1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric
nón

4

1.1. Không gian tựa mêtric nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa
mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric
nón có thứ tự bộ phận

22

2.1. Thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

mêtric và mêtric nón có thứ tự bộ phận cũng được quan tâm nghiên cứu và
thu được nhiều kết quả ([5], [6]).
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động của
các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón và không gian tựa mêtric nón
có thứ tự bộ phận. Xem xét một số kết quả tương tự về sự tồn tại điểm bất
động trong không gian mêtric còn đúng cho không gian tựa mêtric nữa hay


3

không. Với mục đích đó luận văn của chúng tôi được trình bày thành hai
chương.
Chương 1 trình bày khái niệm, tính chất của không gian tựa mêtric nón
và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric
nón.
Chương 2 trình bày một số khái niệm cơ bản về thứ tự bộ phận, tập bị
chặn, cận trên, cận dưới và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của
các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến thầy. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong
Khoa Toán học, Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng
nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 19 Giải tích đã cộng
tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 9 năm 2013
Tác giả



5

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc τ được gọi là tập mở .
Giả sử E ⊂ X. Tập E được gọi là tập đóng nếu X\E là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. ([2]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi
là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ
B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ B(x) tồn tại
V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.

1.1.3 Định nghĩa. ([2]) Dãy {xn } trong không gian tôpô X được gọi là
hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U với mọi n

n0 .

Khi đó, ta viết xn → x hoặc lim xn = x.
n→∞

1.1.4 Định nghĩa. ([2]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề
đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có
lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay là không gian Hausdorff
nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận Ux và Uy của x và
y tương ứng sao cho Ux ∩ Uy = ∅.

Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ

i) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

ii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.

Tập X cùng với một tựa mêtric trên nó được gọi là không gian tựa mêtric
và ký hiệu là (X, d) hoặc X .
1.1.9 Định nghĩa. ([1]) Giả sử E là không gian véc tơ trên trường K = R
hoặc K = C. Hàm p : E → R thỏa mãn các điều kiện
i) p(x)

0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;

ii) p(xλ) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
iii) p(x + y)

p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E .

p được gọi là một chuẩn trên không gian véc tơ E . Số p(x) được gọi là

chuẩn của véc tơ x ∈ E . Ta thường ký hiệu chuẩn của x là x . Không gian
véc tơ E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là một không gian định chuẩn.


7

1.1.10 Mệnh đề. ([1]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

0} là một nón.


8

2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y

0} ⊂ R2 . Khi đó, P thỏa

mãn ba điều kiện:
i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b

0 ta có a(x, y) +

b(u, v) ∈ P ;

iii) Nếu (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P thì (x, y) = (0, 0).
Vậy P là một nón trên E .
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Khi đó, trên E xét một
quan hệ thứ tự

xác định bởi P như sau: x

Chúng ta quy ước x < y nếu x

y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P.

y và x = y và quy ước x


Định lý sau nói về mỗi quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc.
1.1.17 Định lý. ([5]) Mọi nón chính quy trong không gian Banach là
nón chuẩn tắc.
1.1.18 Định nghĩa. Giả sử X là một tập khác rỗng và d : X × X → E .
1) Hàm d được gọi là tựa mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều
kiện sau


9

i) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X ;

ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
iii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với tựa mêtric nón d trên X được gọi là không gian tựa
mêtric nón và được ký hiệu là (X, d) hoặc X.
2) Hàm d được gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
sau
i) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
iii) d(x, y)


i) Nếu a

b và b

c thì a

c;

ii) Nếu a

b và b

c thì a

c;

iii) Nếu a

b, c

d thì a + c

b + d;

iv) αintP ⊂ intP ;
v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ;
vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P, ∃ d ∈ intP sao cho c1
vii) Với mỗi c1 ; c2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e
viii) Nếu a ∈ P và a


b

c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP, suy ra c − a = c − b + b − a ∈

intP + intP ⊂ intP. Vậy a

c.
(x + intP ) là tập mở và P là nón suy

ii) Dễ thấy rằng intP + P =
x∈P

ra x + intP ⊂ P. Do đó P + intP ⊂ intP. Nếu a

c thì b − a ∈ P

b và b

và c − b ∈ intP, suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP. Vậy a
iii) Ta có a

b, c

c.

d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra b − a +

c − d ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a + c

b + d.

11

vi) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP, trong đó B(0, δ) = {x ∈
E : x < δ}. Do tính hút của B(0, δ) tồn tại m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ)

suy ra −c2 ∈ B(0, δ) và mc1 − c2 ∈ intP. Đặt d = mc1 − c2 . Khi đó, d thỏa
mãn vi).
vii) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ ) ⊂ intP, c2 + B(0, δ ) ⊂ intP, trong
đó B(0, δ ) = {x ∈ E : x < δ }. Do tính hút của B(0, δ ) tồn tại m > 0 sao
cho c1 ∈ mB(0, δ ), c2 ∈ mB(0, δ ) suy ra −c1 ∈ mB(0, δ ), −c2 ∈ B(0, δ )
và mc1 − c1 ∈ intP, mc2 − c2 ∈ intP. Đặt e = mc1 − c1 + mc2 − c2 . Khi đó,
e thỏa mãn vii).
x
n

viii) Giả sử x ∈ intP. Từ giả thiết suy ra a
đó

x
n

x
n −a

x
n

− a ∈ P với mọi n = 1, 2, ... Vì

=

yn suy ra xn − yn ∈ P. Do P đóng nên lim (yn − xn ) ∈ P.
n→∞

Mặt khác, lim xn = x, lim yn = y nên lim (yn − xn ) = y − x. Từ đó suy
n→∞

n→∞

ra y − x ∈ P do đó x
được từ 0

xn suy ra 0

n→∞

y. Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh
x. Vậy 0

x

y.

1.1.21 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric nón, a ∈
X và c ∈ intP. Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)

c}

và gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c. Đặt
J = {G ⊂ X : ∀ ∈ G, ∃c ∈ intP : B(x, c) ⊂ G}.


B(x, c) ⊂ G ∩ H. Do đó G ∩ H ∈ J .

Vậy J là một tôpô trên X.
2) Giả sử x ∈ X, c ∈ intP và a ∈ B(x, c). Khi đó, d(x, a)
δ := c − d(x − a) ∈ intP. Với mỗi y ∈ B(a, δ) ta có d(a, y)

c. Do đó

δ. Do đó theo

Định nghĩa 1.1.18 và Bổ đề 1.1.20 iii) và iv) ta có
d(x, y)

d(x, a) + d(a, y)

c,

tức là y ∈ B(x, c). Từ đó suy ra B(a, δ) ⊂ B(x, c). Như vậy B(x, c) ∈ J .
3) Giả sử x ∈ X. Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm
được. Lấy c ∈ intP và đặt
c
U = {B(x, ) : n = 1, 2, ...}.
n

Hiển nhiên U ∈ J . Giả sử V là một lân cận bất kỳ của x. Khi đó, tồn tại
y ∈ intP sao cho B(x, y) ⊂ V. Vì y ∈ intP nên tồn tại ε > 0 sao cho


13

gian tựa mêtric nón được hiểu là tôpô J . Như vậy, các tập hợp B(x, c) là
tập mở trong không gian tựa mêtric nón (X, d).
1.1.23 Bổ đề. Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {xn } là
dãy trong P . Khi đó, nếu xn → 0 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N
sao cho xn

c với mọi n

n0 . Nếu P là nón chuẩn tắc thì điều ngược

lại cũng đúng.
Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy trong P và xn → 0. Với mọi c ∈ intP,
vì intP là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE (0, δ) ⊂ intP. Do đó,
nếu x ∈ E mà x < δ thì c − x ∈ intP. Với δ > 0 xác định được như trên
tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn < δ, ∀n > n0 .

Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n > n0 . Do đó xn

c với mọi n

n0 .

Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho xn
Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P. Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0

c.
c



Mặt khác, vì 0

bn

c với mọi n

cn nên bn

n0 .

c với mọi n. Như vậy, với mỗi c ∈ intP

tồn tại n0 ∈ N sao cho
bn

c với mọi n

n0 .

Theo Bổ đề 1.1.23 thì bn → 0.
Ta đã biết rằng, nếu {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric (X, d) thì
xn → x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn ) → 0. Định lý sau đây cho ta thấy kết

quả này vẫn đúng trong không gian tựa mêtric nón.
1.1.25 Mệnh đề. ([5]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian
Banach E, {an }, {bn } và {cn } là ba dãy trong E . Khi đó, nếu
an

bn


n→∞

có lim (bn − an ) = 0. Mặt khác, theo giả thiết ta có lim an = d nên tồn
n→∞

n→∞

tại lim bn và lim bn = d.
n→∞

n→∞

1.1.26 Định lý. Giả sử {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric nón
(X, d). Khi đó, xn → x ∈ X khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại số
tự nhiên nc sao cho d(x, xn )

c với mọi n

nc .

Chứng minh. Giả sử xn → x ∈ X. Khi đó, với mọi c ∈ intP , vì B(x, c) là lân
cận của x (Mệnh đề 1.1.22) nên tồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(x, c)
với mọi n

nc , tức là d(x, xn )

c với mọi n > nc .

Ngược lại, giả sử với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(x, xn )

Ngược lại, giả sử với mỗi dãy {xn } trong X, xn → a thì f (xn ) → f (a).
Ta sẽ chứng minh f liên tục tại a. Giả sử f không liên tục tại a ∈ X. Khi
đó, từ Định nghĩa 1.1.5 suy ra tồn tại y0 ∈ intP sao cho với mọi c ∈ intP
đều có f (B(a, c)) không bao trong B(f (a), y0 ). Do đó với mỗi n = 1, 2, ...
/ B(f (a), y0 ), trong đó c là phần tử cố
tồn tại xn ∈ B(a, nc ) sao cho f (xn ) ∈

định trong intP . Vì
sao cho
n

c
n

c
n

→ 0 khi n → ∞ nên với mọi t ∈ intP tồn tại nt ∈ N

t với mọi n

nt . Từ đó suy ra d(a, xn )

c
n

t với mọi

nt . Theo Định lý 1.1.26 thì xn → a. Do đó f (xn ) → f (a). Điều này



và

là hai thứ tự trên E được xác định bởi nón P.

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric nón. ánh xạ
f : X → X được gọi là co nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(f (x), f (y))

αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Ta gọi α là hằng số co của f.
Chú ý. Nhiều lúc ta viết f x thay cho f (x).
1.2.2 Nhận xét. Nếu f : X → X là ánh xạ co thì f liên tục.
Chứng minh. Giả sử x ∈ X và {xn } là dãy trong X, hội tụ tới x. Khi dó,
theo Định lý 1.1.26, với mọi c ∈ intP tồn tại nc ∈ N sao cho d(x, xn )
với mọi n

c

nc . Vì f là ánh xạ co nên tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
0

d(f (x), f (xn ))

αd(x, xn )

c ∀n

nc .

n1 − α
d(x0 , x1 )
d(x0 , x1 ).
=α
1−α
1−α

Hay là
d(xn , xn+p )

αn
d(x0 , x1 ).
1−α

(1.1)

Tương tự, với mỗi n = 1, 2, ... và mỗi p ∈ N
d(xn+p , xn )

Từ α ∈ [0, 1) suy ra

αn
1−α d(x0 , x1 )

αn
d(x1 , x0 ).
1−α

→ 0 và




19

1.2.6 Hệ quả. Giả sử X là không gian tựa mêtric nón Hausdorff, đầy
đủ và g : X → X sao cho g n0 là ánh xạ co với n0 là một số tự nhiên nào
đó. Khi đó, g có duy nhất điểm bất động a và g n x → a với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Vì g n0 là ánh xạ co nên theo Định lý 1.2.4, g n0 có duy nhất
điểm bất động a. Khi đó, từ g n0 (a) = a suy ra
g n0 (ga) = g(g n0 a) = ga.

Như vậy ga cũng là điểm bất động của g n0 . Do đó a = ga, tức là a là điểm
bất động của g.
Giả sử x là điểm bất động của X . Khi đó, theo Chú ý 1.2.5 ta có (g n0 )n x →
a. Tương tự ta có
(g n0 )n (g j x) → a với mỗi j = 1, 2, ..., n0 ,

Tức là
lim g n0 n+j x = a với mỗi j = 1, 2, ..., n0 .

n→∞

Từ đó suy ra g n x → a với mọi x ∈ X.
Giả sử b cũng là điểm bất động của g. Theo kết quả vừa chứng minh
thì g n b → a. Vì b là điểm bất động của g nên g n b = b với mọi n. Do đó
b = a.

1.2.7 Định nghĩa. Giả sử f và {fn } là dãy các ánh xạ từ không gian tựa
mêtric nón X vào không gian tựa mêtric nón Y. Ta nói {fn } hội tụ đều tới f
trên X nếu với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc , sao cho với mọi n

nc , với mọi x ∈ X.

Với mỗi a ∈ X , vì Fnc liên tục tại a nên tồn tại lân cận Ua của a sao cho
d(Fnc a, Fnc x)

c với mọi x ∈ Ua .

(1.4)

Do đó với mọi x ∈ Ua , từ (1.3) và (1.4) ta có
d(F a, F x)

d(F a, Fnc a) + d(Fnc a, Fnc x) + d(Fnc x, F x)

3c.

Từ đó suy ra F liên tục tại a. Như vậy F liên tục trên X.
a) Giả sử xn → x0 (tức d(x0 , xn ) → 0) và d(xn , x0 ) → 0. Khi đó, với mọi
c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(xn , x0 )

c với mọi n > nc .

(1.5)

Vì F liên tục và xn → x0 nên tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(F x0 , F xn )

c với mọi n > nc .



ta có d(x0 , xn ) → 0, tức là xn → x0 . Do đó theo kết quả đã chứng minh x0
là điểm bất động của F.
b) Giả sử F là một ánh xạ co. Khi đó, theo Định lý 1.2.4 F có điểm bất
động a. Ta có
d(a, xn ) = d(F a, Fn xn )

d(F a, F xn ) + d(F xn , Fn xn )

αd(a, xn ) + d(F xn , Fn xn ) với mọi n.

Do đó, với mọi n ta có
d(a, xn )

1
d(F xn , Fn xn ).
1−α

Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên bất đẳng thức kéo theo
d(a, xn )

K

1
d(F xn , Fn xn ) .
1−α

Từ α ∈ [0, 1) và d(F xn , Fn xn ) → 0 suy ra d(a, xn ) → 0, tức là xn → a.




x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X ;

z suy ra x

z với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự
bộ phận và ký hiệu (X, ) hoặc X .
2.1.2 Định nghĩa. ([2]) Giả sử
và A ⊂ X .

là một quan hệ thứ tự bộ phận trên X


23

1) Phần tử x ∈ X được gọi là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A
nếu a

x (tương ứng x

a) với mọi a ∈ A;

2) Phần tử x ∈ X được gọi là một cận trên đúng (tương ứng cận dưới
đúng) của A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y
cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x

y (tương ứng


bởi
x

Khi đó,

ϕ

ϕ

y ⇔ λd(x, y)

ϕ(y) − ϕ(x);

x, y ∈ X.

là một thứ tự bộ phận trên X.

Chứng minh. Vì d(x, x) = 0 với mọi x ∈ X nên x
Giả sử x, y ∈ X sao cho x

ϕ

y và y

λd(x, y)
λd(y, x)

Do đó λ[d(x, y) + d(y, x)]

ϕ

Vậy

ϕ

ϕ

y và y

ϕ

z. Khi đó, ta có

ϕ(y) − ϕ(x) + ϕ(z) − ϕ(y) = ϕ(z) − ϕ(x).

z.

là một thứ tự bộ phận trên X.

2.2. Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric nón có
thứ tự bộ phận

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại bất động
của các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Trong mục này, ta giả thiết (X, d) là không gian tựa mêtric nón, đầy đủ,
Hausdorff; trên X có thứ tự bộ phận cũng được kí hiệu bởi

.

2.2.1 Định lý. Giả sử f : X → X và g : P → [0, 1) là hai hàm không
giảm thỏa mãn các điều kiện sau

d(xn , xn+1 ) g(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn )
g(d(xn−1 , xn ))g(d(xn−2 , xn−1 ))d(xn−2 , xn−1 )
[g(d(xn−2 , xn−1 ))]2 d(xn−2 , xn−1 )
...

[g(d(x0 , x1 ))]n d(x0 , x1 ).

Từ đó và sử dụng bất đẳng thức tam giác suy ra rằng với mỗi n = 1, 2, ...
và với mọi p = 0, 1, 2, ... ta có
d(xn , xn+p ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+p−1 , xn+p )
{[g(d(x0 , x1 ))]n + [g(d(x0 , x1 ))]n+1 + ...
+ [g(d(x0 , x1 ))]n+p−1 }d(x0 , x1 )
1 − [g(d(x0 , x1 ))]p
= [g(d(x0 , x1 ))]n
d(x0 , x1 )
1 − g(d(x0 , x1 ))
[g(d(x0 , x1 ))]n
=
d(x0 , x1 ).
1 − g(d(x0 , x1 ))

Từ 0

g(d(x0 , x1 )) < 1 suy ra

[g(d(x0 ,x1 ))]n
d(x0 , x1 )
1−g(d(x0 ,x1 ))

đó suy ra với mọi c ∈ intP tồn tại n1 ∈ N sao cho