Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Trong quá trình học tập và lĩnh hội kiến thức Vật lý thì việc giải bài tập giữ
một vai trò khá quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn phần
lý thuyết đã học, bởi lẽ chỉ có thể giải được bài tập khi đã tìm hiểu cặn kẽ phần kiến
thức lý thuyết về nó.
Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại học đó
là môn Cơ học lượng tử, đây là bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30
của thế kỷ XX. Với số lượng bài tập tương đối nhiều và khá đa dạng, tuy nhiên phần
kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp.
Chính vì vậy mà việc tìm hiểu, tập hợp, phân loại các bài tập cơ bản trong phạm vi
kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực, và trong đó việc giải các
bài toán một chiều để nghiên cứu tính chất của hạt chuyển động theo phương Ox là
một dạng bài toán rất hay và hữu ích.
Từ những đặc điểm nêu trên là lí do mà em lựa chọn đề tài: Phương pháp
giải một số dạng bài toán một chiều trong Cơ học lượng tử
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số dạng bài toán một chiều trong Cơ học lượng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài toán một chiều thuộc các dạng bài tập cơ bản của
Cơ học lượng tử,
4. Đối tượng nghiên cứu

Bài tập Cơ học lượng tử.
5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp Vật lý lý thuyết và phương pháp Vật lý - toán.







Khi đã chuẩn hoá
Khi chưa chuẩn hoá

1.2. Bài tập:
Bài tập 1.1.
Tìm xác suất để đo được giá trị px của xung lượng của dao động tử ở trạng
thái cơ bản n 0 :
1/4

m
m 2
0 x
exp
x


2

Bài giải
i
p x .x
1

e
Ta có: px

1
e
2





m
3 3
4
m
3
4

m
3 3
4

1

4

m

exp 2 x



2

2
m 2
ip x
p 2x
ip x
exp 2 x 2 m x m 2m dx





1

4

2
m

ip x
p 2x
exp 2 x m exp 2m dx



1

2
m
p 2x
ip x




m
m
2




1

2

P
x

p 2x
1
m 4 2
m
C px 3 3
exp

.e

m
4 m
2m


(1)

2''

2m
U ( x ) En 2
2

(2)

Vì 1 , 2 0 , chia các vế tương ứng của (1) và (2) cho nhau
1'' 1

2'' 2

Hay 1'' 2 1 2'' ( 1' 2 1 2' )' 0
Từ đây suy ra
1' 2 1 2' const

(3)

Vì phổ năng lượng gián đoạn, nên ở vô cùng 1 , 2 0 , bởi vậy const 0 .
Vậy
1' 2'

ln(c 1 ) ln 2 và 2 c 1
1 2

Trái với giả thiết là hệ 1 , 2 độc lập tuyến tính. Do đó mức En không suy
biến.

2m


''( x ) 2 En U ( x ) ( x ) 0




Thành thử ( x ) và ( x ) đều mô tả trạng thái ứng với năng lượng En của hạt,
và vì ( x ) ( x ) nên hàm ( x ) phải là hàm chẵn (hoặc lẻ) của toạ độ
2.2. Hạt chuyển động trong giếng thế sâu vô hạn
2.2.1. Cơ sở lý thuyết
Xét hạt chuyển động trên trục Ox, trong trường thế có dạng một giếng sâu
vô hạn:
0 nếu 0 x a
U x
nếu x 0, x a

(1)

Hạt sẽ chuyển động tự do trong khoảng 0 x a còn ngoài khoảng đó
không có hạt nên x 0 .
Phương trình Schrodinger cho hạt ở trong giếng thế:
'' x

Đặt k

2m
E x 0, 0 x a
2

a
a

n x

2
Trong đó hệ số chuẩn hoá A
tìm từ điều kiện
a

a

2

n x dx 1
0

2.2.2. Bài tập
Bài tập 2.1.
Tìm hàm sóng của hạt trong biểu diễn năng lượng khi hạt ở trong giếng
thế một chiều có thành cao vô hạn có bề rộng d và ở trong trạng thái:
x 2 4d 2 0 x d

x d, x 0
0

Bài giải
Trong biểu diễn tạo độ hàm sóng của hạt và năng lượng hạt trong giếng thế
một chiều cao vô hạn bề rộng d là:
n x

d

d

2 2
n
2
n
x sin( x)dx  4d 2
sin( x)dx
tÝnh 


d0
d
d0
d
d

I1   x 2 sin(
0

(1)

n
x)dx
d

TÝch ph©n tõng phÇn:
d

d
d

d
n
d
n
I2 
xsin( x) 0d 
2sin( x)dx

n
d
n 0
d
d

d
n
I 2    sin( )dx
n 0
d

(3)

Thay (3) vµo (2) ta cã:
d

d3
2d 2



0 d
d  n
n 2 2 0
d


7





2 d3
2d3
4d3
n
n
n



1


1

1



x, y, z E x, y, z
2m x 2 y 2 z 2

Vì E const nên ta có thể viết: E E1 E 2 E 3
Đặt: x, y, z x y z
Phương trình (1) trở thành:


2 2
2
2



x y z E1 E 2 E 3 x y z
2m x 2 y 2 z 2

Chia hai vế của phương trình cho x y z ta được:
2
2
2
2 1 x
1 y
1 z




E1 E 2 E 3


2
d 2 z 2m
2 1 z

E3
2 E 3 z 0
2m z z 2
dz 2


(4)

Ta có thể giải phương trình (2), còn phương trình (3) và (4) cho nghiệm hoàn
toàn tương tự.
Giải phương trình (2) ta có phương trình đặc trưng: q 2
q i

2m
E1 0
2


2mE1
2mE1
ik ; k

2

2

Các giá trị n1 0 , dẫn đến 0 do đó xác suất tìm thấy hạt tại mọi điểm
trong giếng thế bằng 0, điều này mâu thuẫn với bài toán là cho hạt trong giếng thế.

9


Vậy n1 0 bị loại trừ, các giá trị ứng với n 1, 2... thì hàm sóng đổi dấu so với
các hàng song tương ứng với n 1,2,... . Như vậy hai hàm sóng khác dấu cùng mô
tả một trạng thái của hạt. Vì vậy chỉ cần lấy các giá trị dương và nguyên của n.
Vậy nghiệm của (2) là:
2
n1x
2 n12 2
x
sin
;E1
a
a
2m a 2

với n 1,2,3..

Giải tương tự với (3) và (4) ta có:
y

2
n y
2 n 22 2
sin 2 ;E 2
với n 1,2,3..

Phương trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt ở miền có dạng:

10


miền I
miền II
miền III

'' k 20 0

2
'' k 0

2
'' k 0 0

Đặt k 0

(1)
(2)
(3)

2m U 0 E
2mE
;k



Nghiệm của phương trình có dạng:





Giải hệ phương trình tìm các giá trị của 4 ẩn A, B, C, D
Gọi R

Cường độsóng phản xạ
Hệsố phản xạ bởi hàng rào thế
Cường độsóng tới

11


2

Ae ik 0 x
2
A
Ta có hệ số phản xạ bởi hàng rào thế: R ik 0 x
e
2

Deik 0 x
2
Hệ số truyền qua hàng rào thế: Q ik 0 x D
e

Tính toán hệ số D: Deik 0 x


khi U U x

2

2
2

ikk 0

2

Q D De ik 0x 16

ik 0 k

2

16

e 2 ka

k k0

k0 k

2

e2ka

2

T cộng với thế năng U) đi từ trái qua phải.
Theo cơ học cổ điển nếu E U 0 thì hạt có thể đi qua O. Tại điểm này đông
năng của hạt giảm: trước khi đi qua O động năng có gía trị bằng E U 0 như vậy
hạt có thể hoàn toàn đi qua O (không có phản xạ).
Cũng theo cơ học cổ điển nếu E U 0 thì hạt không thể đi qua O vì tại miền
x 0 động năng T của hạt có giá trị âm E U 0 0 . Điều này không thể xảy ra

được. Hạt bị phản xạ hoàn toàn tại O.
Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong cơ học lượng tử:
Phương trình Schrodinger đối với chuyển động của hạt có dạng:
2 d2
2m dx 2 x E x



(1)

Trong miền x 0 thì U x 0 phương trình có dạng:
2 d 2

x E x
2m dx 2

Hay là:

d2 x
dx 2





Ta phân biệt hai trường hợp E U 0 và E U0 và xét riêng từng trường hợp:
1. Trường hợp E U 0
Trong miền x 0 hàm sóng thoả mãn phương trình
2mE

(4) d2
2


x
k 20 x 0

2
2m E U 0
dx
k12
(5)
2


k 20

Và nghiệm có dạng x eik 0 x Ae ik 0x

(6)

ở vế phải của (6) ta chọn hệ số bên cạnh e của số hạng thứ nhất bằng 1 để
cho đơn giản phép tính, điều này cho thấy có thể làm được vì hàm riêng x được
xác định sai khác nhau một hằng số nhân.


(11)

Giải hệ phương trình nói trên đối với A và B ta thu được:

14


A

k 0 k1
k 0 k1

Và B

(12)

2k 0
k 0 k1

(13)

Thay k0 và k1 từ (4) và (5) vào (12) và (13) ta được kết quả cuối cùng của A
và B như sau:
A

k 0 k1 2E 2 E E U 0 U0

k 0 k1
U0

e ik 0x

2

2

A

2

2E 2 E E U 0 U 0

2

U0

8E 2 8EU 0 8E E E U 0 U 20 4U 0 E E U 0
U 20

Hệ số truyền qua hàng rào thế là:
2

Q 1 A 1



8E 2 8EU 0 8E E E U 0 U 20 4U 0 E E U 0
U 20

8EU 0 8E E E U 0 8E 2 4U 0 E E U 0


(15)

áp dụng các điều kiện biên (8) và (9) ta có:

1 A C

(16)



ik 0 1 A kC (17)

k 0 ik

A


k 0 ik

Giải hệ phương trình (16), (17) ta có:
C 2k 0

k 0 ik

(18)
(19)

Cũng như trường hợp 1 ta thấy không có sự đòi hỏi gì đối với k và k0 do đó
năng lượng có thể có giá trị liên tục.

2
0
0

Trong đó tần số góc của dao động

k
m

2m
m2 x 2
Giải phương trình Schrodinger: '' 2 E
x 0

2

Đặt x

m
2E
;
phương trình (1) có dạng:







'' 2 0





y

a kk


k 0




k 1
y'

ka


k 1 a k 1



k
k 0
k 0




1

Biểu thức của năng lượng: E n n n 0,1,2,...
2


Năng lượng của dao động tử bị lượng tử hoá, nó phụ thuộc vào số lượng tử n.
Trạng thái ứng với n 0 gọi là trạng thái cơ bản của dao động tử lượng tử. Thay
1 2n vào (5) phương trình trở thành:
y'' 2y' 2ny 0

(6)

(6) là phương trình Hermite, nghiệm là đa thức Hermite bậc n:
d n 2
H n 1 e
e
d n
n

2

Một số đa thức Hermite đầu tiên:
H0 1
H1 2
H 2 4 2 2
H 3 83 12

18


1

m 4
m 2
0 x
exp
x

2

Bài giải
Dao động tử điều hoà một chiều ở trạng thái:
1
4

m
m 2
0 x
exp
x


2


Ta có: p x

x p x dx
*
0

19



2
x

   x  p   x  dx
*
0

p 

2
x

0




 2 2 
p    0  x   
 x dx
2  0 

x




x


2













1

 m  2
 m 2  m   
 m 2  
p 2x   2 
exp  
x  
x
exp


  2  x   dx

  
 exp  



2

2


2


  






 



m33
 m 2   m 2 
p 
exp
    x  1   x  dx
 

 x e dx 







 2n  1!!
2

n

n
a

2 n 1


 m 2 
x  dx 

m


 exp  





n



   x  x   x  dx   x   x  dx
*
0

x 

n

n

2
0

0





1



 m  2
 m 2 
xn   xn 


 m  2
 m 2 
k
x
exp
x  dx
NÕu n  2k  x n  
 

   
 


Theo tÝch ph©n poisson:

 2n  1!!



x

2 n  ax 2

e

dx 

2



 
 m 



2k 1

k

 m  2
 m 2 
2k 1
x
exp
x  dx  0
+ NÕu n  2k  1 th× x n  
 

   
 


 m 2 
x  lµ hµm lÎ
V× x 2 k 1 exp  
 


21

Ta có: F gradu U Fdx q x

Phương trình Schrodinger của dao động tử một chiều dưới tác dụng của điện
trường không đổi :
2 d 2 1

2 2
H x x

m

x

xq

r E x
2
2
2m dx

2
2

2q q x
2 d x 1
2
2

m x



2m







2

q
q khi đó (1) trở thành
;E'

E

Đặt X x
m2
2m2
2
2 d x 1

m2 X 2 x E' x
2
2m dx
2

22



2/ 2

Thì phương trình (2) có nghiệm là: n A n e H n
Sau khi chuẩn hoá hàm về đơn vị ta có:
An

1
2 n n!

1

E 'n n n 0,1,2...
2

1

X2
1
m 4
n x
exp
H n x

2 n n!
2

m
n x





23


Chương 3
Dạng bài toán chuyển động ba chiều đưa về dạng
một chiều
3.1 Cơ sở lí thuyết
Xét bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm trong đó thế năng phụ
thuộc vào khoảng cách r x 2 y 2 z2 đến 1 điểm cố định nào đó.
Toán tử Hamilton của hạt:
H

2 2
L2
(
r
)

U (r )
2mr 2 r
r 2mr 2

Ta có: Toán tử bình phương momen xung lượng
2

2


2l 1 (l m )! m
Pl (cos )eim
4 (l m )!

Nghiệm của phương trình Schrodinger: Elm (r, , ) fEl (r )Ylm ( , )
Với phép đặt (*) còn dạng của H cho bởi
H

2 2
L2
(
r
)

U (r )
2mr 2 r
r 2mr 2

Và L2Ylm l(l 1)2Ylm thì phương trình Schrodinger
H (r, , ) E (r, , )
Sẽ biến đổi về phương trình vi phân cho hàm f (r )
d 2 df
2 mr 2
l(l 1)2
(r
) 2 E U (r )
f (r ) 0
dr
dr




Trùng với phương trình Schrodinger cho chuyển động một chiều trong trường
thế:
l (l 1)2
U1 ( r ) U ( r )
2mr 2

Bài tập 3.1
Xác định các mức năng lượng của hạt ở trạng thái s (l=0) trong giếng thế đối
xứng xuyên tâm:
U 0 khi r a
U (r )
khi r a
0
Phương trình schrodinger đối với hàm bán kính R(r) khi l=0, có dạng:
d 2 R 2 dR 2m


E U (r ) R 0
dr 2 r dr 2
f (r )
Đặt R(r )
ta có phương trình:
r
d 2 f 2m
2 E U (r ) f 0
dr 2

1

C
khi r a
r
r

25