Câu 1 (5.0 điểm)
1. Cho hàm số:
32
1
m
xm
y (C )
mx



với m là tham số. Chứng minh rằng, với mọi m khác 0 đồ thị
hàm số luôn cắt đường thẳng
33d:y x m
tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để đường thẳng d
cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 lần diện tích tam giác OCD.
2. Cho hàm số:
22
y x (x a)
với a là tham số. Chứng minh rằng, đồ thị hàm số đã cho có ba
điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi
2a.

Câu 2 (5.0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
3 2 4 2 2 2 0cosx (sin x sinx) cos xcosx cos x     

2. Giải hệ phương trình:


Đường thẳng
2
d
tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ giao điểm của
1
d
và
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương.
Câu 4 (2.0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo bởi đường cao SH của hình
chóp và mặt bên bằng
.
Tìm

để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất biết a cố định,

thay đổi.
Câu 5 (3.5 điểm)
1. Tính
0 1 2 2013 2014
2014 2014 2014 2014 2014
2 3 2014 2015S C C C C C     

2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một
số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu 6 (1.5 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn:
x y z xyz  
và
1 1 1x ,y ,z .  
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

1
32
33
1
3 3 1 0 1
x
xm
xm
m
mx
g(x) x mx ( )




  



   

do
0m

d cắt
m
(C )
tại hai điểm phân biệt
1()
có hai nghiệm phân biệt khác

Vậy d luôn cắt
m
(C )
tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m khác 0.
1.0
Giả sử
3 3 3 3
A A B B
A(x ; x m),B(x ; x m)
với
AB
x ,x
là hai nghiệm của (1)
Do đó:
AB
x x m
và
13
AB
x x / .

Ta có:
2 2 2
3 3 10
B A B A B A
AB (x x ) ( x x ) (x x )     22
40

S OC.OD m . m

   

0.5
2
3
1 40
2 10 3
23
10
OAB OCD
m
S S m m . m


      2
40 2
10 2 10
33
m m m      

0.5
2. (2.0 điểm) Chứng minh rằng đồ thị hàm số có ba điểm cực trị …
TXĐ:
32
4 2 2 2D ;y' x ax x ( x a)    

a a a a
A( ; ), B ; , C ;
   

  
   
   
   

Ta có:
4
22
16 2 2
a a a
AB AC ; BC a

     

0.5
Do tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC là một tam giác nhọn khi và chỉ
khi

A
nhọn

2 2 2
00cosA AB AC BC     

0.5
SỞ GD & ĐT BẮC NINH

22
2 3 2 1 4 2 2 2 1 0cosx cos x sinx( cosx ) cos xcosx ( cos x )       2 1 3 2 1 2 2 2 1 0cosx( cosx ) sinx( cosx ) cos x( cosx )      2 1 3 2 2 0( cosx )(cosx sinx cos x)    12
2
23
3 2 2
cosx x k
cosx sinx cos x (*)


      







1.5
Giải (*)
13
22

2. (2.5 điểm) Giải hệ phương trình:
Điều kiện:
x,y
.
PT(1)


 
2 2 2
33
2
99
2 2 6 6 9
9
y y x x
x y x y ln ln
xx
   
     




3 3 2 2
2 2 6 9 6 9x y x y ln y y ln x x         


Xét hàm số:
22
3
9
g(u) u
u
  

với
0u33
11
1 1 0
99
g'(u)
(u )
     



Hàm số g(u) đồng biến trên
0 0 0[ ; ) g(u) g( )   

Suy ra:
2
30f '(t) g(t )  

30
x
x x x x
x


        




0.5
Thử lại ta thấy
61 30x ;x  
là nghiệm của phương trình.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
30 30 61 61( ; ),( ; ).

0.5
3
(3.0 điểm)
Tìm tọa độ giao điểm …
Gọi
M AI BC.

Giả sử
0AB x (x ),
R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội
tiếp tam giác ABC.
Do tam giác ABC đều nên

3 2 2 3 6
3
1
3 6 6 6
3
3
99
2
( a ) a
a (loaïi)
a
a (tm)


  


      






Suy ra:
22I( ; )

1.0
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính
2 2 3

và (C) là:
2 4 2 4
2 2 2 2
15 15 15 15
; , ;
   
   
   
   

1.0
4
(3.0 điểm)
Tìm

để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất.
S
A
B
C
D
H
M
φ

22
2HM (a h )/  
và
22
2BC (a h )

12
a tan
BC a h h tan
tan

    


1.0
Do hình chóp đều nên H là giao
điểm của AC và BD.
Gọi M là trung điểm của CD

CD

(SHM)

(SHM)

(SCD)

SM là hình chiếu của SH lên mặt
phẳng (SCD) .
Vậy

HSM 
với
0
2


1
23
S.ABCD
t a t
t ( ; ) tan V
tt

       

Xét hàm số:
3
21
3
at
f(t)
tt


trên
1( ; )33
3
2
3
1
2
3
03



khi
3 1 45
o
t tan .      1
3


f’
(t
)
+ 0


f(
t)

f(3)
0
0
1.0
5
(3.5 điểm)

2014 2013 2014
2 2014 2 1008 2. S S .    

0.5
2. (2.0 điểm) Có bao nhiêu số …
Số phần tử của không gian mẫu là:
5
9.

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số khác 0 là
3
9
C

Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:
0.5
▪ TH1: Hai chữ số còn lại cùng là chữ số a hoặc b hoặc c có: 3 cách.
Xếp 3 chữ số giống nhau vào 3 vị trí trong 5 vị trí có:
3
5
C
cách.
Xếp 2 chữ số còn lại vào 2 vị trí còn lại có: 2 cách.


Số các số thỏa mãn TH1 là:
3
5
3 2 60.C . 

9
5
90 60
0 213
9
A
( ).C
P(A) ,


  


0.5
6
(1.5 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của k …
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1x y y z z x
P
y z x
        
  
2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z
x y z



2 2 2
1 1 1 2x y z ( )
xy yz x z
     

Từ (1) và (2) suy ra:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
23P ( )
x y z xy yz zx
x y z

        



0.5
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
14()
xy yz zx
x y z
     2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
33
x y z xy yz zx x y z