DETHITHU.NET | www.dethithu.net
www.DETHITHU.NET & Nguyn Vn Cng 1
S DNG K NNG NHN LIấN HP
GII PHNG TRèNH Vễ T
Nguyn Vn Cng GV THPT M c A - H Ni
Email :
Trong thi i hc khi B nm 2010 cú cõu gii phng trỡnh vụ t,cõu ny gõy nhiu khú
khn cho hc sinh khi lm bi thi. giỳp hc sinh nm vng cỏch lm dng phng trỡnh
trờn,bi vit ny tụi xin trỡnh by k nng bin i s dng biu thc liờn hp trong gii
phng trỡnh vụ t . Hy vng rng s giỳp ớch cho cỏc em lm tt cỏc dng bi trờn .
a b
a b
a b
-
=
m
(a,b>0, a
ạ
b);
3 3
3 3
2 2
3
a b
a b
a ab b

=
+
m
Vớ d 1 Gii phng trỡnh

Li gii: TX
1
6
3
x
- Ê Ê

(1)

2
3 5 5
( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x x x x x
x x
- -
+ - + - - + - - = + + - + =
+ + + -
5 0 5
1 1
(3 1) 0(*)
3 1 4 1 6
x x
x
x x
- = =

( 2 1 1) 3 2 0 ( 1)( 2) 0 1 2 0
2 1 1 2 1 1
1
2
2 0(*)
2 1 1
x
x x x x x x x
x x
x
x
x
-
ổ ử
- - + - + = + - - = - + - =
ỗ ữ
- + - +
ố ứ
=
ộ
ờ

ờ
+ - =
ờ
- +
ở
t t=
2 1 0
x

Cỏch 3: bin i tng ng
Vớ d 3 Gii phng trỡnh :
(
)
3 2 2 2 6
x x x
+ - = + +
(3) (HVKTQS 2000)
Phõn tớch :
Nhn thy x=3 l mt nghim ca nghim ca phng trỡnh .Ta s a (2) v dng
(x-3)f(x)=0 nh sau
Li gii: Vit li phng trỡnh (2):
2(x-3) +
8( 3)
( 6 3 2) 0 2( 3) 0
6 3 2
x
x x x
x x
-
+ - - = - - =
+ + -
3
3 0
3
8
11 3 5
2 0
6 3 2 4
6 3 2

2
2
1 2
1
x x x
x x
- +
=
+
(4)
Phõn tớch: Ta thy phng trỡnh cú nghim x=
1
2
,ta phõn tớch nh sau
Li gii:
k
0 1
x
< Ê
,(3)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 2 1 1 2 0

x
ộ
+ +
+ =
ờ
- + - +
ờ

ờ
=
ờ
ở
Nhn thy (*) vụ nghim vi
0 1
x
< Ê
.Vy
1
2
x
=
l nghim dy nht .
Vớ d 5:Gii phng trỡnh :
(
)
9 4 1 3 2 3
x x x
+ - - = +
(5) (HSG k12 H Ni -2010)
Li gii: k

x x
x x
=
ộ
ộ ự
ờ
- - - =
ờ ỳ
ờ
- - =
+ + + -
ở ỷ
ờ
+ + + -
ở
R thy phng trỡnh (*) vụ nghim.
Cỏch khỏc :
3
(5) 9 3 9 4 1 3 2
4 1 3 2
x
x x x
x x
+
ổ ử
= + = + + -
ỗ ữ
+ + -
ố ứ
Bỡnh phng hai v ta cng thu c x=6

12 4 5 3
2 2
2 3 0 2
12 4 5 3
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
- -
+ - = - + + - = - +
+ + + +
ổ ử
+ +
- - - = =
ỗ ữ
+ + + +
ố ứ
(D dng chng minh c :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
- - < " >

x x x x
x
x x
ộ ự
- + +
+
ờ ỳ
- - + - = - - - + =
ờ ỳ
- +
- + - +
ờ ỳ
ở ỷ
Ta chng minh :
( )
(
)
2
2
3 3
2 2 2
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
- + - + - + +

- + - +

3
1 1
2 1(*)
2 1 4 1
x
x
x x
=
ộ
ờ

ờ
- = +
ờ
- + - +
ở
Nhn xột
1
1
2 1
x
Ê
- +
;
1 1 1 1
2 1 2 2
4 1 2 1 2 1 4 1x x x
= - ị - Ê -

2 2
3 3
( 2 1 2) ( 2 1) 0
x x x x
+ - + + - + =
2 2
3
2 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 2 1
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x x x x x
- - - -
+
+ + + + + + + + + +
=0
DeThiThu.Net - Thi Th i Hc - THPT Quc Gia - Ti Liu ễn Thi.Cp nht hng ngy!
Tham gia ngay! Group: ễN THI H TON - ANH : Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
DETHITHU.NET | www.dethithu.net
www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường 4
2
32 2 2 2 4 2 2
3 3 3 3 3
2 1 0
1 1
0(*)
(2 1) (2 1)( 2) ( 2) 4 2 ( 1) ( 1)

Lời giải: Đk:
12
x
£
(10)
3
2
3
3
3 3
( 24 3) ( 12 3) 0 0
12 3
( 24) 3 ( 24) 9
x x
x x
x
x x
- -
Û + - + - - = Û + =
- +
+ + + +
2
3
3
3
12 ( 24) 3 ( 24) 6 0(*)
x
x x x
=
é

+ + + + - =
(11)
Lời giải: Đk x
1
³ -
. Nhận xét rằng x=0 không là nghiệm của phương trình ,nhân cả hai
vế của phương trình trên với
1 1 0
x
+ - ¹
ta có

(
)
(
)
1 2 5 1 1 1 2 5 1 1 2
x x x x x x x x x
+ + - = + - Û + + - = + - Û =
Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy vai trò và tầm quan trọng của việc sử dụng biểu thức liên hợp
.Bạn hãy giải theo hướng khác để thấy được tầm quan trọng của phương pháp này .
Ví dụ 12
Giải phương trình :
2 2
2 3 5 2 3 5 3
x x x x x
+ + + - + =
(12)
Lời giải: Từ vế trái của phương trình dương,suy ra phương trình có nghiệm khi x >0
Nhân cả hai vế của phương trình với

( 2 3 )( 2 3 )
2( 3)
2 3
x x x x
x
x x
- - - +
= -
- +

3 1
2( 3) ( 3) 2 0
2 3 2 3
x
x x
x x x x
-
é ù
Û = - Û - - =
ê ú
- + - +
ë û
,
1
2
2 3
x x
-
- +
>0

www.DeThiThu.Net
DETHITHU.NET | www.dethithu.net
www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường 5
( )( )
( )
( )
( )
6( 3) 6
3 6 3 ( 6) 0
3 10 1 3 10 1
x
x x x x
x x
é ù
+
ê ú
+ + = Û + + - =
ê ú
+ + + +
ë û
Û
( )
6
( 6)
3 10 1
x
x
+ -
+ +
=

3 3
3 4 4 2 4 4 2 4 4 4
12( 3)
( 3)(2 5) ( 3)(2 5)
4 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4
x x x
x
x x x x
x x x x
- - - + - +
-
- - = Û - - =
- + - + - + - +
x=3 hoặc
( )
3
2
12
2 5 0, 4 4
2 4
x t x
t t
- - = = -
+ +
.x>3 ,2x-5>1 ,
2
12
2 4
t t
+ +

x=3 hoặc 2 4 2 2
x x
+ + -
=
2
4
x
+
( )( ) ( )( )
4 2 2 2 2 4 0
x x x x
Û + - + - + =
( )
(
)
2 4 2(2 ) 4 2 0 2
x x x x x
Û - + + + - = Û =
Ví dụ 17 GPT: x-1+
2
1 2 2
x x x+ + - = + (1)
+) ĐK: x
Î
[-1;2]
2
(1) ( ) ( 2 2 ) (1 1) 0 ( 1) 0
2 2 1 1
0
1 1

x x
x x
PT x x
x x x x
x x
x x
x x
- -
+
+ - + - -
+ + + -
Û - + = Û - + =
+ - + + + - + +
+
+ + + -
Û - + = Û =
+ - + +
Ví dụ 18:Tìm a để bất phương tình sau có nghiệm
(
)
3
3 2
3 1 1
x x a x x
+ - = - -
(13)
Lời giải: Đk
1
x
³

3
1
x x
+ -
>0, đồng biến trên
[
)
1;
+¥
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay! Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH : Dacebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
www.DeThiThu.Net
DETHITHU.NET | www.dethithu.net
www.DETHITHU.NET & Nguyễn Văn Cường 6
suy ra hàm f(x) =
(
)
(
)
3
3 2
3 1 1
x x x x
+ - + -
đồng biến trên
[
)
1;