TĨM TẮT TỐN 12 (Chương trình chuẩn)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠0)
+ TXĐ : D = ¡
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac
∆/ ≤ 0
∆/ > 0
y/ cùng dấu với hệ số a
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trò

• Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?

 +∞ (a > 0)
(ax3 + bx 2 + cx + d ) = 
+ Giới hạn: • xlim
→+∞
 −∞ (a < 0)
+ Bảng biến thiên:
a > 0:
x
-∞
+∞
x
y’
+

+
-∞

x1
0
yCĐ

+∞
+

+∞

yCT

-∞
+∞

x2
0

x1
0

-

+

x2
0
yCĐ


ax + b
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
cx + d
ad − bc
 d
+ TXĐ : D = ¡ \ − 
+ Đạo hàm : y ' =
(cx + d )2
 c
2.Hàm phân thức : y =

ad−bc < 0
y < 0, ∀ x ∈D
/

ad−bc > 0
y > 0 , ∀ x ∈D
/

Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác
đònh
violet.vn/phamdohai


+ Tiệm cận:
• x=−
• y=

→+∞
c
cx + d
cx + d c

+Bảng biến thiên :
y’ > 0
x

-∞

y’

−

d
c

+

+∞
+

y
a
c

y’ < 0

a

y= a/c

+∞
-

a
c

a
c

3 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
(a≠0)
+ TXĐ : D = ¡ , Hàm số chẵn
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
/
/
2
y=0 ⇔ x=0
y = 0 ⇔ 2x (2ax + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=±
•KL: tăng? Giảm
•Giá trò cực trò : y(0) = c có một cực trò

violet.vn/phamdohai

b
2a


+∞

0

+

x
y’

+∞

y

yCT

-∞
+∞

-

x1
0 +

0
0
yCĐ

-

yCT

y’

-

y

-∞

-∞
+
-∞

x1
0 yCĐ

0
0
yCT

+

x2
+∞
0 yCĐ
-∞

+ Vẽ đồ thò : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
a> 0
b>0



f

/

= k(x − x1 ) + y1

(x) = k

(1)
(2)

có nghiệm

Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thò hàm số y = f(x) .
violet.vn/phamdohai


+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m)
Đặt: M = g(m)
+ ∆: y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò ∆: y = M
Bài toán 4: Xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số (xét tính đơn điệu) :
+ TXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng

* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trò của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
Và y/ =

u

u(x) ; v(x) là các đa thức có TXĐ: D

v

u′v − v′u
2
v

=

g(x)
2
v

dấu của y/ là dấu của g(x)

Nếu h/s đạt cực trò tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
=>

u′
v′


+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trò CT

min y =

yCT

max y =
( a;b )

yCĐ

( a;b )

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trò CĐ

* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thò (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung


n

; a0 = 1 0 ;

m
n m
an = a

• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y

(a.b)x =ax.bx
x

a
a

( m; n nguyên dương , n > 1)

x
y =a

x −y

x

x
a
a 


• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:
B
log a (B.C) = log a B + log a C
log a  ÷ = log a B − log a C
C
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :
log c a.log a b =

log c b

⇔

log a b =

log c b

0 < a, b ≠ 1 :

log c a

Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x
• Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ )
MGT : ¡
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1; h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1

a

α. a f (x) +β. bf (x) + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t =
α. a 2f (x) +β. ( a.b )

f (x)

f (x)

Đk t > 0

f (x) 1
; = b f (x)
t
f (x)
a

a

+ γ. b 2f (x) = 0 ; Đặt t =  ÷
b

• Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 3: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :
f (x) > g(x) khi a > 1
f (x)
> a g(x) ⇔ 
a


=

β
α

log a B


* Neáu 0 < a < 1 bpt laø
• ( u(x) )

v(x)

f(x) > a b

> 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) > 0

• ( u( x )) v( x ) < 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
* trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dỡ dang
hơn: a f (x) > a g(x) (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x)−g(x)) > 0. (mở rộng thi đại
học).
* Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm
số trên.
*Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.

Phần 3: Nguyên hàm.
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản).
Bài toán 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.


Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx,

dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1

∫

u = f ( x )
du = f '( x ) dx


sin ax 
sin ax 
⇒





dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx
ax
ax


e

∫e

ax

.

∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx

∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:

∫ sin (u(x)).cos
n

m

(u(x))dx

(n,m là các số nguyên dương)

* Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cos(u(x)).
* nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sin(u(x)).
* Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng công thức nhân đôi sau đó dung tiếp công thức hạ bậc để tính. (nếu một
trong 2 số n hoặc n = 0 số còn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ bậc).
* n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tan(u(x)) hoặc t = cot(u(x)).
violet.vn/phamdohai



∫ ( g(x) )dx = ∫ h(x)dx + ∫ h(x) dx .Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng nguyên hàm vì vậy ta chỉ còn
r(x)
phải tính ∫ g(x) dx theo trường hợp sau.
r(x)
Trường hợp 2: tính ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
Nên

* Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
* Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:

r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+
+
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2

(*) ( x1;

x2 là nghiệm của g(x).
* ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu thức (**) để tìm các
hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để tìm các hệ số được dễ dàng).
*sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các nhị thức .



∫ f (t)dt

u(a)

Nếu không tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các

hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x

;

1
2
2
a −x

thì đặt x = asint

a2 + x2 ;

1
2
a + x2

thì đặt x = atant.

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần: (xem phần nguyên hàm)

a

=

c
b
∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a
c

*Chú ý: Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp nghiệm như
thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).

Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể tròn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
y
• Hình phẳng giới hạn bởi :
hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]


trục hoành y = 0; x = a;x = b
b
Diện tích : S = ∫ | f (x) | .dx
a

b
a

x



quay
trục hoành y = 0; x = a; x = b

quanh trục Ox thì V =

b
2
π ∫ f (x) .dx
a

Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1. a+bi = c+di  a = c; b = d.

2. mơđun số phức z = a + bi = a 2 + b2

3. số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi.
4. (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5. (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6. (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.

c + di

1

7. z = a + bi = 2 2 [(ac+bd)+(ad-bc)i]

* Khối hình trụ V = πr2h

; * Khối cầu V

1 2
πr h
3
4 3
= 3 πr

* Khối lăng trụ: V= Bh.

1
1
abc
a.ha = ab sin C =
= pr =
2
2
4R

* Diện tích tam giác: S =

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

a+b+c
: là nửa chu vi của tam giác.)
2

( R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.) ( p =

x.

= (a1;a2;

→ →
• a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
→
• a k. = (ka1;ka2;ka3)
k∈R
→→
→
→
vô hướng :
a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos
a1b1 + a 2b 2 + a 3b3

Cos ϕ =

→ →
a ⊥ b

a12 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b32

⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

Toạ độ điểm:
→
→
M = (x;y;z)⇔ OM = x. i + y.
• I là trung điểm của AB

⇔

k.

→
→
a ⇔ a

∧

→
b

=

→
0

→
AB =

( xB− xA ; yB−yA;zB −zA)
• G là trọng tâm tam giác ABC
1

 x G = 3 (x A + x B + x C )

1

 yG = (y A + y B + yC )



÷
÷
÷


*(

→ →
a ^ b )

⊥

→
a

;(

→ →
a ^ b )

⊥

→
b

Bài tốn 1:Xác đònh điểm trong không gian , cm tính chất hình học ...
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:

IM0

làm VTPT

• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C): tâm H; bán kính r
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp α
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
→

+ Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng d qua I nhận nα làmVTCP
d

 x = a + At

:  y = b + Bt
z = c + Ct


thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H

Bài tốn 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu uuuu
(S)r
IM
+ Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận 0 làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng(α).
+ bán kính r =

R 2 − [ d(I ; ( α ) )]2
→

5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

x y z
+ + =1
a b c

6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
Bài tốn 1: cáchuuu
viết
phương
trình mặt phẳng:
r
uuur
* (ABC): + tính AB = ? ; AC = ?
r uuur uuur
+ VTPT của (ABC) n = AB ∧ AC
r
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
Mặt phẳng xác định bởi: r uur uuur
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n = u a ∧ AB với A∈ a; B ∈ b.
violet.vn/phamdohai


r

uur uur

Nếu a cắt b thì n = u a ∧ u b
r uur uuur
*(A;a) thì VTPT n = u a ∧ AB với A∈ a.

z = z + a t

o
3

2.Phương trình chính tắc của d
*∆ đi qua điểm A và có VTCP

r
u

(d) :

x − xo
a

=

1

y − yo
a2

=

z-z

0

a3


+ Hình chiếu H là giao điểm của (α) và d là nghiệm của hệ trên.
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α)
uur
+ Viết PT đ.thẳng d qua M có VTCP là n α .
+ giải hệ gồm

pt(α)

pt d

+ Hình chiếu H là giao điểm của (α) và d là nghiệm của hệ trên.
/

+ Tọa độ điểm đối xứng A :

 x = 2x H − x A

 y = 2y H − y A

z = 2z H − z A

(H là trung điểm AA’)

* Đối xứng qua đường thẳng d.
+ Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
violet.vn/phamdohai

uur

(P) // (Q)<=>

A

B

(P) cắt (Q)<=>

A
A/

C

D

= B/ = C / =

A/
A
=
A/

B
B/

≠

D/
D
D/

* vị trí tương đối giữa đ.thẳng d1 và d2.
Ta giải hệ gồm pt d1,d 2 theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo tùng thành phần ).
+ hệ có nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm.
+ hệ có vơ số nghiệm t và t/ thì d1 trùng d2
+ nếu hệ vơ nghiệm :
Xác định các VTCP

→
u =(a;b;c)

→
→
u = k u ' ⇒ thì

,

→
/ /
u / =(a ;b ;

c/ )

d1 chéo d2.
Ngược lại thì d1 // d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng d và mặt phẳng (P).
+ thay PTTS của đ.thẳng d vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t.
+ nếu PT vơ nghiệm thì d//mp(P).
Nếu PT vơ số nghiệm thì d ⊂ (P).
Nếu PT có nghiệm duy nhất thì d cắt (P) =>giao điểm?
Bài tốn 5: Tính khoảng cách.

x = x ' + b t '
0
1
0
1


d : y = y + a t và d : y = y ' + b t '
1
0
2
2
0
2


z
=
z
+
a
t
z
=
z
'
+
b
t'


Bài toán 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp 1 :
Độ dài MN ở bài toán 7 chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp 2 :
B
 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2)

qua
điểm
A
∈
(d
1)

mp(P) :  uur r r
nβ = a ∧ b
 Lấy điểm B ∈ (d2) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :

(

d d ,d
1

2

) = d ( B,(P))

= BH

d1

Chương trình nâng cao
 a1 = kb1

r
r 
r r
a và b cùngphương ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a2 = kb2
 a = kb
3
 3

r
r r
r r r
a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃m, n ∈ R : c = ma + nb
r r
( a , b không cùng phương)

violet.vn/phamdohai

rr
r r
1.Tính chất :  a, b  là a ∧ b
rr
r
rr
r
  a, b  ⊥ a ,  a, b  ⊥ b
rr
r r

 Thể tích khối hộp:
VABCD.A’B’C’D’= 2 S ABC .d ( A ', ( ABC ) )

2.Các ứng dụng tích có hướng :
1 uuur uuur
 Diện tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ]
2

1 uuur uuur uuur
 Thể tích tứ diệnVABCD= [ AB, AC ]. AD
6
 Thể tích khối hộp:
uuur uuur uuur
VABCD.A’B’C’D’ = [ AB, AD]. AA '

Phần (bổ sung)
 Gọiφ là góc giữa hai mặt phẳng (00≤φ≤900)
(P):Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
 Góc giữa hai đường thẳng

r
a = (a1 ; a2 ; a3 )
uur
(∆’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 )
r uur
a.a '
r uur
a1.a '1 + a2 .a '2 + a3 .a '3
cosϕ = cos(a, a ') = r uur =
a . a'




Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới !

violet.vn/phamdohai