 

Các phương Pháp tính giới hạn hàm số biên soạn Đặng Nhật
const  lim  const
 DangVo Dinh

Sơ đồ tư duy: Nhìn giới hạn  thay điểm dần tới vào   

0 
Thường là bài toán sẽ rơi vào trường hợp số 2 là các dạng vô định :  ; ;0.,1 ;00 ;   ; . 
0 



Sau đây tôi sẽ trình bày 1 số phương pháp tính giới hạn thường dùng :
I, Phương pháp liên hợp
Như chúng ta đã biết , các giới hạn cấp 3 chỉ dùng phương pháp liên hợp, nhưng lên đại học đây
lại là các bài toán khá tầm thường và phương pháp của chúng là sử dụng các hằng đẳng thức để
tạo ra các nhân tử sau đó là khử dạng vô định.

x

2

VD1: Tính giới hạn : lim
x2

 
 4  sin  x 
4 
x2

 4  sin 
4
x2



x
x  2  sin

  lim
2 3
x2
1

x 2
x  5x  4
2

Tương tự ví dụ trên khi thay 4 vào ta cũng nhận được dạng vô định

0
nhưng khác cái là ta
0

không nhìn thấy hằng đẳng thức đâu, câu hỏi đặt ra là hằng đẳng thức nó ở đâu??? Thế thì nhìn
xuống mẫu thức là 1 ta thức bậc 2 ta có thể phân tích thành các nhân tử
lim
x 4

x 2




x 2



 lim
x 4

1

 x  1 

x 2





1
12

Đó là 2 giới hạn với bậc 2 thế thì câu hỏi đặt ra là bậc 3 4 5,… bậc n thì sao hay là bậc 2 xen lẫn
3 thì sao, câu trả lời vẫn thế đó là tạo ra các nhân tử bằng phương pháp nhóm. Sau đây tôi sẽ
đưa ra một số ví dụ về nhóm :
VD1: lim
x 0

1  2x  3 x2  1

1
x
  lim 

 lim 


x 0
 2 x 1  2 x  1 2 x  3 x 2  1 2  3 x 2  1  1  x 0  1  2 x  1 2  3 x 2  1 2  3 x 2  1  1  2


 

 












Đó là 1 ví dụ điển hình về khác căn, tuy nhiên những giới hạn này quá tầm thường và không
nằm trong chương trình thi học kì, vậy cho nên tôi sẽ không đề cập đến bài tập của nó, nhưng
chúng ta vẫn phải đọc vì nó là tiền đề của những cái về sau.
II, Phương pháp thay thế tương đương :

không vì giá trị thay thế vào nó không bằng nhau. Mà phải là :
khi x  2;
x  2  sin  x  2   arcsin  x  2   tan  x  2   arctan  x  2   ln   x  2   1  e x 2  1

Đối với hàm hợp thì cũng như thế các bạn ạ
khi x  0;
x  tan x  etan x  1  ln  tan x  1  ln  sin x  1

Và từ đó ta có thể liệt kê ra rấ nhiều các đại lượng vô cùng bé tương đương nhau.
Đó chỉ là 1 mớ lí thuyết thế còn bài tập thì sao ? nó có gì đặc sắc không, câu trả lời là có
VD1: lim
x 1

sin  e x 1  1
ln x

đương nhiên là chẳng ông thầy nào dại mà cho thay số vào ra kết quả

Vậy thì ta thay thử 0 vào xem thế nao, thật là kì diệu nó ra 0/0 luôn,
sin  e x 1  1 ~ e x 1  1 ~ x  1

Thay 1 vào ta thấy khi x  1; 


ln x  ln  x  1  1 ~ x  1

từ đó ta có giới hạn

sin  e x1  1 VCB
x 1



Từ đó ta có giới hạn : lim
x 0

e

x

 1  cos x  1 VCB
 lim
x 1
x3

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

x.

 x2
2  1 lại 1 dòng xong =))))
3
x
2


 

Đến đây mình lại nghĩ ra 1 câu hỏi là khi nào được thay, thay thế có được điểm tối đa không?
Trả lời là có được điểm tối đa, chúng ta nên thay VCB vào những phân thức có dạng tích , ít
nên thay dạng tổng vì nhiều người thay dễ sai.

f n  x 
lim
 lim
 lim
 lim
 lim  n 
x  xo g  x 
x  xo g '  x 
x  xo g ''  x 
x  xo g '''  x 
x  xo g
 x

Tuy nhiên đạo hàm các hàm có thể gặp rắc rối vì thế ta nên sử dụng các đại lương VCB để thay
thế và sau đó đạo hàm rất dễ dàng =))
VD1; lim
x 1

ln x
thay 1 vào 0/0 thật thế thì L thôi
x  x2
2

1
 ln x  '  lim x  1
ln x
lim 2
 lim 2
x 1 x  x  2
x 1 x  x  2 '

x  0 cos x  1
x 0
x 0
cos 2 x
 cos x  1 cos 2 x
L

1
 sin 2 x
2x
1 L
VCB
2
4
4
2
C2 lim cos x
 lim cos x  lim cos x lim
2
x  0 cos x  1
x  0  sin x
x 0
x

0
x
cos 4 x

VD3
1 


lim

e

 x2
2

x 0

L

 lim

xe

e
 lim
x 0

 cos x
nhìn phát dự đoán là loopitan 4 lần đúng ko, thật vậy kiểu gì chả ra
x4
 x2
2

 cos x
 xe  sin x
e
 lim

2

 x2
2

 x e  cos x
12 x 2
2

 x2
2

 x e  sin x
12 x
2
2
x
 x2
 x
2
2
2
2
 x e  2e  x e 2


12
3

L


lim Ax  e xx0

x x0

lim ln  x. A

 e xx0

Và bài toán lại quay về tính giới hạn : xlim
ln  x. A rồi e mũ lên là ra kết quả
x
0

x

1
1
Cộng với ta phải nhớ giới hạn : lim 1    lim 1  x  x  e
x 
 x  x

VD1: lim  cos x  sin
x 0

1
2

dạng 1 mũ vô cùng


x  0 sin 2 x


ln cos x VCB
ln cos x L
 tan x 1
tan x
lim
 lim
  lim

vi lim
1
2
2
x  0 sin x
x 0
x 0
x 0
x
2x
2
x

Vay lim  cos x  sin
x 0

1
2


.x 3  2
x  x  2 x  5

x4  2 x 5
2 x2

e

x3

 x4  4x  3 
2
vay lim  4
 e
x  x  2 x  5



Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

x4  2 x 5 2 x 2
.
. x3
2 x  2 x4  2 x 5

 

lim ln Ax

x x0

1
x

A

 sin x
ln cos x
 sin x
lim ln A  lim
 lim 2 x .cos x  lim
x 0
x 0
x 0
x 0 2 x .cos
x
1
x
L

VCB

 x
1
1
 lim

x 0 2 x .cos x
x 0 2 cos
x 2



2. lim  cos x  tan
x 0
3. lim
1  e
x 0

2

2x



2 x tan x
1

4. lim 1  2 x  x
x 0
5. lim x cot 5x
x 0

x2  4
arctan  x  2 
tan x  x
7. lim
x 0 sin x  x
ln  cos x 
8. lim
x 0 ln 1  x 2
 

arctan 3 x

 sin x  x sin x
43. lim


x 0
 x 
sin x  a
44. lim
x a
xa
2 cos x  1
45. lim 2
ln  x  1
x

1  x2  4 1  2 x
11. lim
x 0
x  x2
arcsin x
12. lim
x 0 x  2 x 2
e x sin x  x
13. lim
x 0
x2
 x 1


x  0 arcsin x
ln x
20. lim
x 0 1  2ln sin x
x
21. lim  sin x 

17. lim
x 0

x 0

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

42. lim
x 1

x 2

28. lim

x 

1  cos x  arcsin x

x tan 2 2 x
arcsin 3x  sin 2 x
10. lim 2
x 0 tan x  ln 1  x 



2

49. lim
x 0

33. lim  sin x 

sin 3x  cos 4 x  1

ln 1  x3   arcsin 5 x


50. lim

x 0

1
1 
 
 sin 3 x 3 x 

51. lim
 cos x 
x 0
52. lim
x 0

x 0


sin 2  4 x 

ln cos  4 x 

1
55. lim 1  2 
x 
 x 

35. lim  x

tan 2 x
e x  e x  2
36. lim
x  0 1  cos 2 x
3
3x  2  x  2
37. lim
x 0
x2  x  2
cot x  cot 5
38. lim
x 5
x 5
39. lim sin x  2  sin x

 arctan tdt

x



3
x
30. lim
x  0 x  sin x
cos x  3 cos x
31. lim
x 0
tan 2 x
cot x
32. lim 1  2 x 
x

2

5x

1

56. lim
 x  ex 2x
x 0
1

57. lim  sin x  cos x  x
x 0

58. lim
 x2 1 sin
x 1

x 0
sin x.ln  2 x  1
x .2 x
x2.
2x
2

Câu 1: lim
x 0

2x

2

Câu 2:
1

lim  cos x  tan 2 2 x
x 0

ln  cos x  VCB
ln  cos x  L
 tan x 1

lim
 lim

2
2
x 0

tan x

x 0

Dat 1  e2 x 

2e2 x
ln 1  e  VCB
ln 1  e  L
2x
 A  lim ln A  lim
 lim
 lim 1  e  
x 0
x 0
x 0
x 0
tan x
x
1
2x

tan x

vay lim 1  e2 x 

tan x

x 0



vay lim 1  2 x  x  e2
x 0

Câu 5:
x VCB
x 1
 lim 
x 0 tan 5 x
x 0 5 x
5

lim x cot 5 x  lim
x 0

Câu 6:
Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145

2x


 
VCB
 x  2 x  2  lim x  2  4
x2  4
x2  4
lim
 lim
 lim



lim
 lim

2
x 0 ln 1  x 2
x 0
x

0
x
2x
2
 

lim

Câu 9:

1  cos x  arcsin x VCB
1  cos x  x  lim 1  cos x  L lim sin x  1

lim
2
x 0
x 0
x 0
x 0 8 x
x tan 2 2 x
4x2

1

4 4 1  2 x  L 1
3 3 1  x 2 
1  x2  4 1  2 x L
lim
 lim

x 0
x 0
x  x2
1 2x
12
2

3

3

Câu 12
L
arcsin x VCB
x
1
 lim
 lim
1
2
2
x 0 x  2 x



L
 x 1





 x  1 ln  x  1  x  2  lim ln  x  1  1  1  lim
1
1
x 1
lim 

 cau15
  lim

 x 2 

x2 x  2
x

2
x

2
1
1
ln  x  1 


Cau 16
lim  5  2 x 

tan

x
4

x2

Dat  5  2 x 

tan

x

A

4

x

tan

lim ln  5  2 x  4
x2


Vay lim  5  2 x 


e

8



Cau 17
cos 2 x  1 L
2sin 2 x L
4cos 2 x

lim
 lim
 1
2
4
3
x 0 2 x  x
x 0 4 x  4 x
x 0 4  12 x 2

lim

Cau 18
x2 1 L
2x
 lim
2
x 1 x ln x

1
ln x
tan x 1
lim
 lim x  lim

x 0 1  2ln sin x
x 0 2cot x
x 0
2x
2
L

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145


 

Cau 21
lim  sin x 

x

x 0

Dat  sin x   A
x

ln  sin x  L
cot x

e x cos x  e x sin x  e x sin x  e x cos x
2e x sin x VCB
2e x x 

lim

lim

lim

lim

x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x3
3x 2
6x
6x
6x

lim

cau
2x

 arcsin tdt


x

1 t2

2 xarc sin 2 x  x arcsin x  1  4 x 2  1  x 2

x 0
x2
4x
x
8 x
2 x
2arc sin 2 x 
 x arcsin x 


2
2
2
1 4x
1 x
1  x2
2 1  4 x 
lim
x 0
2x
1
2arc sin 2 x  arcsin x 
1  x2  1
lim

 

Đặng Đức Nhật HVCNBCVT-0912752145