PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học là phần khó của chương trình toán, nhất là phần hình hoc không
gian, đa số học sinh rất sợ khi học về hình học không gian.
Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình học
không gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả phương pháp
hình học thuần tuý và cả phương pháp tọa độ. Việc giải toán Hình học không gian
bằng phương pháp hình học thuần túy gặp rất nhiều khó khăn cho học sinh vừa học
xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã quen kiến thức, kỹ năng chứng minh,
dựng hình trong không gian.
Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh
cũng gặp không ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này không được đề cập nhiều
trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thông ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải toán Hình học
không gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng kiến kinh
nghiệm của mình, tôi xin trình bày một số kỹ năng giải giải hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ.
2. Phạm vi nghiên cứu
Sau khi học sinh học hết chương trình lớp 12 chuẩn bị thi đại học.
3. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ
4. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
Chương 1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
Chương 2 Cở sở thực tiễn
Chương 3 Một số kỹ năng giải giải hình học không gian bằng phương pháp
tọa độ.

PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất

Các dạng toán thường gặp :
• Độ dài đoạn thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối đa diện
• Diện tích thiết diện
• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
II. Cở sở thực tiễn
a. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình
lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng,
giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số
đối tượng trong hình học không gian.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm
cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng
tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây
dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một
công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian.
b. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ
động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán
2
mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi
lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết
quả không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được

a 3 a a 3 a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
     
= = − = − −
 ÷  ÷  ÷
     
uuur uur uuur
°
2
1
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uur
r
với
1
n (3h 3; 3h; a 3)= −
r
°
2
2
ah 3 ah a 3 a a
[SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n ,
2 2 6 6 6

(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0⊥ ⇔ =
r r
2 2 2
2 2
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0
a 6
18h 3a h .
6
⇔ − + − = ⇔ − − =
⇔ = ⇔ =
 Vậy:
a 6
h .
6
=
3
S
z
A
z
H
B
M y
C
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng
minh tam giác MAB cân và tính diện tích tam giác MAB theo a.
° Tam giác ABC vuông tại B có:
2 2 2 2 2 2
AC AB BC a 4a 5a

a 5
M 0; ; a
2
 
 ÷
 
° Ta có:
a 5 3a
MA 0; ; a MA
2 2
 
= ⇒ =
 ÷
 
uuuur
2a 3a 3a
MB ; ; a MB .
2
5 2 5
 
= − ⇒ =
 ÷
 
uuur
suy ra: MA = MB ⇒ tam giác MAB cân tại M.
° Ta có:
2 2
2 2
a 2a
[MA; MB] ; ; a [MA; MB] a 2

M
C
y
a 5
H
B
A
K
x
a
5
Do AB, AC, AS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
O
)0;0;0(A≡
, B(a;0;0), C(0;a;0),
)
2
2
;0;0(
a
S

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là
)0;0;1(=i
Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương:
)
2
2
;;0();






=
nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến
)21;1(=n
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) ta có:
0
60
2
1
211
1
.
.
cos =⇒=
++
==
ϕϕ
ni
ni
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:
Vì I là trung điểm của BC



,,
2
2
;;0,0;
2
;
2
2444
3
222
aaaa
SCAI
a
ASSCAI
a
AS
aaa
SCAI
a
aSC
aa
AI
=++=
=⇒







[ ]
2
2
.
4
2
,
.,
),(
2
3
a
a
a
SCAI
ASSCAI
SCAId ==






=
Bài toán 4: ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2002 )
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi
M, N lần lượt lượt trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích của
tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
 Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuôg góc của S trên mặt phẳng (ABC) thì H là trọng

;
6
3
(),0;
2
;
6
3
(),0;0;
3
3
(
aa
C
aa
B
a
A −−−








−
−



KhS
Suy ra :








−−=








−=
2
;
4
;
12
35
2
;
4
;







−−−=








−−= h
aa
SCh
aa
SB ;
2
;
6
3
;;
2
;
6
3
. Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến

15a
h =⇒
.
Vậy
[ ] [ ]
16
10
,
2
1
24
35
;0;
24
15
,
222
a
ANAMS
aa
ANAM
AMN
==⇒








C B
S
K
H
N M
z
S
x
B
C
y
D
N
MA
I
);0;0(),0;2;(),0;2;0(),0;0;( aSaaCaDaB
N là trung điểm của SC
)
2
;
2
2
;
2
(
aaa
N⇒
I là giao điểm của AC và BM nên
I là trọng tm của tam gic ABD



==⇒−=−=
2
2
;;
2
2
,);
2
2
;0(),;0;(
2
2
2
2
a
a
a
SMSBna
a
SMaaSB
21
, nn
lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBM) đồng thời
0
2
2
.0.
2
2








=








= 0;
6
;
6
2
,0;
3
2
;
3
,
2
;
2

=−==
Bài toán 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB, BC và CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP
và tính thể tích khối tứ diện CMNP.
( Trích đề thi Đại học khối A – năm 2007 )
 Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AD, vì tam giác SAD đều nên SH
⊥
AD. Mặt khác
(SAD)
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD). Suy ra HS, HA và HN đôi một vuông góc.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
)0;0;0(HO ≡
Khi đó ta có :
)0;
2
;
2
(
)
4
3
;
2
;

−
−
* Chứng minh AM
⊥
BP:
7
x
z
S
C
y
N
B
M
D
H
P
A
Ta có
)
4
3
;
2
;
4
(
aaa
AM −=
)0:

2
;
4
(),
4
3
;
2
;
4
3
(
22
aa
MNMC
aaa
MN
aaa
MC −=⇒−−=−−=
)
4
3
;0;
4
3
(
aa
MP −−=

Suy ra thể tích khối chóp CMNP:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O
; S
( )
h;0;0
;
A
2
;0;0
2
a
 
−
 ÷
 ÷
 
; C
2
;0;0
2
a
 
 ÷
 ÷
 
D


4 2
a h
 
−
 ÷
 ÷
 
; E
2 2
; ;
2 2
a a
h
 
− −
 ÷
 ÷
 
M
2 2
; ;
2 4 2
a a h
 
− −
 ÷
 ÷
 
N
2 2

N
M
E
O
x
y

Tính (theo a) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có :
2
, 0; ;0
2
ah
MN AC
 
 
= −
 ÷
 
 ÷
 
uuuur uuur
2
0; ;
4 2
a h

2
a
ha
ha
ACMN
AMACMN
ACMNd ===
III/ Các bài toán về lăng trụ
Bài toán 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB =
AC = a, góc
·
o
BAC 120=
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng
minh tam giác AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (AB'I).
Gọi H là trung điểm BC ⇒
AH BC
⊥
° tam giác ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a
a
AH
2
⇒ =
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =


2 2 2
/
a 3 a 3 a a a 3a a 2a
AB .AI . . a. 0
2 2 2 2 2 4 4 4
 
= − + + = − + + =
 ÷
 
uuur uur
/
AB AI.⇒ ⊥
uuur uur
Vậy, tam giác AB
/
I vuông tại A.
* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ
1
n (0; 0; 1)=
r
* mp (AB
/
I) có cặp vectơ chỉ phương
/
AB , AI
uuur uur
, nên có pháp vectơ:
2 2 2 2 2
/
2

n (1; 3 3; 2 3)= −
r
.
° Gọi
α
là góc giữa (ABC) và (AB
/
I), ta có:
0 0 2 3
2 3 30
cos .
10
0 0 1. 1 27 12 40
+ −
α = = =
+ + + +
Bài tóan 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1 . Gọi
I, J, K lần lượt là trung điển của các đoạn thẳng AA’, CD v A’D’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BIJK.
b) Biết BK vuông góc với mặt phẳng (A’C’D). Tính độ dài các cạnh của
hình hộp .
c) Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J.
 Lời giải:
Gọi a,b,c là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có a.b.c = 1. Xét hệ trục
Đề –các vuông góc Axyz với tọa độ các điểm là :
);
2
;0(),0;;
2
(

abc
abcabc
VBKBJBIV
c
b
aBK
ab
acbc
BJBIb
a
BJ
c
aBI
=−−=⇔=⇒
−=






−−−=⇒−=−=
Vậy
48
5
=V
( vì a.b.c =1 )
b) Ta có



aBK −==−=
Thế vo hệ (1) ta được
6
2
2
2
2
2
1
2
0
2
0
2
===⇔







=−
=+−
b
ca
c
b
b
a

abc
JACI
IAJACI
h
++
=
++
==
áp dụng BĐT Cơ si với a.b.c = 1 ta có:
3
max
144.3
1
=h
đạt được khi
3
12
1
322
===
bca
Bài toán 10:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông cạnh a.
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, A’C’, C’B’. Tính
khoảng cách giữa DE và A’F.
 Lời giải :
Xét hệ trục Đề –các vuông góc A’xyz với tọa độ các điểm là :
[ ]
)
8

;0(),0;0;0('
aa
FAED
aa
EA
a
FAa
aa
ED
aa
Ea
a
D
a
FA
−=⇒
==−=⇒
Ta có :
[ ]
[ ]
17
64
3
0
4
3
8
3
',
'.',

 Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia
Hà Nội, 2001.
 Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi
dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội
bộ, 2000.
 Báo Toán học và Tuổi trẻ, số tháng 11/1995 và số tháng 2/1999.
12