1

Chương 8
BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
Trong chương 3 ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ thời gian liên tục với
tần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc. Sự
biểu diễn hai hình thức Fourier trên là CTFS và CTFT, là không tuần hoàn trong miền tần số nhưng
hai phép biến đổi DTFS và DTFT thì toàn hoàn trong miền tần số đó là kết quả của sự lấy mẫu thời
gian.
Trong chương này, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và biến đổi Fourier nhanh được xét đến như
sự trình bày Fourier thứ ba mà áp dụng cho tín hiệu không tuần hoàn rời rạc thời gian có chu kỳ giới
hạn. DFT và FFT thì rất hữu ích trong sự phân tích và xử lý nhiều vấn đề của hệ thống và tín hiệu biến
biến thời gian LTI. Chúng cho phép xử lý bằng máy tính và vi xử lý tín hiệu số. Thật ra, DFT và FTT
đã được nói đến trong chương 3 (phần 3.9)

Tín hiệu tương tự tuần hoàn

Tín hiệu tương tự không tuần hoàn

Rời rạc và không tuần hoàn

Rời rạc và tuần hoàn

Phổ rời rạc không tuần hoàn

Phổ liên tục không tuần hoàn

Phổ liên tục tuần hoàn
spectrum

Rời rạc và tuần hoàn

Chú ý rằng tín hiệu thời gian x(n) thì rời rạc nhưng DFT của nó X ( ) thì liên tục theo tần số, và cũng
giống như vậy với DTFT. Sự biến đổi áp dụng cho hệ thống là



H ( ) 



 h( n)e

 jn

(Đáp ứng tần số)

(8.3)

n  

h( n) 

1
2

  H ( )e

jn

2






Hình 8.2: Lấy mẫu đáp ứng tần số

8.1.2 DFT và đảo của nó
Đầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) cũng như biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) được lấy
mẫu tại những khoảng bằng nhau. Xét một tín hiệu nhân quả x(n) DTFT của nó có được từ (4.1) với
ngưỡng dưới của tổng là không.


3



X ( )   x(n)e  jn

(8.5)

n 0

Kế đến xét một tín hiệu hữu hạn thời gian có N mẫu (từ n=0 đến n=N-1) thì biến đổi trên trở thành
N 1

X ( )   x(n)e  jn

(8.6)

n 0


(8.8)

n 0

k được gọi là hệ số phổ và X(k) gọi là tần số lấy mẫu. Chuỗi x(n) có giá trị thực hoặc phức
Biến đổi ngược, tín hiệu x(n) được phục hồi như

x ( n) 

1
N

 X ( k )e

j ( 2 / N ) kn

,

n  0, 1, 2,..., ( N  1) (IDFT)

(8.9)

Ta thấy DFT và IDFT thì giống như chuỗi Fourier rời rạc thời gian của x(n) tại chu kỳ N (phần 3.4).
Từ sự định nghĩa của DFT, ta dễ dàng thấy rằng X(0) là thực nếu x(n) thực.
DFT áp dụng cho hệ thống.
N 1

H (k )   h(n)e  j ( 2 / N ) kn , k  0, 1, 2,..., N  1 (DFT)
h( n) 

WN*  WN1

(8.12d)

Với dấu sao chú thích là liên hiệp phức. Cũng như vậy, thay vì viết (2 /N) biểu thức như trên ta cso
thể viết
để rõ ràng hơn.
Ví dụ 8.1.1
Tìm DFT N điểm của tín hiệu


4

(a) x1 (n)   (n)
(b) x2 (n)  1

(c) x3 (n)   (n  n0 ), 0  n0  N
(d) x4 (n)  2 n , 0  n  N
(e) x5 (n)  4(n)  4(n  n0 ), 0  n0  N
(f) x6 (n)  cos n0 , 0  n0  ( N  1) and 0  (2 / N )k 0
Giải
(a) Từ sự định nghĩa của DFT
N 1

X 1 (k )    (n)e  j ( 2 / N ) kn  1e  j ( 2 / N ) k 0  1, k  0, 1,..., N  1
n 0

(b) Từ sự định nghĩa của DFT
N 1



n

Sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn( ), ta có





1  e  j ( 2 / N ) k
X 4 (k ) 
, k  0, 1,..., N  1
1  e  j ( 2 / N ) k
(e) Chú ý rằng x5 (n) là xung chữ nhật số (thấy ) có độ rộng không mẫu.
N

Như trong (4.10a) và (4.10b), ta viết

WN  e  j ( 2 / N )
WNkn  e  j ( 2 / N ) kn , WN kn  e j ( 2 / N ) kn
Vì vậy, từ định nghĩa của DFT và sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn ( ), ta có
n0 1

X 5 (k )  W
n 0

Tử số, lấy W
thành

kn0 / 2


5

Vì vậy

X (k ) 

N 1

e

1
2

 j ( 2N k 0 ) n

 12 e

 j 2N ( k  k0 ) n

 12  e

n 0

 j ( 2N k 0 ) n

Với 0  (2 / N )k 0

X (k ) 



1
N

 X (
k 0

k

(DFT)

)e jk n , n  0, 1,..., N  1

(8.13)

(DFT) (8.14)

Vì vậy ta có thể tính X ( k ) thay vì như thông thường X(k).
Ví dụ 8.1.2 (cũng thấy trong ví dụ 3.9.2)
(a) Tín đáp ứng tần số DFT H ( k ) của một lọc FIR mà có đáp ứng xung là
h(0) = 0, h(1) = 1, h(2) = 2, h(3) = 3, otherwise h(n) = 0.
(b) Chứng mình rằng từ 4 giá trị của H ( k ) đáp ứng xung có thể phục hồi một cách hoàn toàn
Giải
(a) Đáp ứng xung có 4 giá trị, vì vậy N = 4 và  k  2 / 4 . Cũng chú ý rằng dải 0  n  3 thì
h(n) = n. Đáp ứng tần số H ( k ) là
3

3

n 0

2 2


6

0
0

 /2
1


2

3 / 2
3

k
k

Hình 8.3: Ví dụ 8.1.2 Đáp ứng tần số DFT

(b)
Trong hình 8.3 ta có thể tưởng tượng rằng đáp ứng tần số liên tục (đường chấm) được
lấy mẫu đồng nhất tại 4 điểm. Bây giờ ta muốn biết liệu đáp ứng xung có phục hồi một cách đầy
đủ từ những mẫu này hay không
Đầu tiên, DFT đảo được cho bởi

h( n) 


Ta lấy giá trị đầu của h(2) và h(3). Bên cạnh đó, nếu ta tính h(4), h(5)…ta sẽ thấy chúng là h(0),
h(1)…vì vậy DFT là tuần hòan ở chu kỳ N.
Ví dụ 8.1.3
Một tín hiệu audio băng thông hạn giới hạn tại 8kHz được lấy mẫu tại 20kHz và sau đó DFT được tính
tại 1000 điểm.
(a) Tìm khoảng cách giữa những mẫu tần số
(b) Đáp ứng tương tự với hệ số k = 200 ?
Giải
(a)
Với tốc độ lấy mẫu f s  20 kHz và DFT lấy tại N  100 điểm, khoảng lấy
mẫu tần số là f 
(b)
viết

f s 20000

 20 Hz
N
1000

Tần số gốc tương tự  rad/sec liên hệ với tần số số  rd/sample bằng ( 1.39), nhưng ở đây ta

k 

k
fs

DFT N điểm nghĩa rằng DTFT được lấy mẫu tại N điểm tần số. Vì vậy tần số DFT

k 

X (k )  X R (k )  jX I (k )  X (k ) e j ( k )
Với



X (k )  X R2 (k )  X I2 (k )



1

2

(8.15b)

và

(k )  arg X (k )  arctg

X I (k )
X R (k )

(8.15c)

Là phổ biên độ và phổ pha X(k), tương ứng
Ví dụ 8.1.4
Chuỗi số được cho như

x(n)  0, 0, 1, 1, 1, 1, 1


sin(k / 10)
4
sin(k / 2)
(k )  
k ,
0
5
sin(k / 10)
4
sin(k / 2)

k,
0
5
sin(k / 10)
X (k ) 

Ví dụ 8.1.5
Một xung chữ nhật có chiều dài L
x(n)  L, 0, 1, ..., L  1
0, otherwise
(a) Tìm DFT của nó
(b) Dẫn xuất ra số điểm DFT với N  L


8

Giải
(a) Từ(8.1) DFT được cho bởi


sin(kL / N )

, k  0, 1,..., N  1
sin(k / N )
Nếu số điểm DFT gần bằng với chiều dài tín hiệu L thì
X (k )  L, k  0
X (k ) 

 0, k  1, 2,..., L  1
Điều này giống với ví dụ 8.1.1b và 8.1.1e.

Dù DTFT X ( ) trình bày tuần tự x(n) trong miền tần số vì  liên tục, nhưng L điểm DFT không
cung cấp đủ chi tiết đặc tính phổ của x(n) vì khoảng tần số giữa những điểm tần số không đủ gần.
Giải pháp cho vấn đề này là lấy N điểm DFT với N > L, điều này đồng nghĩa với việc tăng chiều dài
của chuỗi tín hiệu L đển N bằng cách cộng thêm N-L mẫu không. (đây là cách thêm không như trên).
Ví dụ 8.1.6 [Trích từ A. Antoniou, 2006]
(a) Tìm phổ DFT của chuỗi tuần hoàn
với chu kỳ N = 10

(b)

Bây giờ chuỗi được thêm không vào cuối để chiều dài từ 10 thành 20. Tìm phổ DFT sau khi
thêm không.

Giải
(a) DFT của chuỗi tuần hoàn

là

Bằng cách sử dụng chuỗi hình học ta có

T

Thật ra, x và X là những vector cột N  1 nhưng được viết ở dạng chuyển vị. Đầu tiên ta định nghĩa
ma trận N×N W là thừa số W Nkn :
1 1 ... 1



1
N 1
1 W N ...W N

kn
W  W N 0 k ,n N 1  

 



2
1 W NN 1 ...W N( N 1) 
Ví dụ, với N = 5 ma trận là
W N0 W N0 W N0 W N0 W N0 
 0
1
2
3
4 
W N W N W N W N W N 
W  W N0 W N2 W N4 W N6 W N8 

Sự biến đổi là
1
1 
1 1
1 W 1 W 2 W 3 
4
4
4 
X
x
1 W42 W44 W46 

3
6
9
1 W4 W4 W4 
Từ thuộc tính đối xứng và tuần hoàn (phần 8.2) ta có
W40  W44  1, W41  W49   j, W42  W46  1, and W43  j .
Vì vậy
1
1  1  2
1 1
1  j  1 j  1  1 
   
X
1  1 1  1  0 0

  
1 j  1  j  0 1 



3
W46 W49 
1 W4
1
1  2  1 
1 1
1 j  1  j  1  j  1 
1

 
 
4 1  1 1  1  0  0


  
1  j  1 j  1  j  0

Đây là

x(n)  [1, 1, 0, 0] như mong đợi.

8.2 THUỘC TÍNH CỦA DFT

DFT có nhiều thuộc tính giống với DTFT. Tuy nhiên, trong DFT dịch tần số và thời gian thì
không tuyến tính nhưng vòng, điều này làm DFT có nhiều thuộc tính phức tạp.
8.2.4 Tuần hòan
Tín hiệu x(n) (hoặc đáp ứng xung h(n)) có chiều dài hữu hạn N (có những mẫu n = 0 đến n = N - 1)
DFT X(k) (hoặc đáp ứng tần số H(k) tuần hoàn với chu kỳ N, nghĩa là, sự biến đổi trong
dải 0  k  N  1 ) được lặp lại bên ngoài dải. Thuộc tính tuần hoàn có thể diễn tả về mặt toán học như

n 0

Như ta biết từ (8.12d) WN*  WN1 , vì vậy nếu x(n) thực phần bên phải của công thức trên là X * (k )
Nếu x(n) thực thì X(0) cũng thực vì vậy X ( N )  X * (0) cũng thực. Sự đối xứng này còn được gọi là
liên hiệp phức đối xứng.


12

Quan trọng hơn, khi N chẵn, thường là mũ của 2, DFT X(k) sẽ là một hàm đối xứng của k qua điểm
giữa N/2 ( nhìn lại ví dụ 8.1.2), đặc biệt, phổ biên độ đối xứng chẵn và phổ pha đối xứng lẻ qua điểm
giữa.

N
N

N

X  k  X  k, 0  k 
2
2

2


(8.22a)

N
N


Đối xứng

1

2

3

N/2

4 5

Đối xứng

(a) N even (N = 8)

(b) N odd (N = 7)

Hình. 8.5: Đối xứng của DFT với tín hiệu thực

Hình.8.6 : Phổ biên độ và pha DFT 256 điểm của tín hiệu
x(n)  0.8n  (0.9)n
8.2.4 Dịch vòng

, n  0, 1,..., 256

6 7 k
N-1 N



2

1
2

3

4

n

-1

0

1

2

1

0

0
1

x(2)

0



3

4

n

-1

0

1

2

3

4

Hình 8.7.: Chuỗi x(n) có 4 mẫu (N = 4) và dịch vòng

Xét x(n) là một chuỗi với chiều dài hữu hạn N trong khoảng [0, N  1] và khơng bên ngồi.
Một chuỗi tuần hồn xp(n) được hình thành từ x(n) như sau
xp(n) = x(n mod N)

(Mở rộng tuần hồn)

(8.23)

Với mod N là tốn hạng module, mà được định nghĩa như

1

2
1

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

n

Hình 8.8 Sự hoạt động của n mod 3
Chuỗi tuần hoàn xp(n) định nghĩa trong (8.23) được gọi là sự mở rộng tuần hoàn của x(n). Chú
ý rằng xp(n) = x(n) với 0  n  N  1 và xp(n) mở rộng x(n) một cách tuần hoàn trong cả hướng âm
và hướng dương. Từ sự mở rộng tuần hoàn (8.23) sự mở rộng tuần hoàn của chuỗi x(n) được dịch thời
gian bởi n0 là
Một dịch vòng của mẫu n0 của chuỗi x(n) có N mẫu có thể diễn tả

x p (n  n 0 )  x[(n  n 0 ) mod N]

(Dịch vòng)

(8.25)

Sự mở rộng tuần hoàn của thuộc tính dịch thời gian tương ứng như dịch vòng. Ta có thể suy luận N
mẫu của tín hiệu x(n) được chuyển thành những điểm xung quanh đường tròn (hình 8.6), thì sự mở
rộng tuần hoàn xp(n – n0) sẽ trình bày tín hiệu x(n) mà được dịch ngược chiều kim đồng hồ bởi n 0
mẫu. Hình 8.9 minh họa dịch tuyến tính và dịch vòng tương ứng với chuỗi gồm 5 điểm.
Ví dụ 8.2.1
Cho chuỗi x(n)  [1, 2, 3, 0, 0, 5, 6, 7] , tìm dịch vòng của tín hiệu


 j 210 k

 1  2(1)k  1  2k


15
(b) Nhân X1(k) với mũ phức  j (2 / N )km tương ứng với dịch tròn x1(n) đi m điểm. Here m =
-2 means x1(n) is shifted backward 2 points. Thus

x2 (n)  x1[(n  2) mod 10]  2 (n  3)   (n  8)
5

x(n)

4
3
2
1
1

0

2

3

4

n

4

5

n

0

1

2

4

n

5

5

x(n -2)

3

Xp(n - 2)

4

4



3

4
3
2

2
1

1
0

1

2

3

4

n

0

1

Hình 8.9.: Dịch tuyến tính và dịch vòng tương ứng
Ví dụ 8.2.3


16

Cho tín hiệu

x(n)  4 (n)  3 (n  1)  2 (n  2)   (n  3)

Và để X(k) có 6 điểm DFT, tìm tín hiệu y(n) mà có 6 điểm DFT bằng với phần thực của X(k)
Giải
Phần thực của X(k) có thể diễn tả như

X R (k )  12 [ X (k )  X * (k )]
Ta phải tìm X(k) và X * (k ) :
N 1

X ( k )   x ( n )e

 j 26 kn

n 0

  x(n)WNkn
*

N 1
 N 1

X (k )   x(n)WNkn   [ x * (n)W N kn ]
n 0
 n 0



 x ( n) 
n 0
2

Với x(n)

2

1
N

N 1

 X (k )

2

(8.28)

k 0

là công suất chuẩn hóa (nghĩa là, công suất/đơn vị điện trở) tại mẫu n. Công suất trung

bình là

Px 

1
N

(PDS hoặc PSD)

(8.30)


17

Ví dụ 8.2.4
Given the signal
Cho tín hiệu

x(n)  3,  1, 0, 2
Tìm công suất trung bình trong miền thời gian Px và trong miền tần số DFT Pk.
Giải
Phổ công suất trung bình Px là
1 N 1
2
Px 
x ( n)
N n 0





1
9  1  0  4  3.5
4
1 N 1
2

6
9
W4 W4 W4 W4  1 j  1  j 
Vì vậy DFT là X  Wx và có thể tìm thấy
 4 
3  j 3

X 
 2 


3  j 3
Hoặc

X (k )  4, 3  j3, 2, 3  j3

Bảng 8.1. cho ta thuộc tính của DFT. Nhân chập sẽ được thảo luận sau.
Bảng: 8.1 những thuộc tính chính DFT của một chuỗi thời gian có chiều dài N
Thuộc tính
Tín hiệu
DFT
Tuần hoàn
X (k  iN )  X (k )
x(n)
Tuyến tính
ax1 (n)  bx2 (n)
aX 1 (k )  bX 2 (k )
Đối xứng
x(n) real
X ( N  k )  X * (k )

N 1

 x ( n)

ý:

2

N 1

1
N

i  1,  2,...;

WN  e  j ( 2 / N ) ;

X (k ) * H (k )

X (k )Y * (k )

n 0

Định lý Parseval

Chú

1
N


Pk 

Ví dụ 8.2.5
Một tín hiệu có DFT 4 điểm X (k )  [4,  j 2, 0, j 2] , tìm
(a) Tín hiệu x(n – 2)
(b) Tín hiệu x(-n)
(c) Tín hiệu x * (n)
Giải
(a) Dịch thời gian là n0  2 , vì vậy, sử dụng thuộc tính của dịch vòng theo thời gian

DFT [ x(n  2)]  X (k )e  j ( 2 / 4) kn0  X (k )e  jk  [4, j 2, 0,  j 2]
(b) Sử dụng thuộc tính đảo,

DFT [ x(n)]  X (k )  X * (k )  [4, j 2, 0,  j 2]
(c) Sử dụng tính kết hợp trong thời gian,

DFT [ x * (n)]  X * (k )  X * (k )  [4, j 2, 0,  j 2]
 [4, j 2, 0,  j 2]
Ví dụ 8.2.6
Tìm DFT của tín hiệu

x(n)  1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0

Giải
Tín hiệu chỉ có hai mẫu nhưng được thêm không để có chiều dài N  8 . DFT là
7

1

n 0


Ngược lại DFT của chuỗi đó là:
N 1

N 1

X (k )   x(n)e  j ( 2 / N ) kn   x(n)WNkn
n 0

n 0

Vì vậy X(k) là X(z) khi thay z bằng e

j ( 2 / N ) k

 WNk :

X(k)  X(z) z  Wk , k  0,1,..., N  1

(8.32)

N

X(k) là X(z) được tính trên vòng tròn đơn vị tại những điểm W Nk
Nhớ rằng DTFT của x(n) cũng có biến đổi z trên vòng tròn đơn vị (phần 4.2.5) tại z  e j . Bằng
định thức Euler

WNk  cos( 2N k )  j sin( 2N k )
Ta có thể tìm giá trị của W



z1

z5

Re(z)

z7
-j z 6

Hình 8.10: DFT 8 điểm và biến đổi z tương ứng trên vòng tròn đơn vị
Bảng 8.2: Giá trị của z k  W8k
Điểm

W8k

z0

1

2 (1  j )

z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7


x(h)  h(n) 
 X ( ) H ( )
(8.35)
8.3.1 Nhân chập tròn


21

Trường hợp DFT của hai chuỗi x(n) và h(n) được cho có cùng chiều dài N (nếu không, ta
phải thêm không để chúng bằng nhau). Cho x(n) và h(n) là chuỗi N điểm, và cho hp(n) là sự mở
rộng tuần hoàn của h(n), thì nhân chập tròn của x(n) với h(n), được chú thích c(n), định nghĩa như
N 1

 x(m)h (n  m)

c(n)  x(n) h(n)

p

(8.36)

m 0

Sử dụng định nghĩa của sự mở rộng tuần hoàn (8.23) và (8.25) ta có thể viết
N 1

c(n)  x(n) h(n)

 x(m)h[(n m) mod N]


h(n)  1, 2, 3, 4

Tìm nhân chập tròn

x(n)

4
h(n)
4

Giải
Phương pháp giản đồ cơ bản.
Bước 1
Đầu tiên, ta thay biến n thành biến giả m và sắp xếp x(m) và h(m) vào hai vòng tròn cùng tâm với
x(n) và gốc thời gian m = 0 cố định (Hìn 8.11a). Đường tròn h(m) có h(0) opporite x(0)
Bước 2
Ta gấp h(m) thành h(0) để tạo ảnh gương h(-m) (Hình 8.11b). Sau đó lấy tổng của tích x(m)h(-m) để
có y(0) = 10.


22

h(1)  2

h(3)  4
x(m) fixed

x(1)  1

h2 (2) x(2)


h2 (3)  4

h(1)  2
(b) y(0)  2  1  1 4  2  3  (1)2  10

(a) x(m) và h(m)

h(0)  1

h(1)  2

x(m) fixed

x(m) fixed

x(1)  1

h(3)
4

x(2)
2

x(0)  1

h(1-m)

m  0 x(0)
2

h(-m) theo cùng chiều kim đồng hồ. Sau đó, ta lấy tổng của tích x(m)h(n  m) như trên. Ở đây h(1m) được chỉ 3trong hình 8.11c và kết quả là y(1)  10 . Dịch tiếp (hình. 8.11d) sẽ cho ta y(2)  6 .
Tiếp tục ta sẽ có y(3)  14 . Kết quả nhân chập là

c(n)  x(n) h(n)  [10, 10, 6, 14]
Ta chỉ cần vẽ một cái x(m) là cố định. Với vòng tròn h(m), đầu tiên ta vẽ h(-m) sau đó h(1-m), h(2m)…, mỗi thời giant a lấy tổng của tích x(m)h(n  m) .
Có lẽ cách nhân nhất là sử dụng phương pháp chuỗi (Vector) như sau

x(m)  2
h(m)  1 2
h(m)  1 4
h(1  m)  2 1
h(2  m)  3 2

1
3
3
4
1

2 4
4
2  c(0)  2  1  1  4  2  3  (1)2  10
3  c(1)  2  2  1  1  2  4  (1)3  10
4  c(2)  2  3  1  2  2  1  (1)4  6


23
h(3  m)  4 3 2 1  c(3)  2  4  1  3  2  2  (1)1  14
Kết quả là


c(n)  x(n) h(n)    y (n  4m) r4 (n)
m

Trong khoảng 0  n  3 ở đây có chuỗi y(n) tương ứng với m  0 , và chuỗi y(n + 4) tương ứng với
N

m = 1, vì vậy

c(n)  [ y(n)  y(n  4)]r4 (n)
Ta theo bảng sau để tính tổng

N
y(n)
y(n + 4)
c(n)

0 1 2 3
2 5 10 14
8 5 -4 0
10 10 6 14

4
8
0
-

5 6 7
5 -4 0
0 0 0
- - -

 h(3) h(2) h(1) h(0) 

Ví dụ 8.3.2
Cho hai chuỗi

(8.43)

x  2,  1, 6

T

h  5, 3,  4

T

xh

tìm nhân chập vòng

Giải
Ma trận nhân chập của h là
 5 4 3 
C(h)   3
5  4
 4 3
5 
Vì vậy nhân chập vòng là
 5  4 3  2 
c  C(h)x   3
5  4  1

x

z ( m) h zp ( n

 m)

m 0



N x 1

x

m 0

z ( m) h zp ( n

 m)

(8.44)


25

Vì 0  m  N h và 0  n  N , giá trị nhỏ nhất của m và n là –(Nh - 1). Nhưng hz(m) có Nh – 1 zeros
padding tại cuối, thì hzp(-m) = 0 với 0  m  N h . Điều này có nghĩa hzp(n – m) có thể được thay thế
bằng hz(n – m), mà cho nhân chập tuyến tính xz(n) với hz(n). Nếu ta cộng thêm nhiều không hơn mức
cần thiết (N > Nx + Nh -1) kết quả cũng giống như vậy
Ví dụ 8.3.3


...

Cuối cùng ta có kết quả
c(n)  x z (n) hz (n)  [1, 2, 4, 7, 5,7,4]
mà giống như nhân chập tuyến tính