SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
QUẢNG NGÃI Môn thi: Toán (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm)
1/ Thực hiện phép tính:
( ) ( )
2 1 2 1− +
2/ Giải hệ phương trình:
1
2 3 7
x y
x y
− =


+ =

3/ Giải phương trình:
2
9 8 1 0x x+ − =
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho parapol
( )
2
:P y x=
và đường thẳng
( )
2
: 2 1d y x m= + +
(m là tham số).
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để

Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho CA > CB. Gọi I
là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt
đường tròn (O) tại điểm thứ hai K.
1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn.
2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng.
3/ Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi
BC = R.
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho
0, 0x y> >
thỏa mãn
2 2
1x y+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
xy
A
xy
−
=
+
.
HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1:
1/
( ) ( ) ( )
2

: 2 1d y x m= + +
song song với đường thẳng
( )
2 2
' : 2d y m x m m= + +
khi
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
2
2 2
1
2 2
1
1
1
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m m m
m

=


với mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó
( )
d
luôn cắt
( )
P
tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.
3/ Cách 1: Ký hiệu
;
A B
x x
là hoành độ của điểm A và điểm B thì
;
A B
x x
là nghiệm của phương trình
2 2
2 1 0x x m− − − =
.
Giải phương trình
2 2
2 1 0x x m− − − =
.
2 2 2
' 1 1 2 0 ' 2m m m∆ = + + = + > ⇒ ∆ = +
Phương trình có hai nghiệm là
2 2
1 2; 1 2
A B
x m x m= + + = − +

. 1
A B
A B
S x x
P x x m
= + =



= = − −


do đó
( )
( )
2
2 2 2 2 2
14 2 . 14 2 2 1 14 4 2 2 14 2
A B A B A B
x x x x x x m m m+ = ⇔ + − = ⇔ − − − = ⇔ + + = ⇔ = ±
Bài 3:
Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là x (km/h), xe thứ hai là y (km/h). ĐK: x > 0; y > 0.
Thời gian xe thứ nhất đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là
( )
120
h
x
.
Thời gian xe thứ hai đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là
( )

có phương trình:
( )
120 120 2
2
5 3x y
− =
+
.
Từ (1) và (2) ta có hpt:
120 120
1
120 120 2
5 3
x y
x y

− =




− =

+


2
Giải hpt:
( ) ( )
2

x
− +
= =
(thỏa mãn ĐK)

2
5 85
45
2
x
− −
= = −
(không thỏa mãn ĐK)
Thay
40x =
vào pt (1) ta được:
120 120 120
1 2 60
40
y
y y
− = ⇒ = ⇒ =
(thỏa mãn ĐK).
Vậy vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là 40 km/h, xe thứ hai là 60 km/h.
Bài 4:(Bài giải vắn tắt)
a) Tứ giác BCPI nội tiếp (hs tự cm).
b) Dễ thấy MI và AC là hai đường cao của
MAB P
∆ ⇒
là trực tâm

) do đó
·
0
60QAC =
.
Dễ thấy tam giác QAC cân tại Q (QA = QC) có
·
0
60QAC =
nên là tam giác đều
3AQ AC R⇒ = =
.
Dễ thấy
3
;
2 2
R R
AI IB= =
Trong tam giác vuông
( )
0
90IBM I =
$
ta có
0
3 3 3
.tan .tan 60 3
2 2
R R
IM IB B IB= = = × =

= ⇒ − = ⇒ = = +
+ + −
Vì
1
0, 0 0 0 0x y A A
A
> > ⇒ < ⇒ − > ⇒ >
−
do đó
min ax
1
min
m
A A
A
⇔ − ⇔
−
.
Mặt khác
( )
2
2 2
1
0 2 2 1 1
2
x y x y xy xy
xy
− ≥ ⇔ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥
(vì
2 0xy >

> >

= ⇒ = =


+ =

Lúc đó
1
2
2
2
1
3
1
2
A
− ×
= = −
+
. Vậy
2
min
3
A = −
khi
2
2
x y= =
.

0, 0
2
2
1
x y
x y x y
x y

> >

= ⇒ = =


+ =

Vậy
2
min
3
A = −
khi
2
2
x y= =
.
Cách 3:
Với
0, 0x y> >
và
2 2

min
3
A = −
khi
2
2
x y= =
.
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
0; 0 0 a 2 0 2 0
1
0
2 2
0
2
3
2
a a xy
A b a xy bxy a x y b a xy
b b xy
a
b a a
a x y xy
b a
a b