TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT
LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên
Tin)
Bài I: (2 điểm)
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= a + 2b + 3c = 14. Tính giá trị của biểu thức
T = abc.
2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh A = 2
4n + 1
+ 3
4n
+ 2 là hợp số.
Bài II: (3 điểm)
1) Giải phương trình .
2)
Giải hệ phương trình .
Bài III: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh
.
Bài IV: (3 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO = 2R. Từ S

4 4 4 4 4 4 9
ab bc ca a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
1
2
1 1
+
KA KB
Môn thi: TOÁN
(Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)
BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
I 2,0
1 Tính giá trị của biểu thức T = abc.
1,0
Ta có ⇒
0,25
⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
– 2a – 4b – 6c = - 14
⇔ (a – 1)
2
+ (b – 2)
2

1,5
Điều kiện
Ta có
0,5
Đặt ;ta được: 0,5
Giải phương trình ta tìm được .
0,5
2 Giải hệ phương trình
1,5
Ta có
Coi (2) là
phương trình
bậc 2 ẩn y, suy ra:
0,5
Với suy ra: ta được nghiệm
0,5
Với suy ra: ta
được nghiệm
0,5
III Chứng minh bất đẳng thức 1,0
Ta có:
0,25
0,25
Tương tự: ; 0,25
Vậy VT
Dấu “ = ”
0,25
2 2 2
14
2 3 14

3 2 7
1
4
b a
a b ab
b a
=


+ = ⇔

=

4 6x = ±
( )
2 2
2 2
5 14 8 (1)
4 2 5 16 16 0 (2)

= + +


− + − + + =


y x x
y x y x x
2
9x∆ =

1 1 2 1
.
4 4 9 2 2b c a b c c a
 
⇒ ≤ +
 ÷
+ + + +
 
1 2
.
4 4 9 2 2
ab ab ab
b c a b c c a
 
⇒ ≤ +
 ÷
+ + + +
 
1 2
.
4 4 9 2 2
bc bc bc
a c b c a a b
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
1 2
.

2
= SH.SO (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SC.SD = SH.SO
⇒ ∆ SCO ∼ ∆ SHD
⇒
⇒ Bốn điểm S, D, H, O nằm
trên một đường tròn. 0,5
2 3) Chứng minh rằng AC.BD = AB.CD 1,0
Ta có sđ - sđ=sđ=
⇒
0,5
⇒ ∆ CAK ∼ ∆ BAD ⇒ ⇒
AC.BD = AB.CK
Vì K là trung điểm của CD
nên (4) 0,5
3 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1,0
Vì SO = 2R ⇒ ∆ SAB đều.
Trên tia KS lấy điểm M sao
cho KM = KB ⇒ ∆ KMB
0,5
M
H
B
O
K
C
D
A
S
· ·

1
. .
2
AC BD AB CD=
1 1
KA KB
+
·
·
0
60BKM BAS= =
·
·
MBS ABK=
·
MBA
đều (KM = KB và ) và (60
0
- )
⇒ ∆ SMB = ∆ AKB
⇒ AK = SM.
Ta có:
KA + KB = SM + MK = SK ≤ SO = 2R
(vì 5 điểm S, A, B, K, O) nằm trên đường tròn đường kính SO.)
⇒
⇒ min = khi SCD là
cát tuyến đi qua tâm O
hay C là trung điểm của SO.
0, 5
V Chứng minh rằng …(1điểm) 1,0

( )
,x y