1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội 2
Phạm thị toản
áp dụng thống kê fermi dirac
biến dạng
q
nghiên cứu nhiệt dung
của khí điện tử tự do trong kim loại

LUậN VĂN THạC Sĩ VậT Lý Hà Nội 20093
LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đã
tận tình hướng dẫn và truyền cho tôi nhiều kinh nghiệm quí báu trong học tập
và nghiên cứu khoa học. Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong
học tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp
những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này. Hà nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả

Phạm Thị Toản


5
MỤC LỤC

Mục lục

Mở đầu
Nội dung
Chương 1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do
trong kim loại.
1.1. Lý thuyết Drude.
1.2. Lý thuyết Lorentz.
1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự
do trong kim loại.
2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà.
2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac.
2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi
áp dụng lý thuyết biến dạng q.
3.1. Lý thuyết q - số.

45
55
56
57
60

6
MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài:
Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, người
ta thấy rằng các kết quả thực nghiệm không trùng với các tính toán lý thuyết.
Có điều này là do trong tinh thể kim loại có thể có lẫn tạp chất, hoặc có sự sai
hỏng mạng tinh thể do khuyết tật, lệch mạng… Mặt khác, các tính toán lý
thuyết được xây dựng đối với các mô hình lí tưởng, do đó gây ra sự sai khác
giữa các kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được.
Trong Cơ học lượng tử cũng như trong Vật lý chất rắn, khi có sự sai
khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường
dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên, nhiều hiện tượng
Vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn
như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái… Điều đó đòi
hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả
các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn, và vẫn giữ được các yếu tố phi
tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần
đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số

kim loại.
1.1. Lý thuyết Drude.
1.2. Lý thuyết Lorentz.
1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Chương 2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong
kim loại.
2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà.
2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac.
2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.

8
Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý
thuyết biến dạng -q.
3.1. Lý thuyết q - số.
3.2. Dao động tử điều hoà biến dạng -q .
3.3. Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q.
3.4. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến
dạng -q.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài:
Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:
- Xây dựng lý thuyết biến dạng -q của khí Fermion và thống kê
Fermi –Dirac.
- Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong
trường hợp có biến dạng.

3
đã có khoảng 10
22
electron hoá trị, liên kết
rất yếu với các lõi nguyên tử. Chúng có thể chuyển động tự do trong tinh thể
trở thành các hạt tải điện, quyết định tính dẫn điện của kim loại, nên được gọi
là các electron dẫn [4], [5], [10], [11].
Nếu coi một cách đơn giản rằng các điện tử tự do này không tương tác
với nhau (nói chính xác hơn là coi rằng chúng chỉ tương tác với nhau theo
một cách duy nhất là va chạm), thì khi đó các điện tử này tạo thành một chất
khí (còn nếu coi các điện tử này có tương tác với nhau thì chúng tạo thành
một chất lỏng).
Tuỳ vào việc dùng hàm phân bố nào để xét khí điện tử tự do này mà ta
sẽ có các lý thuyết khác nhau [2]:
(1). Nếu coi các điện tử tự do đều cùng có một giá trị năng lượng


Khí cổ điển đơn giản nhất

Lý thuyết Drude.
(2). Nếu dùng phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển

Khí cổ điển


Lý thuyết Lorentz.
(3.) Nếu dùng phân bố Fermi – Dirac lượng tử

Khí lượng tử ( hay
còn gọi là khí Fermi)

2 2
T
mv
kT

 
(với
3
T
kT
v
m

) (1.1)
- Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển
động có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ
cuốn là
d
v
, tuy vậy:

d T
v v

(1.2)
Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà
nó thu thập được trước đó.
1.2. Lý thuyết Lorentz.
Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem
như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động

Từ hàm phân bố này ta sẽ đi xác định giá trị của vận tốc
T
v
.

2
3
2 2 2 2
2
0 0
. ( ) 4 . .
2
mv
kT
T
m
v v f v dv v v e dv
kT


 

 
 
 
 
 3


2 2
3
2 2 2
T T
d
mv mv
E kT
  

Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể
coi là bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi
electron có năng lượng là:

3
2
d
kT


(1.5)
1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại.
Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh
thể ứng với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung bình của các điện tử

12
tự do trong kim loại bằng [2], [9], [8]:

ion
NkT RT

 
(1.8)

3
ion
ion
d
C R
dT

  
(1.9)
Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và
nhiệt dung của điện tử:

3 9
2 2
V el ion
C C C R R R
    
(1.10)
Nhưng trên thực tế chỉ quan sát thấy
3
V
C R
đối với mọi chất rắn
(định luật Duylong – Petit). Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở

14
Chương 2
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ
ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI.

Lý thuyết cổ điển khi áp dụng để giải thích các tính chất của các hạt
hoặc hệ hạt vi mô, mà điển hình là điện tử đã vấp phải rất nhiều mâu thuẫn
với thực nghiệm mà không thể giải thích nổi. Chính vì vậy mà các nhà Vật lý
vào đầu thế kỉ XX đã phải sáng tạo ra thuyết lượng tử [1], [6], [9], [12].
Năm 1927, sử dụng các khái niệm Cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô,
Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim
loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac thay cho thống kê cổ điển
Maxwell – Boltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô
hình cổ điển của Drude và Lorentz.
Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau
như có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin… được coi là các hạt
đồng nhất.
Trong Cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa.

ˆ
1
ˆ
ˆ
2 2
x
p
H kx
m
 
(2.1)
Với
ˆ
x x
là toán tử mật độ.

ˆ
x
d
p i
dx
 

là toán tử xung lượng.

k
m


là tần số góc của dao động.

q
:

 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
, ( )
i d i d
p q pq qp mx mx
dx dx
m m
 
     
 
 
 . . .
i i d i d
m mx mx
dx dx
m m m
   
  
=
i 
(2.3)

 
(2.5)
Đặt:
ˆ ˆ ˆ
( )
2
q a a


 
ˆ ˆ ˆ
( )
2
p i a a


 

(2.6)
Khi đó:

2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ). ( )
2 2
p i a a i a a
 

2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
2
a a a aa a


 
   


Thay
2 2
ˆ ˆ
,p q
vào (2.5) ta được:

2 2
2 2 2
1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) . ( )
2 2 2 2
H a a a aa a a a a aa a



 
   

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. ( ).( ) .( ).( )
2 2 2 2
i a a a a i a a a a
 
 
   
     
   2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )
2
i
a a a aa a a a a aa a
 
   
 
       
 


Vậy:
ˆ ˆ ˆ ˆ
1
a a aa
 

 

(2.8)
Đặt
ˆ
ˆ ˆ
N a a



Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử
ˆ
N
với các toán tử
ˆ ˆ
,a a

.

ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ( )
N a Na aN a aa aa a a a aa a a
   
 
       
 ˆ ˆ ˆ

N
ứng với trị riêng n, ta có
phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử
ˆ
N
như sau:

ˆ
N n n n

(2.10)
Từ (2.10) ta có:
ˆ
ˆ ˆ
0
n N n n a a n
n
n n n n

  
(2.11)

18
Vì
2
( ) 0
n


nghĩa là các trị riêng của toán tử
ˆ
N
là các số không âm.
* Kết luận 2: Nếu
n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n,
thì
ˆ
a n
cũng là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 1).

2
ˆ
a n
cũng là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 2),
…
ˆ
p
a n

Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:

ˆ
N n n n


Mà
ˆ
ˆ ˆ
,
N a a
 
 
 ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1)
Na a aN
Na n a n aN n
Na n aN n a n an n a n n a n
  
  
      


ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na n aNa n a n
  2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
( 1)
ˆ ˆ ˆ
( 1) ( 2)
a n a n a n
n a n a n n a n
  
    

Vậy
2
ˆ
a n
là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n – 2).
Chứng minh tương tự ta được
ˆ
p
a n
là hàm riêng của toán tử

là hàm riêng của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng (n + 1).
Ta có:
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
N a a a


 

 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Na a a Na
 
 
  

Xét

2 2 2 2
2 2
ˆ ˆ

N

ứng với trị riêng (n + p)…
* Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử
ˆ
N
là n
min
= 0.
Vì
0
n


n
min
= 0.

20
Trạng thái ứng với giá trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không:
0
n


Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình:
ˆ
0 0

là nhỏ nhất.
Vậy
min
ˆ
0
a n

hay
ˆ
0 0
a

.
Trong trạng thái chân không này ta cũng có:

ˆ
0a
tỉ lệ với vectơ riêng
1
của toán tử
ˆ
N
ứng với trị riêng n = 1.

2
ˆ
0
a

tỉ lệ với vectơ riêng

H n E n

(2.14)
Từ (2.13) ta cũng có:

1 1
ˆ ˆ
2 2
H n N n n n
 
   
   
   
   
 
(2.15)
Từ (2.14) và (2.15) suy ra:
1
2
n
E n

 
 
 
 

(2.16)
Nên:
0

 
 
 

.
…
n
là vectơ riêng của toán tử
ˆ
H
ứng với trị riêng
1
2
n
E n

 
 
 
 

.
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hoà có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng


.
Trạng thái
0



vào trạng thái
1
, hay
thêm hai lượng tử năng lượng


vào trạng thái
0
…
Nếu lấy gốc năng lượng là E
0
=
2


thì
n
E n

 
.
Ta có thể coi
0
là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào.

1
là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng.
…


22
Toán tử
ˆ
a

khi tác dụng lên trạng thái
n
cho trạng thái
1
n

, do đó
ˆ
a

được đoán nhận là toán tử “sinh” lượng tử năng lượng, hay
ˆ
a

gọi là toán
tử sinh “hạt”.
Trong Cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà
có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng


.
Cuối cùng, ta đi tính các hệ số
ˆ
n N n



(2.18)
Từ (2.11) và (2.18) có:
ˆ
ˆ
n N n
n n N n
n n
 
(2.19)
Vì
ˆ ˆ
,a a

là các toán tử Hermite nên:

*
*
ˆ
1
ˆ
1
n
n
n a n
n a n






.
Mặt khác ta lại có:

ˆ
ˆ ˆ
1n n N n n aa n

  ˆ ˆ
n aa n n n

  23

*
2
1 1 1
1
n n
n
n n

n n
a a a
 
 

 ˆ
1.2
n n
na n


!n n
1
!
n
n

 

Vậy ta có các công thức sau:


',
ˆ
' ' 1
ˆ
' 1 ' 1 1
ˆ
' '
n n
n n
n n
n a n n n n n
n a n n n n n
n N n n n n n






  
    
 

Dạng ma trận của các toán tử
ˆ
ˆ ˆ
, ,a a N

là:



0 0 0 1
a
n

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 

1 0 0 0
0 2 0 0
ˆ
0 0 3 0

0 0 0
N
n
 
 

x x x

có thể
lựa chọn là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng
( )
k i
x

của từng hạt
Fermion:

1 2 1 2
, 1 2 1 2
1
( , , ) ( 1) ( ) ( ) ( )
!
N N
k k k N k k k N
x x x P x x x
N



   

 
 
 



ˆ
(0) ( )
k k
b x
 


(2.23)

25
Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái
(0)

ta
được :

1 2 1 2
1 2
1
ˆ ˆ
(0) ( 1) ( ) ( )
2!
k k k k
b b P x x





   
  
 
 
 


1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3!
k k k k k k
x x x x x x
     
 1 2 3 1 2 3
2 1 3 3 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k k k
x x x x x x
     
 


(2.24)
Khi hoán vị k
i
, k
j
thì tổng (2.24) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta
có:

1 2 1 2
' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(0) (0)
N N
k k k k k k k k k k
b b b b b b b b b b
 
         
  
' ' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0
k k k k k k
b b b b b b
     
   
(tính chất phản giao hoán) (2.25)
Vì toán tử

, n
2
hạt ở
trạng thái k
2
, … n
s
hạt ở trạng thái k
s
. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt