1/4
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011- 2012

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
MÔN: TOÁN

Chú ý:
1. Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ ¼ số điểm
2. Với những trường hợp thừa nghiệm (do không xét điều kiện) trừ ¼ số điểm của ý.
3. Với những đáp số không đúng quy tắc làm tròn trừ ¼ số điểm của ý.
3. Với những câu yêu cầu trình bày, thí sinh trình bày vắn tắt thể hiện tiến trình giải bài toán,
không cần vi
ết cách giải các phương trình và hệ mà máy tính hỗ trợ sẵn
4. Nếu học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm.

Đề bài Công thức tính và kết quả
Điểm
Câu 1: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức:
24a1)(a3aa
24a1)(a3aa
A
223
223
+−−+−
−−−+−
=
với a=
72


=3 (cm)
2

S
BDP
=
7
3
≈0.428 571 4 (cm
2
)
S
ABH
=
25
54
≈ 2.16(cm
2
)
S
BDH
=
175
72
≈ 0.411 428 6 (cm
2
)
0.5

0.5

1.0
Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a , góc BAC bằng 120
0
,
SA=SB=SC=3a.
a. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
b. Áp dụng với a=
17 .
Hướng dẫn:
a. Hạ SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), AH cắt BC tại K .
Vì SA=SB=SC nên các tam giác sau vuông bằng nhau
(
ΔSHA=ΔSHB = ΔSHC) ⇒ HA=HB=HC
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mặt khác do
ΔABC cân tại A và góc (BAC) tù
nên HA là phân giác trong của góc (BAC). Do
ΔHAB cân tại H, và
∠BAH=∠HAC=60
0
nên là tam giác đều. Vậy AH=AB=a ⇒
SH=
22
AH - SA =2
2
a.


2
1
.
3
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∠ )BAC

=
a 22 . 0.a.a.sin12
2
1
.
3
1
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
6

∈
N
*
ta có:
1nnn1)(n
1
+++
=
1n
1
n
1
+
−
. Từ đó ta có:
2
1
1
22
1
−=
+3
1
2
1
3223
1
0.5 1.0
Câu 7: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA=a và
SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. Kẻ AE
⊥
SB, AF
⊥
SD. Gọi K là giao điểm của
SC với mặt phẳng AEF.
a. Tính diện tích tứ giác AEKF.

b. Áp dụng với a=
11 .
Hướng dẫn:
a) Do SA = AB = AD = a
⇒ E, F là trung điểm của SB và SD.
Trong
Δ
SBD có EF//=
2
1
BD =
2
2
a
(0,5 điểm)

2
== (0,5 điểm)
b. S=
6
2
2
a
≈2.592 724 9
0.5
0.5
12
4
4
===⇒==⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
zyxcb
bc
cb

+ Với a=4 ta có
⎩
⎨
⎧
=
=+
2
2
bc
cb
Không có nghiệm nguyên
+ Với a=8 ta có
4,51
1
2
==−=⇒−==⇒
⎩

, MB
1
và MC
1
xuống các đường
thẳng BC, CA và AB. Với vị trí nào của M thì
111
MC
c
MB
b
MA
a
P ++=
đạt giá
trị nhỏ nhất. Xác định giá trị nhỏ nhất đó với a=
3 ; b= 5 và c= 7
Hướng dẫn: Đặt MA
1
= x, MB
1
= y , MC
1
= z.
Ta có: ax + by + cz = 2S
ΔABC

Với S
ΔABC
=

abcba
++++++++=
ABC
S
cba
Pcbacabcabcba
Δ
++
≥⇒++=+++++≥
2
)(
)(222
2
2222

Dấu bằng đạt được x=y=z . Khi đó M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
Vậy khi M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thi P đạt giá trị nhỏ
nhất.
P
min
≈11.389 779 4
2
và x
2
=
3
z - 32
2
.
Vì y ≥z ⇒
4
z - 16
2
≥ z
2
⇔ 5z
2

≤
16
⇔
0<z
≤
5
4

165z
2
=≤
−
=

⇒
x
2
≤
3y
2

⇔
x
≤ y3

Từ đó suy ra:
y
x
⋅
2
3 y≤
Ta có: xz =
(
)
()
222
2
2

⎝
⎛
+≤⋅ yz
yx
z
x

(cosi dấu = khi
z
x
=
3
)
và yz
()
22
z
2
1
+≤ y
(dau= khi y=z).
Khi đó: A=xy + yz + zx
≤ 3 y
2
+
(
)
22
z
2

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++

= 2
()
2
8
33
133 z
⎟
⎟
⎠
⎞

4
và y = z =
5
4

Vậy giá trị lớn nhất của A là: A
max
=
5
16332 +
≈14.285 125 2
khi
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
5
4
,
5
4
,
5
3

0.5