PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

CHƯƠNG 1
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1.1. Phép biến hình trong mặt phẳng
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình
Một song ánh f : P

P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một

phép biến hình của mặt phẳng.
Phép biến hình f : P

P là một quy tắc để với bất kì điểm M thuộc P ta

tìm được một điểm M

f M hoàn toàn xác định. Điểm f M được gọi là

ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh
của điểm f M qua phép biến hình f nói trên. Người ta còn nói phép biến
hình f biến điểm M thành điểm f M và ta có f M

M .

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

f H


P để biến một điểm M bất kì

của P thành một điểm M rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai

g: P

P để biến M thành M . Ta có:
M

f M ,M

g M

Khi đó phép biến hình h biến M thành M gọi là tích của hai phép biến
hình f và g , kí hiệu h g o f . Ta có

h M

go f

M

M

g M

g f M

Chú ý


e (phép đồng nhất).

1.1.6. Phép biến hình có tính chất đối hợp
Cho một phép biến hình f biến điểm M thành M , sau đó nếu ta thực hiện
tiếp phép biến hình f đó đối với điểm M và giả sử f M

M . Nếu điểm

M trùng với điểm M thì ta nói rằng phép biến hình f đó có tính chất đối
hợp. Ta có f o f

M

M hay f 2

e.

-2-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.2. Phép biến hình đẳng cự trong mặt phẳng
1.2.1. Định nghĩa phép biến hình đẳng cự
Phép biến hình f : P

P được gọi là phép biến hình đẳng cự nếu trong

một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn
bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia.
1.2.2.2. Định lí
Tích của hai phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng cự.

-3-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

1.3. Phép đối xứng trục

NGUYỄN THỊ HẰNG

M1

1.3.1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng P cho một đường

M

O

thẳng d cố định.M Phép biến hình biến mỗi

O

điểm M thành điểm M sao cho đoạn
thẳng MM

1.3.3.4. Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành
chính nó với chú ý rằng ngoài giao điểm của a với d thì các điểm khác của
a đều không phải là điểm kép.

1.3.3.5. Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối
xứng d của nó.

-4-


M'

v

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

M'
M

1.4. Phép đối xứng tâm
1.4.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng P cho một điểm O cố định.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm

M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng

M'
O

NGUYỄN THỊ HẰNG
O

M

1.5. Phép tịnh tiến
1.5.1. Định nghĩa

r
Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến
uuuuur r
mỗi điểm M thành điểm M sao cho MM v gọi là
r
phép tịnh tiến theo véc tơ v và được kí hiệu là Tvr .
r
Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến. Ta có Tvr M M .

v

M'
M

1.5.2. Định lí
Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự.
Chú ý

r r
Nếu véc tơ tịnh tiến là v 0 thì khi đó phép tịnh tiến trở thành phép đồng
nhất. Ta có T0r


1.5.3.4. Tích của hai phép tịnh tiến Tvr và Tvur' là một phép tịnh tiến với véc
r ur
tơ tịnh tiến bằng v v' .
1.5.3.5. Phép tịnh tiến hồn tồn được xác định nếu ta biết được véc tơ tịnh
r
tiến v của nó.
1.6. Phép quay
1.6.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho
một điểm O cố định và một góc định hướng

M'

sai

M1 quay tâm O với góc quay
khác k2 . Một phép

là một phép biến hình biến điểm O thành
chính nó,
M
O
và biến mỗi
điểm M thành điểm M sao cho
uuuur uuuur
d
OM OM và OM ,OM
.

M

hoặ
c

O

thì đólàphé
p đố
i xứ
ng tâ
m O.

1.6.2. Định lí
Phép quay là một phép biến hình đẳng cự.
1.6.3. Các tính chất của phép quay

M'
O

1.6.3.1. Phép quay là một phépM biến hình đẳng cự nên có đầy đủ các tính
chất của một phép biến hình đẳng cự.
1.6.3.2. Trong phép quay tâm O với góc quay

0 , chỉ có tâm O là điểm

kép duy nhất và nếu đường thẳng a đi qua tâm O thì đường thẳng ảnh là a
cũng đi qua tâm O.

-7-




1.6.3.5. Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc
quay

.

1.7. Phép vị tự
1.7.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k 0 . Phép biến hình
uuuur
uuuur
biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M sao cho OM kOM được
gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k . Kí hiệu là VOk .
Điểm O gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự.
Nếu k 0 phép vị tự là phép vị tự thuận.
Nếu k 0 phép vị tự là phép vị tự nghịch.
Nếu k 1 phép vị tự là phép đồng nhất.
Nếu k

1 phép vị tự là phép đối xứng qua tâm O và O là điểm kép.

1.7.2. Các tính chất của phép vị tự
1.7.2.1. Định lí 1
Nếu phép vị tự VOk biến hai điểm A, B lần lượt thành hai điểm A , B thì
uuuur
uuur
A B kAB .

-8-


f B sao cho

kAB trong đó k là một số thực dương xác định.

Số k gọi là tỉ số đồng dạng.
1.8.2. Các trường hợp đặc biệt
1.8.2.1. Phép biến hình đẳng cự là phép đồng dạng với tỉ số k 1.
1.8.2.2. Phép vị tự tâm O tỉ số k là phép đồng dạng với tỉ số k .
1.8.2.3. Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng với
tỉ số

1
.
k

1.8.2.4. Tích của phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là
phép đồng dạng tỉ số k1.k2 .

-9-


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

1.8.3. Định lí
Mỗi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và một phép
biến hình đẳng cự hoặc tích của một phép biến hình đẳng cự và một phép vị
tự.
Hệ quả


CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC

2.1. Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác
2.1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh trong tam giác thường gặp là bài toán chứng minh
hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, chứng minh một tam giác là
tam giác cân, tam giác đều... Ngoài ra yêu cầu chứng minh các điểm thẳng
hàng, các đường thẳng đồng quy hay thỏa mãn điều kiện nào đó cũng là một
dạng bài toán chứng minh.
Sử dụng các phép biến hình để giải bài toán chứng minh trong tam giác
như sau: Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho
trong giả thiết với các điểm, các đường trong kết luận thông qua phép biến
hình hoặc tích của những phép biến hình thì nhờ những tính chất không bị
làm thay đổi qua những phép biến hình ấy ta nhận được kết quả về tính đồng
quy hay tính thẳng hàng, quan hệ lệ thuộc, song song hay vuông góc... từ đó
suy ra sự bằng nhau, đồng dạng của những tam giác để đi đến kết luận.
2.1.2. Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác
Bài toán 1 (Bài toán chứng minh hai tam giác đồng dạng)
Bài toán 1.1.
Cho hai tam giác ABC và A B C có AB
Chứng minh rằng hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải

- 11 -

AB , BC

B C , CA C A .

thành

đường tròn O .
Giả sử V1 : A a A1, B a B1, C a C1 . Ta có A1B1 // AB , B1C1 // B C ,
C1 A1 // C A .

Từ

o

QO90 : A1BC
a
1 1

đó

suy

ra

A1B1

AB, BC
1 1

BC, C1A1

CA hay

A2B2C2 .

NGUYỄN THỊ HẰNG

Lời giải
Hạ BI 1
thì

I 1B
I 1P

Z1

CP tại I 1 , đặt k1

R

I 1C
I 1B

k1 . Xét phép đồng dạng:

Q
M

Z I 1, k1, 90o : B a C, P a B

nên

C

uuur


AB , phép đồng dạng Z1 biến điểm B thành điểm C nên Z1
BA

thành

tia

CR.

Kết

hợp

với

2

ta

có:

uuur uuur uuur
uuur
uuur
Z1 : A a R hay Z1 : AB a RC . Mặt khác AP AB BP nên suy ra:
uuur
uuur
uuur uuur uuur uuur
Z1 AP Z1 AB Z1 BP RC CB RB suy ra AP RB .

I 2C
I 2A

3

AR nên Z2 biến tia NB thành tia AR

- 13 -

4


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

Từ

3

suy ra Z2 biến điểm B AB

4

và

NGUYỄN THỊ HẰNG

AR. Vậy Z2 : N a A, A a C, B a R

R CR


Bài tốn 1.3.
Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì khơng trùng với các đỉnh tam
giác. Ta kí hiệu M 1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục BC , M 2 là ảnh
của M qua phép đối xứng trục CA , M 3 là ảnh của M qua phép đối xứng
trục AB . Chứng minh rằng

BM 1M 3 đồng dạng với

CM 1 M 2 .

Lời giải
Ta có :

A
M

BM1

BM Phé
p đố
i xứ
ng qua trục BC

BM3

BM Phé
p đố
i xứ
ng qua trục AB


1

·
MBM
3

C

B

2.60o 120o . Tương tự

· CM 120o .
CM1M2 cân tại C và M
1
2

M

1

Do đó hai tam giác cân BM1M3 và CM1M2 đồng dạng vì có các góc ở đỉnh
bằng nhau.

- 14 -


PHẫP BIN HèNH VI CC BI TON V TAM GIC

NGUYN TH HNG


B

G

A'

C

ABC .
Ta s chng minh O, O , H , G thng hng.
Tht vy: GA

1
1
GA . Tng t ta cú VG 2 : A a A , B a B , C a C .
2

1

Vy VG 2 : ABC a

A B C s bin im O thnh im O .

Do ú G, O, O thng hng

(1)

Mt khỏc ta li cú:
OA


Từ(1) và(2) ta suy ra H , G, O, O thẳ
ng hà
ng.
Đường thẳng đi qua các điểm đó gọi là đường thẳng Ơle.
Khai thác bài tốn trên:
“Chứng minh rằng trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân
đường cao và ba trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh cùng
nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn Ơle.”
Lời giải
Gọi

A , B , C lần lượt là

H

A

2

trung điểm BC, CA, AB .
H1, H 2 , H3 lần lượt là giao

điểm

của

các

đường

B

C

đường cao hạ từ các đỉnh
H1

A, B, C của ABC .

Trong

H'1

BHH1 có BA1 vừa là đường cao, vừa là phân giác nên A1 là trung

điểm của H1H . Chứng minh tương tự ta có B1 là trung điểm H 2 H và C1 là
trung điểm của H 3H .
Mặt khác gọi AH1 , BH2 , CH3 là đường kính của đường tròn O .

BH1 // CH cù
ng vuô
ng gó
c vớ
i AB
ng vuô
ng gó
c vớ
i AC
CH1 // BH cù
- 16 -


MàH1, H2 , H3, H1 , H2 , H3 , A, B, C nằm trên đường tròn O . Do đó
A1, B1, C1, A , B , C và trung điểm của HA, HB, HC nằm trên một đường
A

1
2
H

tròn. Đó là đường tròn V

O, R = O , R với

1
2
H

O

V

R

1
R
2

O

Kết luận

N

O

E

trung Gđiểm của AE vàDC ta suy ra
H

M

o

B

QB60 : M a N . Chứng tỏ BMN là tam
A'

C

giác đều đpcm .

H1

- 17 -

A

B


phép

o

QB30 : O3 a K K
A

Vì

30o .
quay:

AB

O1 a H H
ABC1 M'và

B1

A

C1

BA1

O3

O2
F



hay ta có

3

H

E

. Từ đó ta suy ra

3
A1

KH // AA1 và
30o
B

Vì Q

KH
AA1

1

.

(1)

3

, EF
1 2

Từ (1) và (3) ta suy ra KH

(3)

30o

(4)

EF , KH // EF

(5)

Từ (2), (4) và (5) suy ra O1O3 O1O2
- 18 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

F

Mặt khác ta lại có
uuuur uuuur
uuuur uuur
C
OO


60o

G
A

P

O là tam giác đều (đpcm).
Vậy OO
1 2 3

Bài toán 5

A

d

B

M

B
Cho hai tam
giác vuông cân OAB và OA B cùng vuông tại O sao cho

O nằm trên đoạn AB và nằm ngoài đoạn AB . Gọi G và G lần lượt là
trọng tâm

OAA và


OBB . Nghĩa là
G'

:G a G .

G

Vậy OGG vuông cân (đpcm).

A

B'

O

Bài toán 6
Trên các cạnh của

ABC , dựng về phía ngoài của tam giác đã cho các

·
·
·
tam giác ABM, BCN, CAP sao cho CAP
= CBN
= 45o , ·ACP = BCN
= 30o ,

·


A
M

- 19 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

sin45o
sin30o

PC
Vì
PA
Q M ,150o

B

A

sin30o
sin45o

NB
k,
NC
Z P,k ,105o

NGUYỄN THỊ HẰNG

k

M

PAC :
PMM :

M.

M.

Từ đó suy ra:

PMM

B.

M'

PAC, NMM

NBC . Mà đã có

NMM g.g . Vì thế nên ta có
NMM . Hai tam giác có MM
C

N

P

B

A

2.2. Ứng dụng giải bài toán tính toán trong tam giác
M

2.2.1. Bài toán tính toán
Bài toán tính toán trong tam giác là dạng bài toán tính số đo các góc, các
cạnh, diện tích, chu vi... hay thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng hình
học. Việc tính toán này dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, ta cần thiết lập
mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài toán với các giá trị cần
tính toán.
Trong một số bài toán việc sử dụng các phép biến hình sẽ cho ta cách giải
nhanh gọn. Xác lập các mối quan hệ giữa các đại lượng hình học được thực

- 20 -


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC

NGUYỄN THỊ HẰNG

hiện nhờ một số phép chuyển dịch, bảo tồn độ dài đoạn thẳng và bảo tồn
góc để đưa những yếu tố đã biết và những yếu tố cần tính xích lại gần nhau.
Các bước giải: 3 bước
Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính tốn.
Bước 2: Nghiên cứu giả thiết và kết luận sau đó lựa chọn phép biến hình
phù hợp.



thì

sẽ

Mặt

M

có
khác

N

AN 3x . Áp dụng định lí
B

C

Pitago trong tam giác vng MBN
ta có : MN 2

hay AN 2

BM 2

AM 2

BN 2



MA2

MB, NA MC v AN 2

AM 2

MN 2 do

MB2 .

nu

thay

gi

thit

MA2

MB2 thỡ bi toỏn vn hon ton gii tng t v ta cú bi toỏn:

MA : MB : MC 1: 2: 3

bng

gi

thit


giỏc mt tam giỏc u ACD . Tớnh di on thng BD .
Li gii
Ta dng ra phớa ngoi

ABC thờm

mt tam giỏc u na l

BCE . Xột

C

E

phộp quay:

D

o

QC60 : A a D, E a B do ủoựBD AE.
ã
ã
ã
Ta coự ABE
ABC
CBE
120o


2

28

AE 2 7 cm .

Bài tốn 1.3.
Cho

·
= 80o . Bên trong tam giác lấy điểm
ABC cân AB = AC có BAC

·
·
·
.
MBC
= 30o , MCB
= 10o . Tính số đo góc MAC
M sao cho
C

E

Lời giải
A

Xét phép quay:
o

Vì B, E, C cùng nằm trên đường tròn tâm A suy ra EBC
30o . Mà ta có
BMC

BEC g.c.g do đó CE CM CA. Ba điểm E, M , A cùng nằm

·
·
·
trên đường tròn tâm C nên 2MAE
MCE
20o suy ra MAE
10o
·
·
hay MAB
10o . Vậy MAC
70o .

Bài tốn1. 4.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng
C

7 . Lấy M là một điểm trong tam

giác sao cho ·
AMB = 120o , AM = 1 . Tính độ dài đoạn thẳng CM .
Lời giải

- 23 -


1

BM 2

BM 2

BM 6 0

BM

2 BM

o

Xét QA60 M: M a M , B a C nên AM
·B
MAM

0

AM và

C

B

60o, MB M C 2.
C


· C
M C2 2.MM .M C.cosMM

MM C ta có:
1
1 4 2.1.2.
3
2

3.

Nhận xét
Nếu cho M nằm ngồi tam giác và các giả thiết khác giữ ngun thì ta sẽ
o

sử dụng phép quay QA60 và khi đó C, M, M thẳng hàng, từ đó suy ra
MC MM

M C 1 2 3.

Bài tốn 1.5.
Gọi P là một điểm nằm trong
A
M2

·
20o ,
ABC sao cho ·PAC = 10o , PCA=

·


Q

ABC

µ 100o .
cân tại C và C

A

M1

- 24 -

B


PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

Gọi

là trục đối xứng của

Gọi Q Ñ P

NGUYỄN THỊ HẰNG

ABC C

thì

· , vừa là phân
PQB c.g.c suy ra PQ vừa là phân giác của CBP

CQB
giác

·
BPQ

·
. Xét phép đối xứng trục:
CQP
ÑBQ

·
BCQ

Ñ

ÑBQ : BQC a

BQP

nên

·
PCA
20o

·


- 25 -