ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
ÔN THI THPT QUỐC GIA
1
HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM
SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Chương I
ĐẠO HÀM – VI PHÂN
I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN
NẮM
Nhóm
Đạo hàm của các hàm số hợp
(u = u(x))
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản
Đa
thức

α ' α 1 '
(u )α.u . u
−
=

'
1 u
'
( )
2
u
u

.cosu
(cosu)
’
= - u
’
.sinu
(tgu)
’
=
'
u
' 2
u .(1 tg u)
2
cos u
= +
(cotgu)
’
= -
'
u
2
sin u
(sinx)
’
= cosx
(cosx)
’
= - sinx
(tgx)

’
.a
u
.lna
(e
x
)
’
= e
x
(a
x
)
’
= a
x
.lna
2
Lôgarit
(ln|u|)
’
=
u
u
'
'
u
'
(log |u|)
a

I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo
hàm trong (a ; b) thì tồn tại điểm c
∈
(a ; b) sao cho: f
’
(c) =
f(b) f(a)
b a
−
−
II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Hàm số không đổi: f
’
(x) = 0 ⇔ f(x) = c
2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≥ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f
’
(x) ≤ 0 ∀ x
∈
(a ; b)
3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)
3
a) Nếu f
’

3) Lập bảng xét dấu của f
’
(x)
4) Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực
tiểu tại điểm đó
b) f
’
(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại
tại điểm đó
c) f
’
(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại
điểm đó
Qui tắc 2:
1) Tính f
’
(x), f
’’
(x)
2) Tìm các điểm x
i
tại đó f
’
(x) = 0 (nghiệm của phương
trình này)

, x
CT
) là số vô tỉ thì:
1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ
U(x)
f (x)
V(x)
=
thì
'
0
0
'
0
U (x )
f(x ) =
V (x )
2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3
f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
Ta chia f(x) cho f
’
(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n)
vậy ta có:
f(x) = f
’
(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x

5
+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x
0
thì f(x
0
) = Min y
+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x
0
thì f(x
0
) = Max y
+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm
thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết
luận thích hợp.
2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
đoạn [a ; b]
- Giải phương trình f
’
(x) = 0, tìm các nghiệm x
1
, x
2,

…, x
n
(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])
- Tính f(a),f(b), f(x
1
), f(x
2

[ ; ]
f x
a b
CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f
’
(x) = 0 vô nghiệm ⇒
f(x) đơn điệu trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh
f(a) và f(b): Số lớn là Max y và số nhỏ là Min
y.
• Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:
6

⊕
Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của
hàm số
(xem chuyên đề bất đẳng thức)

⊕
Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và
tìm điều kiện để phương trình có
nghiệm trong [a ; b]
V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG
CONG
1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm
cấp hai f
’’
(x) trên khoảng (a ; b) khi đó:
a) Nếu f
’’
(x) < 0 với mọi x

M
0
(x
0
; f(x
0
))
không phải là điểm uốn của đồ thị.
VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)
1. Tiệm cận đứng
7
• Nếu
lim f(x)
x x
o
= ∞
→
thì đường thẳng x = x
o
là tiệm cận
đứng của (C)
2. Tiệm cận ngang
• Nếu
lim f(x)
x
=
→∞
y
o
thì đường thẳng y = y

∞
→∞
thì ta tính a =
f(x)
lim
x
x
→∞
:
• Nếu a ≠ 0,
∞
thì ta tính b =
lim
x→∞
[f(x) – ax ].
Nếu b ≠
∞
thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.
VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát 1 hàm số:
B
1
: Tìm TXĐ
8
B
2
: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm
số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)
B
3

+ cx + d (a
≠
0)
• y = ax
4
+ bx
2
+ c (a
≠
0)
b) Hàm phân thức hữu tỉ
• y =
ax b
cx d
+
+
(c
≠
0, D = ad – bc
≠
0)
B. CÁC DẠNG TOÁN
9
CHỦ ĐIỂM 1
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1)
2
1y x x= + −

1) y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4 (ĐH KA –
2006)
2) y = -x
3
+ 3x
2
- 4 (ĐH KB –
2007)
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
trùng phương sau:
1) y = x
4
- 8x
2
+ 10 (ĐH KB –
2002)
2)
4
2
x
y 2(x 1)
2
= − −
(ĐH DB KA
– 2006)
10

Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)
♦ Hàm số dạng: y = |f(x)|
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox
- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.
Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y = |f(x)|
11
♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối
xứng qua Oy)
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)
- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C
0
)
- Lấy đối xứng phần (C
0
) qua trục Oy ta có (C
1
)
Hợp hai phần (C
0
)

và (C
1
) trên lại ta có đồ thị (C
’
) của y
= f(|x|)

+
3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng)
CHỦ ĐIỂM 2
12
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
A. Phương pháp:
Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp
tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương
trình là:
y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0

0
= f(x
0
)
2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm
M(x
1
,y
1
) và có hệ
số góc k: y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1

,y
0
) là:
y – f(x
0
) = f’(x
0
).(x – x
0
) (1)
• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x
1
,y
1
) nên x
1
và y
1
nghiệm
đúng (1):
y
1
– f(x
0
) = f’(x
0
).(x
1
– x
0

y
1
có n nghiệm
4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y =
2
ax + bx + c
' '
a x + b
(H)
Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):
• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:
+ M là trung điểm của AB
+ Tam giác AIB có diện tích không đổi
• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng
số
14
• IA.IB = const
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = x
4
– 2x
2
– 3. Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS:
8 3( 3)y x= ± m
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 1 (C), và điểm A(0,

Bài 6: Cho (C
m
): y =
(m 1)x m
x m
− +
−
15
Tìm m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành
độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa
độ.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x +
2
x 1−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của
(H)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì
M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích
không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một

y = 2 3
3 2
x mx
x− − +
trên khoảng
(1 ; + )∞
(HD: 1)m ≤ −
Bài 3: Cho hàm số y = x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ (12m + 5)x + 2
Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS :
6 6
6 6
m− ≤ ≤
Bài 4: Cho hàm số
3 2
x x
y mx
3 2
= + +
Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có
hoành độ lớn hơn m. (ĐS : m < -2)
Bài 5: Tìm m để hàm số
1 1
3 2
y = ( 1)
3 2
x x m x+ + +

Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số
3
2 2
y = (a 1) ( 1) 3 1
3
x
a x x− + + + +
đồng biến trên
¡
?
HD: 1 2a a< − ∨ ≥
17
Bài 9: Định m để hàm số
2
y =
1
x x m
x
− +
−
đạt cực tiểu tại x = 2.
(ĐS: m = 1)
Bài 10: Định m để hàm số
2
y =
1
x x m
x
+ +
+

y = 2x 3(2 1) 6 ( 1) 1. m x m m x− + + + +
Với giá
trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng
nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2
1
:
1 17
4
m
HD
m





= −
− ±
=
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số
2
8
y =
1
x mx m
x
+ − +
−
luôn có
cực trị với mọi m. Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

−
• = ⇔ + + − = ⇔ = −
¡
Bài 15: Tìm m để hàm số
3 2
y = 2x 3( 1) 6( 2) 1m x m x+ − + − +
có
hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3).
18
{ }
2 2
: D = , y = 6x 6( 1) 6( 2) 6[ ( 1) ( 2)] 0
1, 2
1 2
1 2 3
1 2
( 2;4)\ 3
, ( 2;3)
2 2 3 1 4
1 2
HD m x m x m x m
x x m
x x
m m
YCBT m
x x
m m

 


– 3x
2
- 9x + m
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
HD: a)
∀
m b) y = -8x + m - 3
Bài 3: Cho hàm số
2
x (m 1)x m 1
y
x m
+ + − +
=
−
a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.
b) Tìm m để y
CĐ
.y
CT
> 0 (ĐS:
3 2 3 m < 3 2 3m > − + ∨ − −
)
c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị
của đồ thị hàm số.
(ĐS : y=2x+m+1)
Bài 4: Cho hàm số
2
2x 3x m

ĐS:
1
) 3 b) y = [(2 6) 3 ] , 3 ) m = 2
3
a m m x m m c< − + − <
VẤN ĐỀ 3
TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban
NC)
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
2x 1
y
2
x x 1
+
=
+ +

có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-
1), C(
1
2
−
,0))
Bài 2: Cho hàm số y = x
3
– 3(m - 1)x
2
+ 3x – 5
a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số
b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x

(1). Tìm m để điểm
uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1.
VẤN ĐỀ 4
TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM
ĐỐI XỨNG
DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục -
Tâm đối xứng
A. Phương pháp:
+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) =
f(-x)
(Hàm số chẵn đối với x)
21
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối
xứng
+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) =
- f(x)
(Hàm số chẵn đối với y)
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho (C): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 3m + 1
Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.
ĐS: m < 0 hoặc m>1/3
Bài 2: Cho (C):
2 2 2
x 2m x m
y
x 1

): y = x
3
– 3x
2
- (m-
2)x + m + 1
đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.
DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM
Cho (C): y = f(x)
2) Chứng tỏ (C) nhận I(x
0
; y
0
) làm tâm đối xứng
(1)
22
1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng
(2)
A. Phương pháp:
- Đổi trục tọa độ
0
0
x X x
y Y y
= +


= +

, ta được phương trình mới

=
+
có tâm đối xứng là
giao điểm của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(-
2, 2))
Bài 3: Cho (C
m
):
3
2
x
y 3mx 2
m
= − + −
Tìm m để (C
m
) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng.
(ĐS: m = 1)
DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC
Cho (C): y = f(x).
1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x
0
làm trục đối xứng
(1
’
)
23
2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương
Oy (2
’

Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x
4
– 4x
3
+ 4x
2
nhận đường
thẳng x = 1 làm trục đối xứng.
Bài 2: Cho (C
m
):
4 3 2
y x 4x mx= + +
1) Với m = 4, Chứng tỏ (C
4
) có trục đối xứng
(ĐS: x = -1)
2) Tìm các giá trị của m để (C
m
) có trục đối xứng
// Oy
ĐS : m = 4, x = -1
Bài 3: Cho hàm số y = x
4
+ 4ax
3
– 2x
2
– 12ax (C
a

= g(x) (1)
• Nhận xét:
- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm
của (C) và (C
’
).
- Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm
chung của (C) và
(C’). Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hay y
0
=
g(x
0
).
• Biện luận:
♦ (1) có n nghiệm đơn ⇔ (C) và (C
’
) cắt nhau tại n điểm.
25
x
y
0
y
0