Giải một bài toán quỹ tích như thế nào?
I: Đặt vấn đề
Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí của môn hình học, không những
chỉ có từ quỹ tích được sử dụng trở lại mà các kiến thức về quỹ tích cũng đã
được trả về vị trí xứng đáng của nó. Điều này cũng có lí do chính đáng. Không
thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của quỹ tích trong việc rèn luyện
tư duy toán học nói riêng và đối với việc rèn luyện tư duy linh hoạt nói chung,
một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con người. Tuy vậy,
cũng phải nhận rằng đây cũng là phần khó, nếu không muốn nói là khó nhất của
chương trình, khó đối với học sinh trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương
pháp, và càng khó hơn trong việc vận dụng các phương pháp ấy vào việc giải
bài tập. Đối với các thầy, cô giáo dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng
phân tích, dẫn giải để giúp cho học sinh hiểu được một cách rõ ràng, nắm chắc
chắn những gì mà thầy cô giáo muốn truyền đạt cho họ.
Bài toán quỹ tích được chính thức giới thiệu ở chương III- Góc với đường
tròn - trong phần hình học lớp 9, còn gọi là bài toán tìm tập hợp điểm mà các
học sinh khá giỏi đã được làm quen ở lớp 8 với các kiến thức thuộc chương
trình hình học lớp 7 và lớp 8. Khi gặp dạng toán quỹ tích học sinh giải toán rất
kém, nhiều học sinh khá cũng không biết bắt đầu giải bài toán như thế nào?
Học sinh giải các bài toán quỹ tích còn nhiều hạn chế. Vì:
- Nhiều giáo viên quen với việc sử dụng các phương pháp truyền thống,
thiên về diễn giải lý thuyết mà ít chú ý tới việc phải đưa học sinh vào các
tình huống có vấn đề, phù hợp với nội dung bài toán để đưa các em vào
hoạt động rèn luyện kỹ năng tư duy không gian.
- Một số giáo viên có áp dụng phương pháp mới, đưa ra các tình huống có
vấn đề để hướng học sinh giải quyết nhưng không giúp học sinh hình
thành kỹ năng phân tích và giải bài toán quỹ tích.
Trong chương trình hình học lớp 7 và 8 học sinh đã được làm quen với một
số bài toán quỹ tích cơ bản. Việc giải bài toán quỹ tích chỉ dừng lại ở phần tìm
1
quỹ tích các điểm thoả mãn một điều kiện nào đó (phần thuận), nhưng việc giải

α
.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất
α
là hình H.
2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ
tích.
Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên
tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học,
trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần
phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được
suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong
một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo,
giới hạn v.v như thế nào? Dưới đây tôi xin trình bày kĩ những thao tác tư duy
chuẩn bị cơ bản nhất.
2.1 Tìm hiểu kĩ bài toán
Tìm hiểu kĩ bài toán tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài
toán. Trong một bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.
b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích
hình v.v
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm
từ “cố định”, “cho trước”, “không đổi”.
c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích
hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích.
Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di
chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v
3
Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho
trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập

Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài toán cũng đòi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để
tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp,
giúp cho việc tìm ra cách giải bài toán.
2.2 Đoán nhận quỹ tích
Thao tác tư duy đoán nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình
dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung tròn, đường tròn), nhiều khi
còn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đoán nhận quỹ tích
ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là
sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta
hình dung được hình dạng quỹ tích.
- Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là
đường thẳng.
- Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường
tròn.
Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di
chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM.
Tìm tập hợp các điểm N.
Đoán nhận quỹ tích
- Khi M
→
B thì BM
→
O
do vậy AN
→
O hay N
→
A.
Vậy A là một điểm của quỹ tích.

→
O thì A
→
C trên Ox,
mà OC = p.
Dự đoán tập hợp của M là đoạn
thẳng CD.
B
M
A
D
C
o
y
x
Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó.
Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và
Az cắt Oy ở C.
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC.
6
Dự đoán quỹ tích

- Khi B
→
O thì điểm C sẽ
dần đến vị trí điểm C
1
thuộc
Oy và điểm M đến vị trí M
1

O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B
1
thuộc Ox và điểm M đến vị trí M
2

sao cho M
2
O=M
2
B
1
=M
2
A
⇒
M
2
nằm trên đường trung trực của OA.
Dự đoán quỹ tích là đoạn M
2
M
1
thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA,
phần nằm trong góc xOy.
3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng
minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.
Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này.
3.1 Chứng minh phần thuận
Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm

’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy
α
’
có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không
đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v ). Như vậy ta
thay việc xét mệnh đề M(
α
) bằng việc xét mệnh đề M(
α
’) mà M(
α
)
⇒
M(
α
’)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm
quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD.
Đoán nhận quỹ tích
 Nếu D
→
B thì M
→
P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D
→
C thì M
→
Q, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D

K
8
- Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng
2
AH
. Ta có thể
thấy ở đây là:
M(
α
): M là trung điểm của AD.
M(
α
’): M cách BC một đoạn không đổi.
Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN,
bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi
bằng
2
AH
, mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản
thứ 3.
Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy
BC. Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và
đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung điểm
M của đoạn thẳng EF.
Phân tích phần thuận
A
B
C
D
E

α
) bằng các điểm M(
α
’) mà M(
α
)
⇒
M(
α
’) thì tập hợp các điểm M(
α
) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của tập
9
hợp các điểm M(
α
’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M(
α
’) là hai đường
thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn
2
AH
, còn tập hợp các điểm
M(
α
) là đường trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà
thôi.
Trong nhiều trường hợp ta không thành công trong việc đưa về các quỹ
tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một
đường cố định nào đó. Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa
các điểm của quỹ tích là một hình cố định.

OBOP
OO
∆=∆⇒





=
∠=∠
chung
21
⇒
OPMOBM ∠=∠
mà
0
90=∠OPM
(góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp
điểm). Vậy
ABBMOMB ⊥⇒=∠
0
90
AB cố định, điểm B cố định mà MB
⊥
AB
⇒
M luôn chạy trên tia At vuông
góc với AB tại B.
Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận,
ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố

1
.
O
N
P
I
M
Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’)
chứa các điểm M có tính chất
α
, nhưng do những điều kiện hạn chế khác của
bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình
(H’). Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn
quỹ tích.
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi
phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể
đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng
biệt, ngang với phần thuận và phần đảo.
11
Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm như
vậy sẽ tránh được việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi
tiến hành chứng minh phần đảo. Thông thường, ta tìm các điểm giới hạn của
quỹ tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trường hợp giới hạn, như
trong ví dụ sau:
Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố
định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển
trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp
các điểm H.
Giải
1) Phần thuận.

→
O.
12
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
.PCBMAB ∠=∠
Tìm tập hợp các điểm M.
Phần thuận
Ta có:
PCBMAB
∠=∠
21
PP ∠=∠
(đối đỉnh)
0
12
90=∠+∠=∠+∠⇒ PPCBPMAB
0
90=∠⇒ AMP
hay
0
90=∠AMC
D
A
B
C
M
P
1
2

13
Lấy một điểm C’ bất kì trên đoạn OB.
Nối AC’ và tia AC’ cắt cung OHB tại
một điểm H’. Nối BH’ góc BH’A là
góc nội tiếp trong nửa đường tròn nên
'''90'
0
HACBHABH ⇒⊥⇒=∠
là hình
chiếu của điểm B trên tia AC’.
O
B
A
C
H
C'
H'
y
x
 Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung OB
thuộc đường tròn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa
tia Ox, bờ là đường thẳng Oy).
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
.PCBMAB ∠=∠
Tìm tập hợp các điểm M.
Phần đảo
Lấy một điểm P’ bất kì thuộc cạnh
AB của hình vuông. Tia CP’ cắt
cung nhỏ AB của đường tròn

Giải
Phần thuận: Nối OI. Tam giác AOB
vuông mà OI là trung tuyến nên
22
1 l
ABOI ==
= không đổi. Điểm O cố
định, điểm I cách điểm O một đoạn
không đổi
2
l
nên I nằm trên đường
tròn tâm O bán kính
2
l
.
O
I
0
I
1
A
B
A'
B'
I'
I
A
0
B

nằm trong góc xOy.
Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I
0
I
1
. Quay cung tròn tâm I’, Bán
kính
2
l
, cắt Ox ở A và Oy ở B’.
Ta có
'' AOI∆
cân nên
OAIOAI '''' ∠=∠
Do vậy
''2180''
0
OAIAOI ∠−=∠
Tương tự
''2180''
0
OBIBOI ∠−=∠

000
18090.2360'''' =−=+∠∠⇒ BOIAOI

Suy ra ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng. Ta lại có
lBA
l
AIAI =⇒== ''

AB.
O
M
A
B
N
I
K
H
y
x
z
Ta lại có IK//OM//NH mà I là trung điểm của MN nên K là trung điểm của
OH
⇒
OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di chuyển trên tia Hz vuông góc với
cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK.
Phần đảo.
Lấy điểm M’ trên Oy, nối M’A. Đường vuông góc với M’A kẻ từ A cắt tia Hz
tại N’. Nối N’B và M’b.
Ta cần chứng minh: N’B
⊥
M’B
Gọi I’ là trung điểm của M’N’.
Ta có:
''
2
1
' NMAI =
(1) (I’A là trung tuyến ứng với cạnh huyền M’N’ của tam

với cạnh Ox tại điểm H, sao cho OH=2OK (K là trung điểm của đoạn
thẳng AB).
• Lưu ý: Trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm M và N phải thông qua
các giả thiết:
vMBNvMANOyM 1,1, =∠=∠∈
và N là giao điểm của hai
đường vuông góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB. Do vậy ta phải chọn
một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần đảo:
 Chứng minh M’
Oy∈
 Chứng minh
0
90'' =∠ ANM
 Chứng minh
0
90'' =∠ ANM
- Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là như nhau thì ngay từ đầu ta đã
có thể dự đoán tập hợp của N phải là một tia tương tự như Oy và trong khi
chứng minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N’
∈
Hz, và dựng lại điểm M’, giao
điểm của các đường vuông góc với N’A kẻ từ A với đường vuông góc với N’B
kẻ từ B, thì việc chứng minh M’
∈
Oy có thể được lặp lại y hệt như phần thuận.
Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần
đảo là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt được các khó khăn
trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay.
• Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy
điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M

Điểm tốt
Điểm
khá
Điểm
T. Bình
Điểm
yếu kém
Nhóm 1 Số HS 1 3 13 5
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
Nhóm 2 Số HS 1 3 13 5
TL% 4,54 13,63 59,09 22,72
4.2 Tiến trình dạy thực nghiệm và kết quả
- Sau khi khảo sát và chia lớp thành 2 nhóm tôi đã tiến hành dạy thực
nghiệm áp dụng phương pháp phân tích, dẫn giải học sinh đi giải các bài toán
quỹ tích dưới dạng chuyên đề ở nhóm 1 như sau:
- Tên bài tập: VD 3; VD5; VD7; VD8; VD10; VD11; VD12.
- Mục đích, yếu cầu: Sau khi giải xong các bài tập, HS nắm được yếu tố
cố định, yếu tố di động, yếu tố không đổi, biết dự đoán quỹ tích là hình
gì, biết dựng bài toán ở phần đảo, biết tìm giới hạn quỹ tích.
- Phương pháp: Phân tích, nêu vấn đề.
- Phương tiện: Máy chiếu, dùng phần mền vẽ hình GeoGebra chay trên
nền java, compa, thước, eke, thước đo góc, phấn màu).
18
Sau khi dạy thực nghiệm và dạy đối chứng ở hai nhóm. Để đánh giá kết quả, tôi
đã tiến hành:
- Lập phiếu điều tra cả hai nhóm. Kết quả như bảng 2.
- Ra bài tập kiểm tra học sinh cả hai nhóm. Kết quả như bảng 3.
Bảng 2
Nội dung điều tra
Kết quả nhóm 1 Kết quả nhóm 2

hơn so với nhóm đối chứng. Tỉ lệ học sinh biết dựng lại mệnh đề đảo cao hơn
nhóm đối chứng, yêu thích dạng toán quỹ tích hơn, kết quả các bài kiểm tra toán
cũng cao hơn so với nhóm đối chứng.
Phần III: kết luận chung
19
Sau khi tìm hiểu, nghiên cứu sâu về các bài toán quỹ tích, dạy dạng toán
quỹ tích ở trường THCS, tôi xin nêu ra những điểm cần lưu ý khi dạy dạng toán
quỹ tích như sau:
1. Lựa chọn phương pháp cho phù hợp với từng nhóm đối tượng học sinh,
lựa chọn từng đơn vị kiến thức phù hợp với trình độ học sinh.
2. Các bài toán đưa ra phải đi từ dễ đến khó, phải phân tích cho học sinh tất
cả các tình huống xảy ra của bài toán, hướng dẫn học sinh vẽ hình theo
yêu cầu bài toán, và dự đoán quỹ tích các điểm cần tìm để giải bài toán
nhanh chóng chính xác.
3. Cần làm cho học sinh hiểu, khi chứng minh phần đảo là đi đặt ra bài toán
dựng hình, và chứng minh bài toán đó.
4. Đưa ra các bài toán tương tự để học sinh vận dụng và rèn kỹ năng trình
bày, phân tích.
5. Nên sử dụng phương tiện dạy học hiện đại vào việc dạy dạng toán này sẽ
đạt hiệu quả cao hơn (vì khi minh hoạ các điểm di động học sinh sẽ nhìn
thấy ngay những yếu tố cố định, những yếu tố thay đổi, và quỹ tích các
điểm cần tìm một cách trực quan, sinh động).
Trên đây là những tìm hiểu, nghiên cứu của tôi về dạng toán quỹ tích,
hướng phân tích bài toán quỹ tích để tìm lời giải ngắn gọn, chính xác, nhanh
chóng. Tôi tin rằng với cách dạy này học sinh sẽ đạt kết quả tốt, và yêu thích
dạng toán quỹ tích. Mong rằng các giáo viên dạy toán bậc THCS có thể tham
khảo và đóng góp ý kiến để việc giảng dạy của tôi ngày càng đạt kết quả cao.
20