TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC
CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU HOÁ
Đề tài 05:
"BÀI TOÁN: TRẠNG THÁI TỚI HẠN CỦA LÒ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN
VÀ MÔ HÌNH PHI TUYẾN HAI BIẾN "

Mã lớp: 10BKTĐHTĐ-2010
Giáo viên hướng dẫn: PGS Nguyễn Đức Nghĩa

HÀ NỘI – 2011
1


Trạng thái tới hạn của lò phản ứng hạt nhân và mô hình phi tuyến hai biến
(Critical States of Nuclear Power Plant Reactors and Bilinear Modeling)
Tóm tắt: Phần này giới thiệu phương pháp luận mới cho mô hình phi tuyến
trong ùo phản ứng của nhà máy điện hạt nhân. Phương pháp luận này áp dụng
các cách tiếp cận khác nhau từ các phép toán khác nhau. Vấn đề mô hình hóa
các trạng thái tới hạn được đưa ra ngắn gọn hơn. Giản đồ đưa ra xác định các
thông số ổn định và kiểm soát hiệu quả nhà máy điện hạt nhân, được mô tả bằng
các phương trình vi phân phi tuyến. Các sự kiện bất thường được nhận dạng
thông qua tiếp cận lý thuyết hệ thống. Việc chuyển tiếp tới trạng thái tới hạn có
thể được xác định bằng phương pháp phân tích hai biến bởi các đặc tính quan
sát được và bằng tối ưu hóa phương pháp cảm biến. Các điều kiện tiềm ẩn và
các thông số tới hạn trong lò phản ứng được tính toán thông qua mô hình hai biến.
7.1. Giới thiệu
Việc sử dụng nhà mát điện hạt nhân được tranh luận gay gắt trong xã hội chúng
ta. Tuy nhiên, điện hạt nhân là một nguồn năng lượng bền vững. Nó hầu như
không phát thải khí gây hiệu ứng nhà kính và theo báo cáo thường niên năm

vấn đề mô hình hóa và tối ưu hóa. Các mô hình toán học bao gồm các phương
trình vi phân phi tuyến cho kỹ thuật thiết kế là một vấn đề phức tạp. Các mô
hình chính xác được biết đến thông qua quá trình vật lý mà có thể được mô
phỏng chính xác. Tuy nhiên, các phương trình chuyển động bao gồm phương
trình vi phân gốc và từng phần được kết hợp bằng các điều kiện biên của chúng,
mô hình mà chỉ ra những hạn chế cho các nhà thiết kế điều khiển. Vì thế vấn đề
này được xem xét trong việc phát triển các mô hình bậc thấp xác định, một khi
thiết kế đã được xây dựng mà sử dụng như mô hình bậc thấp thì nó có thể được
kiểm tra bằng việc so sánh với mô phỏng bậc cao đầy đủ.
Ví dụ lò phản ứng hạt nhân là một điển hình. Các kênh dẫn của lò phản ứng hạt
nhân, các nồi hơi và các quy trình hóa học khác thường gặp phải các vấn đề về
hệ thống thủy - nhiệt. Sự chuyển động của hệ thống kênh dẫn được miêu tả bằng
việc kết hợp giữa thanh nhiên liệu và dòng chảy làm mát trong lò phản ứng có
thể được miêu tả bằng các phương trình vi phân tuyến tính hoặc vi phân hai
biến. Điều này phụ thuộc vào việc lựa chọn các biến điều khiển. Công cụ được
lựa chọn để miêu tả hệ thống kiểm soát quá trình là để thay thế các van thường
được sử dụng như các công cụ đơn giản cho các ống thu hồi nhiệt của nhà máy.
Các van này thường cung cấp công cụ đơn giản cho việc mô phỏng các tín hiệu
đầu vào, tạo thành dạng tín hiệu dãy cực đại hoặc dãy nhị phân.
Mô hình hai biến có thể gần đúng với dải rộng của hệ thống phi tuyến. Chúng
được sử dụng để mô phỏng tiến trình phi tuyến trong xử lý tín hiệu và hình ảnh,
và mô hình hóa hệ thống thông tin. Trong thực tế, chúng có trong các lĩnh vực
như điều chỉnh kênh, loại bỏ tiếng dội, dò phi tuyến, khuyếch đại dò tạp âm và
rất nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, kinh tế xã hội và sinh học. Mô hình hai biến
miêu tả cấu trúc dựa trên mô hình toán học thông qua mô hình Volterra cho một
hệ thống phi tuyến. Hơn nữa, một mô hình hai biến có thể miêu tả một cách rõ
ràng đặc tính động của hệ thống phi tuyến chính xác hơn mô hình tuyến tính. Vì
vậy, mô hình hóa và điều khiển hệ thống phi tuyến trong khuôn khổ hai biến là
các vấn đề cơ bản trong kỹ thuật.
Chương này miêu tả phương pháp luận mới cho việc phân tích và mô hình hóa

và xã hội cũng như các quy trình sản xuất mà không thể mô phỏng dưới dạng
giả định tuyến tính được.
Chúng ta nhấn mạnh đến vai trò của ba môn học mà làm thay đổi cách nhìn của
chúng ta về lý thuyết hệ thống hai biến. Môn đầu tiên là môn hình học vi sai
hiện đại. Môn học thứ hai là lý thuyết điều khiển hệ thống động hiện đại. Môn
học thứ ba là lý thuyết tối ưu. Các môn học này có thể được mô tả như các mô
hình không gian trạng thái hoặc hệ thống vào - ra.
Phổ rộng của các vấn đề nêu trên có thể được mô tả lại bằng sơ đồ lý thuyết
như sau:

4


1. Cấu trúc của một tham số trạng thái có thể ảnh hưởng từ trạng thái đưa ra
ban đầu;
2. Việc xác định tham số điều khiển hướng đến hệ thống từ trạng thái đưa ra
ban đầu đến một trạng thái ảnh hưởng được miêu tả lớn nhất hoặc khả dĩ nhất;
3. Phân tích ổn định cho hệ thống hai biến phù hợp;
4. Việc xác định hệ thống kiểm soát tối ưu với tiêu chí đã được đưa ra ví dụ như
thời gian đáp ứng hoặc hạn chế đóng cắt;
5. Điều khiển và tối ưu hóa hệ thống phi tuyến;
6. Cấu trúc hệ thống phản hồi tạo ra khả năng điều khiển bằng độ chính xác của
dữ liệu.
Thách thức toàn cầu trong việc phối hợp chuyển đổi hệ thống được sử dụng để
tìm ra hệ thống phi tuyến bậc thấp. Việc phân tích cấu trúc hệ thống được đưa ra
dựa trên phương pháp đại số và hình học. Ví dụ điển hình của một hệ thống phi
tuyến làm biến đổi thành hệ thống hai biến và hệ thống động được biết từ các đặc
tính vật lý. Nó cũng chỉ ra độ tin cậy của hệ thống phi tuyến có thể được xấp xỉ
hóa cục bộ bằng độ tin cậy hai biến với một lỗi gia tăng theo hàm thời gian (t).
Việc chuyển đổi một cấp của hệ thống phi tuyến sẽ thu được các điều kiện cần


h

∑ u ( t ) b ( y) ,
i

i

i =1

z( t ) = f ( y( t )),

y ( 0) = y 0 ,

u ( t ) ∈ Ω,

y∈Y

(7.1)

Trong đó:
y = (y1,…,yn) là véctơ trạng thái.
z = (z1,…, zn) là véctơ của đầu ra cảm biến.
b0(y),…. bn(y) là các trường véctơ phân tích.
f là hàm số khả vi trên R1
Y là đa tạp chặt, và

u ( t ) ∈Ω = { u : u i ≤ 1, i = 1,..., h}

Bằng cách sử dụng phối hợp các biến đổi ta muốn xây dựng một hệ thống lôgic

i =1


W ( t ) = CX ( t ), X(0) = I,
u(t) ∈ Ω
•

6

(7.3)


Trong đó: X(t) là một ma trận của các ma trận nghịch đảo cấp m×m, suy ra từ
Gl(m,R). Mỗi cột của phương trình này là một hệ thống ở trong dạng công
thức 7.1.
Đại số Lie của nhóm Gl(m,R) là hữu hạn chiều trên trường số thực R. Có một
nhóm con Lie khép kín G của Gl(m,R) tương đương với đại số con g của đại số
học gl(m,R). Đại số học này được xác định bởi ngoặc Lie và các ma trận {A 0,
……., Ah} được đặc trưng bởi kết quả của phương trình:
•
 h

X ( t ) =  ∑ u i ( t )A i X( t ),
 i=1

(X(0) = I,
u i ≤ 1,

i = 0,................., h )


tuyến tính l j = lj o ϕ j thỏa mãn điều kiện:

l 'j = ( [ A i1 j ...[ A i υ−1 j , A i υj ]...]) = ( [ b i1 j ...[ b i υ−1 j , b i υ j ]...] )( y 0j )
Với mọi υi, 0 ≤ i1,…iυ ≤ h. Theo định lý Krener, ở đó tồn tại một lân cận M của I
và các ánh xạ λ j : M j  Yj' , nó lưu trữ các kết quả.

7


Theo định lý Brockett, ta có thể tìm thấy các hệ quả. Nếu 7.1 thỏa mãn các điều
kiện trạng thái như trên và ánh xạ là một đa thức, khi đó ở đó tồn tại một logic
động lực thực hiện 7.2 của u ( t )  w ( t ) và một hằng số T ≥ 0, sao cho với mọi
đầu vào u(t), các đầu ra tương ứng thỏa mãn w(t) = z(t) với t ∈ [ 0, T ] .
Chú ý 7.1 Chiều của không gian trạng thái của hệ thống động lực logic là chiều
lớn nhất của không gian Ơclit, tương ứng với đa tạp con Mj nào đó.
Ta định nghĩa một biến số logic L j đối với mỗi đa tạp con đầy đủ Yj' của không
gian trạng thái chặt Y bởi:
0, y ∈ Yj' , j = 1,....r,
Lj = 
(7.4)
1, y ∉ Yj' , còn lai

Ta giả sử hàm logic Lj có thể được thực hiện bởi một thiết bị tự động giới hạn.
Với mỗi giá trị z i ∈ Z, i = 1,....., r ta có thể tìm thấy một đa tạp con Yt bởi ánh xạ
γ t : T × Y  Z. Ánh xạ này thỏa mãn điều kiện γ t (Yj' ) = z j ,
Yi' ∩ Yj' = φ, i ≠ j.
Nếu hệ thống 7.1 thỏa mãn giả thuyết trên, khi đó tồn tại một hệ logic động lực
7.2, sao cho với mọi đầu vào u(t), đầu ra tương ứng thỏa mãn z(t) = w(t),
t ∈ [ 0, T ] .
7.4. Mô hình trạng thái tới hạn riêng

thuật toán cho việc tính toán của thông số mô hình chung được sắp xếp để chúng
cho phép lọc các thông số của mô hình chung ban đầu với sự quan tâm tới sự tồn
tại của các hệ thống con mới và tại cùng thời điểm để quyết định các thông số
của mô hình chung của hệ thống con được kết nối như là một hàm của các thông
số đa dạng ban đầu của toàn bộ hệ thống.
Các phương pháp cho việc tính toán của thông số mô hình riêng lẻ dựa trên sự
phân hủy Campbell-Hausdorff khá nổi tiếng.
Đặt A = A0 + B, trong đó A0 là ma trận bất biến chính của đối tượng, B là ma
trận của hằng số tương tác hay là dựa vào các thông số theo phép phân tích. Ta
áp dụng ma trận A, sự đồng biến đổi e S được thể hiện bằng tham số bằng cách
của một ma trận theo đường số mũ và thu được
A = e − S Ae S = e − S (A 0 + B)e S = A 0 + X
^

Các ma trận S và X được quyết định từ ma trận B đã biết. Để chứa thành phần
của khai triển, ta khai triển ma trận A trong chuỗi Cambell-Hausdorff:
1
1
^
A = A 0 + X = e S Ae S = A + [A, S] + [[AS]S] + [[[AS]S]S] + ...,
2!
3!
Trong đó [A,S] = AS – SA là ngoặc Lie. Ta thay thế những sự khai triển của các
ma trận S và X thành những khai triển trên và thu được một hệ thống các mối
liên hệ không giới hạn bởi việc so sánh giới hạn với các chỉ số so sánh ngang
bằng của tính thuần nhất:

[ A 0 S1 + B1 ] = X1 ,

B1 ≡ B,

ảnh hưởng của nó trong ma trận biến đổi A. Nhìn chung, quá trình này xoay ra
trở thành không giới hạn. Nếu ta vạch giới hạn nó trong N bước, khi đó các giới
hạn của bậc N + 1 và cao hơn với lưu ý tới B sẽ duy trì trong ma trận biến đổi,
cái mà có thể được viết tượng trưng là:

e − S (A + B)e S = A 0 + X

(mod ul B N +1 )

Một sự bổ xung thực tế của thuật toán này là khó khăn, bởi vì điều đó là không
rõ ràng làm thế nào để biểu diễn bước 1 của nó.
Dựa vào lý thuyết mô hình đơn lẻ nhiều hơn một thuật toán suy diễn có thể được
đề xuất cho việc tính toán của sự biến đổi e S và thành phần X cái chưa bị triệt
tiêu trong nguyên lý bởi sự biến đổi đó.
Về bản chất nó có thể giảm tới giải pháp của các phương trình thu được từ khai
triển Cambell-Hausdorff, đồng thời đối với ma trận S và X, sử dụng cấu trúc của
các ma trận đã biết này từ lý thuyết mô hình đơn lẻ. Nói cách khác, chúng ta tìm
kiếm các ma trận S ở dạng khai triển trong các giới hạn của cơ sở {S} từ các ma
trận ngang tới sự tập trung của ma trận A0:
m

S = ∑ w i Si ≡ S1 + S2 + ...S m
i =1

10


Các ma trận cơ sở S, đối với các dạng khác nhau của các ma trận A 0 có thể được
xây dựng trên một dạng rõ ràng. Ta tìm kiếm các ma trận X trong dạng {xk}
khai triển cơ sở của pháp tuyến tới quỹ đạo:

của các thông số.
S

B(µ ) = ∑ µ i B i ,

S ≤ n2

i =1

Trong đó Bi là các ma trận bất biến.

Ta diễn tả các thành phần đồng nhất của ma trận X và S trong dạng:
s

s

S1 = ∑ µJ Q j , S 2 =

∑µ µ Q

j =1

S3 =

j , k =1

s

∑µ µ µ Q


]

[

]

Y jk − A0 Q jk = B jk = B j Qk +

[

]

[

[[

] ]

1
A0 Q j Qk ,
2

] 12 [[ A Q ]Q ] + 12 [[ B Q ]Q ] + 12 [[ A Q ]Q ],

Y jki − A0 Q jkl = B jkl = B j Qkl +

0

kl


q =1

Y j = ∑ â jq X q , Y jk = ∑ â jkq X q , Y jkl = ∑ â jklq X q ,
m

m

m

r =1

r =1

r =1

Q j = ∑ b jr S r , Q jk = ∑ b jkr S r , Q jklr = ∑ b jklr S r ,

(7.6)

Trong đó: {a jq , a jkq ,...} , {b jr , b jkr ,...} là các hệ số không đổi được tính toán từ hệ
thống biểu thức đại số tuyến tính dạng:
p

∑a S
q =1

q

p


s

∑ b jkr µ j µ k +

j , k =1

12

s

∑b

j , k ,l =1

jklr

µ j µ k µ l + ...


s

λq ( µ ) = ∑ a jq µ j +
j =1

s

∑ a jkq µ j µ k +

j , k =1


dụng cho các trường hợp phản ứng lớn liên quan đến việc cân bằng nơtron.
Mô hình toán học của chương trong lò phản ứng có thể được biểu diễn qua các
biểu thức khác nhau:
•

x1 =
•

x2 =

− 2h( x1 − x 2 ) p
+ ,
ρca
ρc

− 2ah( x1 − x2 )
− v( x2
(b2 − a2 ) de

y=L

13

− x2

y =0

/ L),

(7.7)

•

y 2 = −λ2 y 2 + y1 ,
•

y 3 = −λ2 y 3 + vy1 ,
•

y 4 = −λ 2 y 4 + u 2 ,
•

(7.9)

y 5 = −λ2 y5 + u1v,
z1 = y1 − λ2 y 2 ,
z 2 = v( y 2 − u1 ),
z 3 = y3 − y5 ,
z4 = − z4 − y4 ,
14


z5 = 2 y1 − u1 ,

(7.10)

Chúng ta có thể chỉ ra rằng biểu thức chứa hàm hai biến (7.10) tương đương với
(7.7) khi có cùng điều kiện ban đầu
y! (0) = y10 , y 2 (0) = y 20 , y 3 (0) = y 4 (0) = y 5 (0) = 0. (7.11)

Phần tiếp theo sẽ miêu tả thuật toán cung cấp ổn định các thông số được định

m −1

l =0

l =0

x(t )u j (t ) = ∑ u jl X t l Π (t ) = ∑ u jl X Rl Π (t )

Tích phân (7.8) ta có:
15


t

t

n

t

0

0

j =1

0

x(t ) − x(0) = A∫ x(t ' )dt ' + L ∫ u (t ' )dt ' + ∑ L j ∫ x(t ' )u j (t ' )u j (t ' )dt '. (7.13)



ZS = ( X − X (0))G,

(7.15)

Trong đó: Z là véc tơ tham số
Z = [ ALB1 B2 ...Bn ].

(7.16)

7.6. Mô phỏng tai nạn lò phản ứng hạt nhân bằng mô hình phi tuyến hai biến
Năng lượng gia tăng trong lò phản ứng trong suốt quá trình điều khiển sẽ gây tác
động được mô tả bởi mô hình hai biến trong khái niệm tương tác phản ứng, hệ
số phản ứng phản hồi Doppler, hệ số trễ của nơ tron và khoảng thời gian sống
của nơ tron [6,23].
Gần đúng bỏ qua tốc độ, với hai giả thiết:
1. Năng lượng không bị trao đổi từ nhiên liệu sang nước
2. Không có khoảng thời gian trễ của nơ tron thoát ra
Hai giả thiết này phù hợp với mô hình điểm đoạn nhiệt và được ứng dụng khi
phản ứng rất nhanh.
Khi được áp dụng, các giả thiết này cung cấp minh họa rõ ràng cho vấn đề an
toàn phản ứng.

16


Biểu thức cân bằng hàm hai biến nơ tron (7.17) được thể hiện một cách đơn giản
như sau:
•


E = 2 M .C.

ρ0 − β
α

(7.20)

Và
xmax = M .C.

(ρ0 − β ) 2
αγ

(7.21)

Kết quả phụ thuộc vào ước lượng ban đầu của các hằng số sử dụng trong
phương trình toán học. Nó cũng có thể chỉ ra một cách trực tiếp rằng phản ứng
đạt giá trị tối đa bằng β . Trong trường hợp này, chính là sự gia tăng của năng
lượng, xem hình 7.1, tồn tại trong suốt giai đoạn đầu tiên của quá trình quá độ.

17


Ví dụ, các biến quan trọng trong quá trình nghiên cứu đặc tính nhiệt - cơ khí học
của nhiên liệu, chẳng hạn khả năng tăng năng lượng tới hạn và chiều rộng của
đường cong x(t) thu được rõ ràng.

Hình 7.1. Sự gia tăng năng lượng trong lò. Đặc tính phụ thuộc của giá trị
trung bình năng lượng của lò phản ứng theo thời gian
7.7. Kết luận

4. R.Brockett.System theory of group manifolds and coset space. SIAM J.
contr.,10:265-284,1972.
5. K.Chikara and J. Weisman. Equilibrium approach to optimal in-core fuel
management for pressurized water reactors. Nucl . technol, 24(1):3349,1974.
6. F.D’Auria, B.Gabaraev, S. soloviev, O.Noselsky, A. moskalev,
E.Uspuras. G. M. Galassi, C. Parisi, A. petrov, V. Radkevick, L.Parafilo,
and D. Kryuchkov. Deterministic accident next term analysis for RBMK.
Nucl. Eng. Des.,238(4):975-1001,2008.
7. E. De Klerk, C. Roos, T.Terlaky, H.T.llle’s , I.A.J. de jong, J. Valko’.
And J.E. Hoogenboom. Optimization of nuclear reactor reloading
patterns. Ann. Oper. Res.,69(0):65-84,2997.
8. F.Fnaiech, L. Ljung, and Fliess M.Hoogenboom. Recursive identifacation
of bilinear systems. Int.J.control,45(2):453-470,1987.
9. R. R.Fullwood and and R. E. Hall. Probabilistic risk assessment in the
nuclear power industry: fundamenttals and applications. ButterworthHeinemann, Neu York,1988.
10.V.Goldin, G.pestriakova, Y.Troishchev, and E.Aristova.Neutron and
nuclear regime with self-organisation in reactor with the hand spectrum
and carbidc fule. Math. Model., 14(1):27-39,2002.
11.C. S. Gordelier. Nuclear energy ricks and benefits in pertive. NEA News,
25(2):4-8,2007.
12.Greenpeace. Subject: Calender of Nuclear Accident and Events ( Update
21st March), 2007.
/>
19


13..L.Hunt, R.Su, and G.Meyer.Global transfomations of nonlinear sytem,
IEEE Trans. Autom. Contro., 25(2):4-8,2007.
14.Internaltional atomic Enregy Agency, Accident analysis for RBMKs.
Safety Report series No. 43,IAEA, Vienna,2005.

Reactors, pages 272-273,1981.
27.V.Yatsenko. Dynamic equivalent systems in the solution of some optimal
con-trol problem. Avtomatika,4:59-65,1984.
20


28.V.Yatsenko. Method of rick analysis for energy objects. Processding of
con-ference on Internaliation Energy Conference, July 23-28, Las Vegas,
Nevada, USA page 272-273, 2000.
29.V.Yatsenko. Reilability forecasting of nuclear reator in fuzzy
environment.Proceeding of confederence on Problems of Decision
Making Under Uncertain-ties,Pages 54-57,2003.

21