SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình:
( 2)
( 2) ( , , )
( 2)
y x xy
z y yz x y z
x z zx
= +


= + ∈


= +

¡
.
2. Tính giới hạn sau:
0
lim
x
x

−
.
Câu 4 (2,0 điểm).
Xét các điểm M, N (M, N không trùng với A) tương ứng thay đổi trên các đường thẳng chứa các
cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho
MN BCP
và các đường thẳng BN, CM cắt nhau tại P.
Gọi Q là giao điểm thứ hai (khác điểm P) của đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và CNP.
1. Chứng minh rằng Q luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
2. Gọi
', ', 'A B C
lần lượt là điểm đối xứng với
Q
qua các đường thẳng
, ,BC CA AB
.
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
' ' 'A B C
nằm trên một đường thẳng cố
định.
Câu 5 (1,0 điểm).
Ta gọi mỗi bộ ba số nguyên dương
( ; ; )a b c
là một bộ
n −
đẹp nếu
,a b c≤ ≤
ước chung lớn
nhất của
, ,a b c

làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1 1 2,0 điểm
Hệ phương trình tương đương:
2
2
2
(1 ) 2
(1 ) 2
(1 ) 2
y x x
z y y
x z z

− =

− =


− =

Nếu một trong ba số
, ,x y z
bằng
1±
thì hệ phương trình vô nghiệm.
⇒

=

−

0,5
Đặt
tanx
α
=
với
;
2 2
π π
α
 
∈ −
 ÷
 
. Do
2
2 tan
tan 2
1 tan
α
α
α
=
−
0,5
Ta có

 
 ÷
 
,
2 4 4 2
tan ;tan ;tan , tan ;tan ;tan
7 7 7 7 7 7
π π π π π π
   
 ÷  ÷
   
,
2 4
tan ; tan ; tan
7 7 7
π π π
 
− − −
 ÷
 
,
2 4 4 2
tan ; tan ; tan , tan ; tan ; tan
7 7 7 7 7 7
π π π π π π
   
− − − − − −
 ÷  ÷
   
.

⇒ − < − < −
( ) ( ) ( )
3 3 3 6 3
3
1 1 1
1 ln 1 1 ln 1
3 3
x x x x x x x x x
x
⇒ − < − < − ⇒ − < − < −
.
0,5
Do
( ) ( )
3 6 3
0 0
lim 1 lim 1 0
x x
x x x x
+ +
→ →
 
− = − =
 
0,25
0 0
ln
lim 0 lim 1
3
x

6
3 2
a b
ab
= =
(1)
3
8 8
3 · · 3,
2 4 3 4
b c b c
bc bc
+ + ≥ =
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
8
2 4
b c
bc
= =
(2)
3
12 12
3 · · 3,
4 3 4 3
c a c a
ca ca
+ + ≥ =
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
12
4 3

0,5
Mặt khác, từ giả thiết suy ra
1 1
12ca
≤
và
1 1
8bc
≤
. Do đó
1 1 13 117 121
40 3 26 78 3 39 3
4 12 12
D D D D
bc ca
≤ + × + × ≤ + + = + ⇒ ≥
0,5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3, 2, 4.a b c= = =
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức D bằng
121
,
12
đạt được khi
3, 2, 4.a b c= = =
0,5
3 2,0 điểm
Với
1n
=

n
p − +
là số lẻ và là bội của
1p
n
−
nên n là số tự nhiên lẻ, do đó
2n p<
.
0,25
Gọi q là ước nguyên tố nhỏ nhất của n.
Do
| ( 1) 1
n
q p − +
nên
( )
( 1) 1 mod
n
p q− ≡ −
và
( 1; ) 1p q− =
.
0,25
Do n, q đều lẻ nên
( ; 1) 1n q − =
; do đó tồn tại
*
,u v∈¥
sao cho

2 2
2
( 1) 1 1( 11)
p
p k
k k
p
p p k k
k k
k
pp
p Cp p pC
−
==
−−
− + =

−

= − +
 ÷
 
∑ ∑
0,25
Do mỗi số hạng của
( )
2
2
1
p

π
≡ ≡ ≡
và
( )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) modMQ MB PQ PB PQ PN CQ CN
π
≡ ≡ ≡
0,5
Từ đó suy ra
~BQM NQC∆ ∆
(2)
Gọi I và J theo thứ tự là hình chiếu của Q trên các đường thẳng BM và CN. Khi đó, do
(2) nên
QI MB AB
QJ NC AC
= =
(do
MN BCP
).
Từ đó, theo tính chất của đường đối trung, Q nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam
giác ABC.
0,5
2 1,0 điểm
Gọi
L
là giao điểm của AP với BC. Áp dụng định lý Céva cho tam giác ABC ta có
1 (1)
MA LB NC
MB LC NA
× × = −

(3).
0,25
Do cách xác định các điểm
', 'B C
nên
' 'AB AC AQ= =
hay tam giác
' 'AB C
cân tại
A
, kết hợp với
IJ
là đường trung bình của tam giác
' 'QB C
' ', ' 'IJ B C AB AC⇒ =P
(4)
0,25
Từ (3), (4) suy ra
AP
là đường trung trực của đoạn B’C’ suy ra tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác A’B’C’ nằm trên đường thẳng AP hay nằm trên trung tuyến AL của tam
giác ABC.
0,25
5 1,0 điểm
Trước hết ta có nhận xét: Với mỗi số nguyên tố p thì
( )
( )
1
1 n u ; 1
0 n u ;

+ +
thì
2p =
hoặc
3p =
.
Từ đó, nếu
( ; ; )a b c
là
n −
đẹp thì
a b c
+ +
chỉ có các ước nguyên tố là 2, 3.
0,25
Do
( )
2
0, 1 mod4x ≡
và a, b, c không cùng chẵn nên
( )
2 2 2
1, 2, 3 mod 4a b c+ + ≡
(1)
Do
( )
3
0, 1 mod9x ≡ ±
và a, b, c không cùng chia hết cho 3 nên
( )