t), g
1
(t) là các hàm số
đã cho.
2.2 Phương pháp biến phân cho phương trình truyền
nhiệt ngược thời gian
2.2.1 Định nghĩa. ([7])Hàm w(·, ·) ∈ V
1,0
(Q


T
0
g
0
(t)η(0, t)dt, ∀η ∈ H
1,1
(Q
T
), η(., T ) = 0. (2.2)
15
16
Với một hàm w ∈ V
1,0
(Q
T
), ta định nghĩa chuẩn của nó là
w
V
0,1
(Q
T
) := max
0tT
w(·, t)
L
2
(0,l)
+ w
x

(0,T )
+ w(l, .)
L
2
(0,l)
≤ C[ϕ
L
2
(0,l)
+ g
0

L
2
(0,T )
+g
1

L
2
(0,T )
],
với C ≥ 0 là một hằng số độc lập với w.
Vì ϕ(x) không được biết nên ta cần bổ sung thông tin về dữ kiện để khôi phục lại
sự phân bổ nhiệt độ tại thời điểm ban đầu. Trong phần này, thông tin được bổ sung là
w(x, T ) = Θ
T
(x), (2.3)
và mục đích của chúng ta là khôi phục lại sự phân bổ nhiệt độ tại thời điểm ban đầu
ϕ(x) từ Θ









v
t
− (a(x, t)v
x
)
x
= 0, (x, t) ∈ Q
T
,
v(x, 0) = 0, x ∈ [0, l],
−a(0, t)v
x
(0, t) = g
0
(t), t ∈ [0, T ],
a(l, t)v
x
(l, t) = g
1
(t), t ∈ [0, T ].
(2.5)
Vì bài toán thuận (2.5) là bài toán đặt chỉnh nên có thể giải dễ dàng bởi các phương

L
2
(0,l)
, ∀t ∈ [0, T].
Chứng minh. Quá trình chứng minh bổ đề này tương tự như Ví dụ 2.11 trong [6].
17
Với một hàm ϕ(x) đã cho, bài toán (2.4) được xem như một bài toán thuận. Gọi u
là ng hiệm yếu của bài toán (2.4) trong V
1,0
(Q
T
), ta định nghĩa ánh xạ A : L
2
(0, l) →
L
2
(0, l) sao cho
Aϕ = u(x, T ; ϕ). (2.6)
Khi đó bài toán ngược là bài toán giải phương trình toán tử sau
Aϕ = Ψ
T
. (2.7)
Nếu bài toán (2.7) có nghiệm thì từ Bổ đề 2.2.3, ta biết rằng nghiệm này là duy nhất.
2.2.4 Định lý. Toán tử A được xác định bởi công thức (2.6) là tuyến tính liên tục.
Chứng minh. Tính tuyến tính của toán tử A được suy ra từ tính tuyến tính của hệ
(2.4). Bây giờ ta chứng minh tính liên tục của toán tử A. Lấy ϕ ∈ L
2
(0, l). Giả sử rằng
{ϕ
k

0
u
k
u
kt
dx
= 2

l
0
u
k
(a(x, t)u
kx
)
x
dx
= −2

l
0
a(x, t)u
2
kx
dx
 0
vì a(x, t)  ν > 0. Điều này chứng tỏ rằng f là hàm nghịch biến. Do đó f(T)  f(0)
hay
u
k

dữ kiện ban đầu ϕ
k
− ϕ. Từ Bổ đề 2.2.2 ta có
sup
0≤t≤T
y
k
(·, t)
L
2
(0,l)
≤ Cϕ
k
− ϕ
L
2
(0,l)
.
Nói riêng
Aϕ − u
k
(·, T )
L
2
(0,l)
= y
k
(·, T )
L
2

(0,l)
+ ϕ
k

L
2
(0,l)
 Cϕ
k
− ϕ
L
2
(0,l)
+ ϕ
k
− ϕ
L
2
(0,l)
+ ϕ
L
2
(0,l)
= (C + 1) ϕ
k
− ϕ
L
2
(0,l)
+ ϕ

, (2.12)
trên L
2
(0, l). Xét bài toán









ψ
t
+ (a(x, t)ψ
x
)
x
= 0, (x, t) ∈ Q
T
,
ψ(x, T ) = p(x), x ∈ [0, l],
−a(0, t)ψ
x
(0, t) = 0, t ∈ [0, T]
a(l, t)ψ
x
(l, t) = 0, t ∈ [0, T ],
(2.13)

k
, thì các bài toán (2.4) và (2.13) có ng hiệm trơn
19
u
k
và ψ
k
tương ứng. Bằng cách sử dụng tích phân từng phần, ta có
0 =

l
0

T
0
(u
k
)
t
ψ
k
dtdx −

T
0

l
0
(a(x, t)(u
k

0
[a(u
k
)
x
ψ
k
|
l
0
−

l
0
a(u
k
)
x
(ψ
k
)
x
dx]dt
=

l
0
[u
k
(x, T )ψ

(0, t)ψ
k
(0, t)]dt
+

Q
T
a(u
k
)
x
(ψ
k
)
x
dxdt
=

l
0
[u
k
(x, T )p
k
(x) − ϕ
k
(x)ψ
k
(x, 0)]dx −


)
x
u
k
dx]dt
=

l
0
[u
k
(x, T )p
k
(x) − ϕ
k
(x)ψ
k
(x, 0)]dx.
Ký hiệu y
k
= u
k
−u. Ta thấy y
k
∈ V
1,0
(Q
T
) và y
k

− ψ)(0, ·)
L
2
(0,T )
+ (ψ
k
− ψ)(l, ·)
L
2
(0,T )
≤ Cp
k
− p
L
2
(0,l)
→ 0, k → ∞.
Do đó, Bổ đề được chứng minh.
Từ Bổ đề 2.2.5, ta có kết quả sau
2.2.6 Định lý. ([7]) Nếu ϕ biến thiên trên không gian L
2
(0, l) thì u(x, T; ϕ) lập thành
một tập trù mật trong L
2
(0, l).
Chứng minh. Giả sử rằng ϕ(x), ζ(x) ∈ L
2
(0, l) thỏa mãn phương trình

l

(0,l)
J(ϕ) = 0.
Chứng minh. Rõ ràng rằng
J(ϕ) =
1
2
Aϕ − Ψ
T

2
L
2
(0,l)
 0, ∀ϕ ∈ L
2
(0, l). (2.16)
Lấy ε > 0 bé tuỳ ý. Vì Ψ
T
∈ L
2
(0, l) nên theo Định lý 2.2.6, tồn tại ϕ
ε
∈ L
2
(0, l) sao
cho
u(x, T ; ϕ
ε
) − Ψ
T

f : X −→ R
*f được gọi là lồi nếu:
∀x
1
, x
2
∈ X, ∀t ∈ [0, 1] : f (tx
1
+ (1 − t)x
2
) ≤ tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
).
*f được gọi làlồi chặt nếu:
∀x
1
= x
2
∈ X, ∀t ∈ (0, 1) : f (tx
1
+ (1 − t)x
2
) < tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
).
2.2.9 Định lý. ([7]) Phiếm hàm J được định nghĩa bởi (2.12) khả vi Fréchet cấp hai

2
L
2
(0,l)

= (Aϕ − Ψ
T
, Ah) +
1
2
Ah
2
L
2
(0,l)
.
Từ Bổ đề 2.2.2 ta biết rằng nếu h
L
2
(0,l)
→ 0 thì Ah
L
2
(0,l)
→ 0. Mặt khác, từ Bổ
đề 2.2.5 ta có
(Aϕ − Ψ
T
, Ah) = (ψ(x, 0), h).
Do đó, ta đạt được J

≥ 0.
Hơn nữa, (J

(ϕ)h, h) = 0 có nghĩa là u(x, T ; h) = 0 trong L
2
(0, l). Nhờ kết quả về tính
duy nhất từ Bổ đề 2.2.3 ta có h = 0 trong L
2
(0, l). Do đó phiếm hàm J là lồi chặt.
Chỉnh hóa và rời rạc hóa
a) Phương pháp gradient li ên hợp
Ta biết rằng bài toán truyền nhiệt ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh. Do
đó, bài toán cực tiểu tương ứng (2.12) cũng không ổn định. Điều này có nghĩa là một
nhiễu nhỏ ở dữ kiện Ψ
T
cũng có thể gây ra một lỗi lớn cho nghiệm của bài toán. Vì
vậy, phương pháp chỉnh hóa là cần thiết và được sử dụng để phục hồi tính ổ n định của
bài toá n. Trong phần này, ta sẽ sử dụng phương pháp gradient liên hợp cùng với một
luật dừng thích hợp để giải bài toán (2.12). Phương pháp gradient liên hợp ứng dụng
cho bài toán tối ưu thường có các bước sau đây:
Bước 1: Chọn ϕ
0
và đặt k = 0.
Bước 2: Giải bài toán trực tiếp (2.4) với ϕ = ϕ
k
và xác định số dư

R
k
= Aϕ


2
L
2
(0,l)
, k ≥ 1.
22
Bước 4: Xác định u(x, T, ϕ) bằng cách giải bài toán trực tiếp (2.4) với ϕ = d
k
,
ϕ
k+1
= ϕ
k
+ α
k
d
k
,
α
k
=
 r
k

2
L
2
(0,l)
 u(x, T, d

δ
T
= u(x, T, ϕ
k
+ α
k
d
k
) − Ψ
δ
T
= u(x, T, ϕ
k
) + α
k
u(x, T ; d
k
) − Ψ
δ
T
=

R
k
+ α
k
u(x, T ; d
k
).
Vì vậy sau khi xác định

trực tiếp (2.1). Giả sử M × N là số mắt lưới trên miền (x, t), và h = x =
l
M−1
, x
i
=
(i − 1)h, i = 1, 2, , M; τ = t =
T
N−1
, t
j
= (j − 1)τ, j = 1, 2, , N. Kí hiệu w
j
i
là giá
trị xấp xỉ của w(x
i
, t
j
). Phương pháp sai phân hữu hạn rời rạc hóa bài toán (2.1) như
sau:










i
+α
j
i+1
)(w
j
i+1
−w
j
i
)
2h
2
−
(α
j
i−1
+α
j
i
)(w
j
i
−w
j
i−1
)
2h
2
+


= 0, 2 ≤ i ≤ M − 1, 1 ≤ j ≤ N − 1
w
1
i
= ϕ(x
i
), 1 ≤ i ≤ M,
(α
j+1
1
+α
j+1
2
)(w
j+1
2
−w
j+1
1
)
h
+
(α
j
1
+α
j
2
)(w

j+1
M
−w
j+1
M−1
)
h
+
(α
j
M
+α
j
M−1
)(w
j
M
−w
j
M−1
)
h
= −
2h
τ
(w
j+1
M
− w
j

]
T
,
F (j) =
τ
h
[g
0
(t
j
) + g
0
(t
j+1
), 0, , 0, g
1
(t
j
), g
1
(t
j+1
)]
T
Φ = [ϕ(x
1
), ϕ(x
2
), , ϕ(x
M

)
r
2
−(α
j+1
1
+α
j+1
2
)
r
4
1+(α
j+1
3
+2α
j+1
2
+α
j+1
1
)
r
4
−(α
j+1
2
+α
j+1
3

+α
j+1
M
)
r
4
−(α
j+1
M
+α
j+1
M−1
)
r
2
1+(α
j+1
M
+α
j+1
M−1
)
r
2





,

r
4
1−(α
j
3
+2α
j
2
+α
j
1
)
r
4
(α
j
2
+α
j
3
)
r
4
. .
. .
. .
(α
j
M−2
+α

j
M−1
)
r
2
1−(α
j
M
+α
j
M−1
)
r
2





,
với r =
τ
h
2
.