TUY
ỂN CHỌN

50 BÀI TOÁN
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

C
ẨM NANG CHO M
ÙA THI

(ÔN THI THPT QUỐC GIA)

T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
1

Bài 1: Giải bất phương trình
2 2
1 2 3 4 .
x x x x
+ − ≥ − −

− − ≥


- Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
1 2 (1 ) 2 3 4
x x x x x x
+ − + − ≥ − −
2 2
3( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0
x x x x x x
⇔ + − − + + − ≥
2 2 2
2
5 34
1
9
3 2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3
5 34
.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x

− +
≥

11
1
)2(
03)13()2(
223
)63(2
11
2
0)269)(2)(223(2)11(
2
2
2
≥






−−+
+−
+
+−
−⇔
≥−−−+
+−
−
+
+−
−

⇔
≥
−
⇔
xx Kết hợp điều kiện thu được .2
≥
x
Bài 3: Giải bất phương trình sau:
(
)
(
)
2 2
2
1 log log 2 log 6
x x x
+ + + > −
Hướng dẫn: ĐK:
0 6
x
< <
.
(
)
( )
2
2
2 2
log 2 4 log 6
x x x

x
x
x
xxxx
∈>
−++
−−++−

Hướng dẫn: Điều kiện



≠−++
≥
0422
1
23
xxx
x
- Nhận xét 1,014221422
23
≥∀>=−++≥−++ xxxx .
- Bất phương trình đã cho tương đương với
0217248114227119229
232323
>−+−+−−⇔−++>−−−+− xxxxxxxxxxx
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI

x
xxxx
x
x
- Rõ ràng 1,011)12(21)12(2
11
1
22
≥∀>=−−>−−+
+−
xx
x
nên (1) 202
>
⇔
>
−
⇔
xx
Bài 5: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
(
)
5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2
x x x

1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
Giao với điều kiện, ta được:
1
1
4
x
− < ≤
. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
1
1
4
x
− < ≤

Bài 6: Giải bất phương trình )(221452)1(
22
Rxxxxxxx ∈+++≥+−−
Hướng dẫn: Điều kiện: .Rx
∈
Khi đó :
0)5212(2)522)(1(







+−++
+−++−+++−++
+⇔
≤
+−++
−
++−++⇔
≤
+−++
−+
++−++⇔
≤
+−++
−+−+
++−++⇔
xxx
xxxxxxxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx

2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1
5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1
x 5 x
5
x
x 2
4
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−
+ +

>

⇔ ⇔ >


− + >

2
+ 2x − 4) ≥ 0 ⇔
1 5 0
1 5
x
x

− − ≤ ≤

≥ − +


- (*) ⇔
2 2
4 ( 2 4) 5 4
x x x x x
+ − > + −
⇔
2 2
4 ( 2 4) ( 2 4) 3
x x x x x x
+ − > + − +
(**)
TH 1:
1 5
x ≥ − + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒
2 2
2 4 2 4
4 3
x x x x

x x
x
x x

− − <
+ −

< < ⇔

+ − >


⇔
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< <
TH 2:
1 5 0
x
− − ≤ ≤
,
2
5 4 0
x x
+ − <
, (**) luôn thỏa mãn
Vậy tập nghiệm BPT (*) là
1 17 7 65

Bài 10: Giải
bất phương trình
2 2 2
3
( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7
x x x x x x x
+ − + − ≤ + + − − + +

Hướng dẫn: Điều kiện xác định:
5
2
x
≥ −
. Khi đó ta có
3
3 2 2 2
(1) 3 14 15 2( 2) 2 5 3( 2) 5 5 7 0
x x x x x x x x
⇔ + + + − + + − + + − + ≤

3
3 2 2 2
3 18 2( 2)( 2 5 3) 3( 2)( 5 3) 3 5 7 0
x x x x x x x x
⇔ + − − − + + − − + + − + − + ≤

(
)
2 2
2

2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x
x x x
x
x
x x
 
 
+ + +
⇔ − + + − − − ≤
 
 
+ +
+ +
+ + + +
 
 

T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA


+ +
≤ + < +

+ +
+ +

≥ − ⇒

+ +
<


+ + + +

(
)
2
2
2
2
3 3
2 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
5 9
2 5 3
5 3
9 3 5 7 5 7
x x x
x x

2
x
− ≤ ≤
Bài 11: Giải bất phương trình )(76)1(2
152
)2(2
2
Rxxx
x
x
∈++≥++
++
+

Hướng dẫn: Điều kiện:
2
5
−≥x
Bất
phương trình đã cho tương đương với
)1(0)3(2
652
1
)1(0)3)(1(2
652
1
0)32(265276242152
22
≥


≥
−
⇔
xx
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
1
≥
x
Bài 12: Giải bất phương trình
2 8
2 1 2
x x
x x
− + − ≥
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
2
2
1 0
0
2 0
8 2
2
2 0
2 0
x
x
x
x
x
x

-
Với
2 0
x
− ≤ < ⇒
bất phương trình đã cho luôn đúng
- Với
2
x
≥ ⇒
bất phương trình đã cho 2 2 2( 2)( 2)
x x x x x
⇔ − + − + ≥
2 2 3
4( 2) 2( 4) 4 ( 2) ( 2)
x x x x x
⇔ − + − + − + ≥

3 2 3 2
2 4 16 4 2( 2 4 8) 0
x x x x x x
⇔ − − + − − − + ≤
3 2 3 2
2( 2 4 8) 8 2( 2 4 8) 16 0
⇔ − − + − − − + + ≤
x x x x x x

T
UY
ỂN CHỌN 50 B


= −

(do
2
x
≥
)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
[
)
{
}
2;0 1 5
− ∪ +
Bài 13: Giải bất phương trình sau :
2
2 1
2
log ( 1) log ( 1)
x x
− ≥ −
.
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT

2 2
2 1 2 2
2
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0
x x x x


 
.
Bài 14: Giải
bất phương trình
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2
x x
− + − ≤

Hướng dẫn: ĐK:
1
x
>
. BPT
1
2
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2
x x
⇔ − + − ≤

3 3 3
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 1)(2 1) 1
x x x x
⇔ − + − ≤ ⇔ − − ≤

⇔

)12(
)1(
3
2222
22
2
2
−
≤
+
≥⇔≥−−⇔++≥−⇔+≥−⇔
−−−≥−⇔−−≥−⇔
+−
−
≥−
xxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
2
313 +
≥x
Bài 16: Giải bất phương trình 29122)5124(4
2223
+−≤−+−− xxxxxxx
Hướng dẫn: +) Điều kiện:



02)5124(29124
22
23
2223
≤−⇔≤−−−+−−⇔
≤−−−−+−−⇔
≤−+−−−+−
xfxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
+
) V
ới xxxxxxf 2)52(252)(
22
−−−+−= .Đặt xxttxxt 2)0(;2
222
−=⇒≥−=
- Khi đó 2)52(22)52()2(22)52(252
2222
+−−−=+−−−−=−−−+− xtxtxtxxxxxxxx
- Ta có
2222
)32(912416825204)2(8)52( −=+−=−++−=−−−=∆ xxxxxxxx
Do vậy phương trình




−=
−=

442
2
22
22
2
=⇔



+−=−
≥
⇔−=− x
xxxx
x
xxx (thỏa mãn)
+) TH3 ⇒



+−<−
>
⇔





−<−
>−
442

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x 0
≤
Bài 17: Giải bất phương trình:
(
)
(
)
(
)
5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2
x x x
+ − − ≤ + +

Hướng dẫn: + Điều kiện:
1 7
4 2
x
− < <
+
BPT
(
)
(
)
(
)
5 5 5
log 4 1 log 3 2 1 log 7 2

ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
7

Giao với điều kiện, ta được:
1
1
4
x
− < ≤
. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
1
1
4
x
− < ≤

Bài 18: Giải bất phương trình:
2 2
(4 7) 2 10 4 8
x x x x x
− − + > + −
Hướng dẫn: ĐK: x
≥
-2

+ < − −


hoặc
2 2 1
2 2 1
x x
x x

+ > − −


+ < −


G
i
ải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T =
[
)
5 41
2; 1 ;
8
 
+
− − ∪ +∞
 
 
 


(2) 2 4 1
x x
⇔ ≥ + −
2
2 4 0
2 4 1 (2 4) 1
1 0
x
x x x x
x
− ≥


⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −


− ≥


2
2
2
17 17
17 17 17 17
8
4x 17 x 17 0
;
8 8
x
x

2 2
2
2 2
2
2 3
1 2 5 3
, 0
1 2
x a b
x a
x b x x ab
a b
a b




+ = −
+ =








+ = ⇒ + + =
 
 

ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
8

TH1:
1
1
1 1
2 3 2 1 0 3
2 2
2 3 1 1 0
1 3
x
x
x x x x
x x
x


≥ −



≥ −


x x x x
x x
x x


≥ −



≥ −






 
+ − + ≥ ⇔ ≤ − ⇔ = −
 
 
 
 
+ − + − ≥
≤ − ≥
 






≥+−
≥−−
x
x
xx
xx
- Nhận xét 0
53252
47142
53252
2
2
2
>
−++−
+−
=−−+−
xxx
xx
xxx
- B
ất phương trình đã cho tương đương với
02.51123)2(5)5112(2
02.)5)(12(320274
)5)(2)(12(645925235010
22
2
22
≥−+−+−−+−⇔
≥−−−++−⇔


+∞+= ;
2
22
3S
Bài 22: Giải bất phương trình xxxxx 215123
232
−+−≤+−
Hướng dẫn: Điều kiện
2
0)2(
1
05123
2
≥⇔





≥−
≥
≥+−
x
xx
x
xx

Bất phương trình đã cho tương đương với
)1()1)(1(2125123

2
23
2
≥
++
+−
+
++
+−
−⇔
xxx
xx
xxx
xx

Đặt )0(
23
23
2
≥=
++
+−
tt
xxx
xx
thì (1)
)2(024231
3
1
0231

+
x x
x
x
. (1)
- Lại có
3 2
1
1 1
+
= + +
+ +
x
x
x x
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số
2
1,
1
+
+
x
x
ta được:
2
1 2 2, 1
1
+ + ≥ ∀ > −
+
x x

1 2 2 3 1
1
1 2 1
x x x
x x
+ − + +
>
− − +

Hướng dẫn: Điều kiện:
2
2
0
3 1 0 0
1 2 1 0
x
x x x
x x

≥

+ + ≥ ⇔ ≥


− − + ≠

- Ta có
2
2
1 3

0
x
>
.
- Ta có
13
1 1 3 2 1 3
4
t t t t
+ − < + ⇔ − < ⇔ <
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
10

- Suy ra
13 1 13
2 2
4 4
t x
x



+ <


Bài 25: Giải bất phương trình: 10121123
22
−+<−++ xxxxx
Hướng dẫn: Điều kiện: 1
≥
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
)2(22.3
4)2)((3822)2)((6
101211)2)(1(6)2(9
22
2222
22
++−<+−⇔
++<+−⇔++<+−⇔
−+<−−+−++
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
Đặt )0,(
2
2
≥








−
<
+
>
⇔





>−−
>−−
⇔





+>−
+>−
⇔



>

<−−
<−−
⇔





+<−
+<−
⇔



<
<
xx
xx
xx
xxx
xxx
ba
ba
(do 1
≥
x )
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
[
)
31;1;

)
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x
+
+ ≥ − −
(
)
(
)
( ) ( )
1
1 1 1
2 2 2
2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
log 4 4 log 2 3.2
x x x
x x x
+
+
⇔ + ≥ − +
⇔ + ≥ −
( )
2 1
4 4 2 3.2

ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
11

Bài 27: Giải bất phương trình
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4
x
được bpt
2
7 7
2 3 1 0
2 2
x x
   
⇔ + − ≥
   
   
Đặt
7
2
x

7
2
log 3
x⇔ ≥ − . KL: BPT có tập nghiệm







∞+−= ;3log
2
7
S

Bài 28: Giải bất phương trình )(4307545124
23
Rxxxxxx ∈<+−+−
Hướng dẫn: Điều kiện
2
1
≥x . Bất phương trình đã cho tương đương với
[ ]
)1(01)13(5
112
4
)1(
01)13(5)1(
112

xxxxx
xxxxxx
-
Nh
ận xét
2
1
,01)1
2
1
.3(51)13(5
112
4
22
≥∀>−−>−−+
+−
xx
x
x
nên (1) 101
<
⇔
<
−
⇔
xx
- Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =




.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là
2
> −
x
.
Bài 30: Giải bất phương trình:
3 2 3 2
2 4 5 3 4
x x x x x x x
− − > − + − − +
.
Hướng dẫn:
Cách 1: BPT
( ) ( )
2 2
2 2 1 2 ( 1)
x x x x x x
 
⇔ − − > − + − − +
 

(
)
0
x
≥
.
( )
2


*
2 :
x
>
(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
 
⇔ − + + > + − +
 
 
-
Chia 2 v
ế cho
.( 2) 0
x x
− >
ta được:
( )
2
1 1 1 1
(1) 1 1
2
2
x x
x

2
2 5 4 0 4; 1
x x x x x x
⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > <
.
- Kết hợp
2 4
x x
> ⇒ >
.
*
0 2 :
x
< <
(
)
( )
2
(1) ( 2) 1 1 1 2 1
x x x x
 
⇔ − − + > + − +
 
 
.
- Chia 2 vế cho
.( 2) 0
x x
− <
ta được:

đồng
bi
ến
t
∀
. Từ đó
1 1
(1)
2
x
x
⇔ <
−
. Trường hợp này vô nghiệm vì
1
0
2
x
<
−
.
Đáp số:
4
x
>
.
Cách 2: ĐK
0
x
≥

x
x x x x x
 
+ −
⇔ = − + >
 
+
− + + − +
 
.
+ Xét
3 2 3 2
1 1
( )
2
4 5 3 4
x x
g x
x
x x x x x
+ −
= +
+
− + + − +
Nếu
1
x
≥
thì
( ) 0

⇒ − + + − + > −

3 2 3 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 5 3 4
x x x x
x x x x
x x x x x
− − − −
⇒ < = < =
− − + −
− + + − +

3 2 3 2
1 1
(2)
2
4 5 3 4
x
x x x x x
−
⇒ > −
− + + − +
.
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH

Hướng dẫn: Điều kiện: 3
0)3)(3(
2
01
092
08
2
23
3
≥⇔



≥++−
≥
⇔





≥+
≥−−
≥−
x
xxx
x
x
xx
x

x
x
x
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 32: Giải bất phương trình :
2
1
2
2
log log (2 ) 0 ( )
x x R
 
− > ∈
 
.
Hướng dẫn:
- Điều kiện:
2 2
2
log (2 ) 0 2 1 1 1
x x x
− > ⇔ − > ⇔ − < <

- Khi đó ⇔
2
2

5 4 1 ( 2 4)
x x x x x+ < + + − (x
∈
R).
Hướng dẫn: ĐK: x(x
2
+ 2x − 4) ≥ 0 ⇔
1 5 0
1 5
x
x

− − ≤ ≤

≥ − +


⇔
2 2
4 ( 2 4) 5 4
x x x x x
+ − > + −
⇔
2 2
4 ( 2 4) ( 2 4) 3
x x x x x x
+ − > + − +
(**)
+ TH 1:
1 5

2
2
7 4 0
2 4
1 3
4 0
x x
x x
x
x x

− − <
+ −

< < ⇔

+ − >


⇔
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< <
+ TH 2:
1 5 0
x
− − ≤ ≤
,

 

Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
 
∈ +
 
x
0;1 3
:
(
)
2
2 2 1 2 0
m x x x( x )
− + + + − ≤
Hướng dẫn: Đặt
2
t x 2x 2
= − +
∈ +
dox [0;1 3]
nên
[
]
1;2
t
∈
- Bất phương trình trở thành:
−
≤

2 2
0
1
t t
g'(t)
(t )
. Vậy
t
g(t)
t
−
=
+
2
2
1
đồng biến trên
[
]
1 2
;

⇒
2
( ) (2)
3
Maxg t g
= =
- Từ đó:
2

+ Bất phương trình đã cho tương đương với
)1(0)2
3117
1
265
1
)(2(
0
3117
2
265
2
)2(2
0)3(117)2(65422
2
22
2
2
>−
+++
+
+++
−−⇔
<
+++
++−
+
+++
++−
+−−⇔

+−
+
−
<
+++
+
+++
x
xxxx
+ Do đó (1) 210)2)(1(02
2
<<−⇔<−+⇔<−−⇔ xxxxx . Kết luận nghiệm -1<x<2
Bài 36: Giải bất phương trình )(63)1(22
2232
Rxxxxxxxx ∈++≥+++++
Hướng dẫn: Điều kiện 2
−
≥
x
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
063)1(2222
2232
≥++−++++−++ xxxxxxx
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR




+++
+
+
+++
+−⇔
≥
+++
−++
+
+++
−+
⇔
+−+++−++⇔
xx
x
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xxxxx
T
a có
1012,0
632
1

1 1
( 2 4)[ ] 0
2 5 4 1 3 2 5 6
2
⇔ + − + + − − − >
⇔ − + + >
+ + + − + −
⇔ <
x x x x
x
x x x x
x

Bài 38: Giải bất phương trình
2
2
3 1
1
1
1
x
x
x
− <
−
−
.
Hướng dẫn: Điều kiện
1
x

t t
t
<

− + > ⇔

>

+ Với t < 1 thì
2
2
1 1 (2)
1
x
x x
x
< ⇔ < −
−
*
1 0:
x
− < ≤
bất phương trình (2) đúng
*
0 1:
x
< <
bất phương trình
2 2
2

5
4(1 )
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >

> −

Tập nghiệm của bất phương trình (3) là
2
2 5
;1
5
S
 
=
 
 
 
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-

2
<−−+−+⇔
++−+>−++⇔
++−>−++⇔
+−++>−++
xxxx
xxxxxxx
xxxxx
xxxxxxx
+
Ta có
3
1
,0113 −≥∀>+++ xxx nên
(1) )2(0)1()213(0
113
)1()213(
>−−+⇔>
+++
−−+
⇔ xxxx
xx
xxxx
Xét hai trường hợp xảy ra
+) Với



<
>


<−−
≥
<
⇔>+⇔ x
x
x
xx
x
x
xx

+) V
ới 100)1(
<
<
⇔
<
−
xxx thì (2)
φ
∈⇔



>−−
<<
⇔<+⇔ x
xx
x

3
3
5
3343
7
33
3
5
01029346
7
33
3
5
)733()152912(4
7
33
3
5
733152912225152912287
534532.5)3453(2
)392)(392(5)3453(2
222
22
<≤⇔




<∪>
<≤

Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là 3
3
5
<≤ x
Bài 41: Giải bất phương trình :
( )
2 2
x 1 x 5 x x 1
− + + > +

Hướng dẫn:
x 1
+ ≤
: loại
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
17

( )
2

Vậy : x > 2
Bài 42: Giải bất phương trình :
(
)
2 3
. 2 1 2 1
x x x x x
− + ≤ − −

Hướng dẫn: ĐK:
1
x
2
≥ −
(
)
(
)
( )
)
2
2
2 1 2 1 0
2 1 0 2 1 0
1 2;
⇔ + − + + ≤
⇔ + − ≤ + + ≥

⇔ ∈ + +∞


2
20 4 2 4
x x x x
+ + + ≤ +

Hướng dẫn: Điều kiện: x

0 (*)
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
+ x > 0 chia 2 vế BPT cho
x
ta được:
4 2
x 20 1 2 x
x
x
 
+ + + ≤ +
 
 
- Đặt
2
2 4
t x x t 4
x
x
= + ⇒ + = −

Bất phương trình thành:
2

0; [ ; ]
S 1 4
= ∪ +∞

Bài 45: Giải bất phương trình:
2
300 40 2 10 1 3 10
0
1 1 2
x x x x
x x
− − − − − −
≤
+ + − −

T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU
ỐC GIA

Trang
18

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là:

a b




+ = −
+ =








+ = ⇒ + + =
 
 
 
≥
 
= −
 
 


.
Bất phương trình trở thành:
2 2 2 2
( )( 2 ) 2



≥ −






 
+ − + ≤ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤
 
 
 
 
+ − + − ≤
− ≤ ≤
 





Hướng dẫn: Điều kiện:
1 3
10 10
x≤ ≤
-
Ta có:
1 3

 
⇔ − − − − ≤
 
− + − +
 
(*)
2 2
1 1
( ) 30 2
10 1 1 3 10 1
5 5 1 3
'( ) 30 0, ( ; )
10 10
10 1( 10 1 1) 3 10 ( 3 10 1)
f x x
x x
f x x
x x x x
= − − −
− + − +
= − − − < ∀ ∈
− − + − − +
- Mặt khác
( )
f x
liên tục trên
1 3
[ ; ]
10 10
nên

Trang
19

TH2:
1
1
1
2 3 2 1 0 1
2
2 3 1 1 0
1; 3
x
x
x x x x
x x
x x


≥ −



≥ −






 

Hướng dẫn:
Điều kiện:
2
2
0
0 1
3 41
1 0 0 .
3 41 3 41
8
2 3 4 0
8 8
x
x
x x
x
x x
≥

≤ ≤

− +


− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 
− − − +
≤ ≤
 
− − ≥

≥

+ + +

⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − − 
− −
≤


Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
5 34 3 41
.
9 8
x
− + − +
≤ ≤
Bài 48: Giải bất phương trình
(
)
(
)
2 3 2
5 5 10 7 2 6 2 13 6 32
x x x x x x x x
− + + + + + ≥ + − +
.
Hướng dẫn:
Điều kiện
2

⇔ − + − − ≥
 
+ + + +
 
(*)
+ Do
1 1
2 2 2 2
2
2 2
x x
x
≥ − ⇒ + + ≥ ⇒ ≤
+ +
và vì
2 6 0
x
+ >
2 6 2 6
3
2
2 2
x x
x
x
+ +
⇒ ≤ = +
+ +
(1)
+ Do

2
2
5 5 10 2 6
5 0
7 3 2 2
x x x
x
x x
− + +
⇒ + − − <
+ + + +
. Do đó (*)
2 0 2
x x
⇔ − ≤ ⇔ ≤

Kết hợp điều kiện
2 2 2
x x
≥ − ⇒ − ≤ ≤
.
T
UY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN GI
ẢI BẤT PH
ƯƠNG TR
ÌNH
-
ÔN THI THPT QU

)
(
)
x 1 x 2
3 3
log 2 8 log 24 2
+ +
⇔ − ≤ −
x 1 x x
x 1 x 2 x x x
2 8 0 2 4 2 4
2 8 24 2 2.2 8 24 4.2 6.2 32
+
+ +
  
− > > >
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− ≤ − − ≤ − ≤
  
  
x
2
16 16
4 2 2 x log
3 3
 
⇔ < ≤ ⇔ < ≤
 

− −
+ −
⇔ + + − + ≥
 
+ + + −
 
 
⇔ − + + + ≥
 
+ + + −
 
D
o
3 4
3 x 3 2x 9 1
2
3 2x 1
− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ⇒ ≥
− +
và
2x 5 1
+ ≥ −
nên
2 4 3
2x 5 0, x 3;
2
x 3 2 1 3 2x
 
+ + + > ∀ ∈ −
 