1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI GIÁP TÝ

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI GIÁP TÝ

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU
CỦA MÔĐUN HẦU TỰ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60. 46. 05

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2012

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Môđun A - nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Môđun tự nội xạ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8. Môđun nội xạ không phân tích được

. . . . . . . . . . . . . . 13

2 Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ 15
2.1. Vành các tự đồng cấu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ . . . . . . . . . 21

Kết luận

26

Tài liệu tham khảo

27


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thúc cơ bản về môđun
đều, môđun nội xạ, môđun không phân tích được.
Chương 2. Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ.
Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thúc cơ bản về vành
địa phương và tìm hiểu về môđun hầu tự nội xạ và tính chất địa phương
của vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ.
Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự làm việc nghiêm túc của bản
thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy giáo PGS. TS Ngô Sỹ
Tùng. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS Ngô Sỹ
Tùng, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng các thầy cô giáo
phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè
đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố
gắng nỗ lực, song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn
nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản luận
văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2012
Tác giả


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả đã

2) M = ⊕ Mi , Mi ⊂ M, Ai ⊂∗ Mi , ∀i.
i∈I

n

Khi đó, A =

n

Ai = ⊕ Ai và A⊂∗ M .
1

1

1.2

Phần bù

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử A là môđun con của M .
1) Môđun con A∗ của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong
M nếu và chỉ nếu A + A∗ = M và A∗ là môđun con tối tiểu có tính chất
A + A∗ = M .
2) Môđun con A của M được gọi là phần bù theo giao (hay ∩-bù ) nếu
A ∩ A = 0 và A là môđun con tối đại có tính chất A ∩ A = 0.
1.2.2 Mệnh đề. Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao.
1.2.3 Mệnh đề. 1) Nếu A ⊂ M, B ⊂ M và A

B = 0. Khi đó

B = A ⇔ (A + B) /B⊂∗ M/B.

U ∩ V = 0.
Vậy M là môđun đều.
1.3.4 Mệnh đề. M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực
tiếp vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con
đều.
1.3.5 Mệnh đề. Giả sử N ⊂∗ M , với
N = U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Un ,
trong đó Ui là đều trong M , ∀i = 1, n. Thế thì mỗi môđun con K = 0 của
M là cốt yếu trong M khi và chỉ khi K ∩ Ui = 0 ∀i = 1, n.


8

n

1.3.6 Mệnh đề. Giả sử M là một R - môđun và ⊕ Ui ⊂∗ M , trong đó mọi
i=1

Ui là môđun đều. Khi đó:
1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n
hạng tử.
k

2) Nếu ⊕ Vi ⊂∗ M , với Vi là những môđun đều thì k = n.
i=1

Chứng minh. 1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp:
K1 ⊕ K2 ⊕ ... ⊕ Kn+1 , Ki = 0, (i = 1, ..., n + 1), Ki ⊂ M.
Thế thì
K2 ⊕ ... ⊕ Kn+1 ⊂∗ M

1) N ⊂∗ M khi đó UdimM hữu hạn khi và chỉ khi UdimN hữu hạn và trong
trường hợp này UdimM = UdimN.
2) Giả sử N và M/N có chiều đều hữu hạn thì M cũng có chiều đều
hữu hạn và UdimM = UdimN + UdimM/N.

1.4

Môđun A - nội xạ

1.4.1 Định nghĩa. Cho A và M là các R - môđun. Môđun M được gọi
là A - nội xạ nếu và chỉ nếu với môđun con X của A và với mỗi đồng cấu
ϕ : X → M , ϕ có thể mở rộng đến đồng cấu ψ : A → M .
/

X ❇❇

❇❇
❇
ϕ ❇❇❇!

M

~

ψ

A


10

(ii) f (A) ⊂ M, ∀f ∈ Hom (E (A) , E (M )).
(iii) Nếu dãy 0 → K → A → B → 0 là dãy khớp ngắn thì dãy 0 →
Hom (B, M ) → Hom (A, M ) → Hom (K, M ) → 0 cũng là dãy khớp ngắn;
(iv) M là K nội xạ với mọi môđun xyclic K ⊂ A.

1.5

Môđun tự nội xạ

Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra.


11

1.5.1 Định nghĩa. Một môđun M được gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu
M là M - nội xạ.
1.5.2 Hệ quả. Mọi môđun nội xạ đều là môđun tự nội xạ.
1.5.3 Hệ quả. M là tự nội xạ ⇔ f (M ) ⊂ M với mọi f ∈ End (E (M )).
1.5.4 Mệnh đề. Cho các môđun M1 và M2 . Khi đó M1 ⊕ M2 là tự nội xạ
khi và chỉ khi Mi là Mj - nội xạ (i, j = 1, 2).
1.5.5 Hệ quả. Giả sử M = ⊕ Mi , khi đó M là tựa nội xạ khi và chỉ khi
i∈I

Mi là Mj - nội xạ với i, j = 1, n.
1.5.6 Định nghĩa. Cho R - môđun M và N là một môđun con của M
thì N được gọi là môđun con hoàn toàn bất biến của M nếu và chỉ nếu
f (N ) ⊂ N, ∀f ∈ End (M ).
1.5.7 Mệnh đề. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con
hoàn toàn bất biến của môđun E (M ).




12

1.6.2 Định lý. Đối với môđun Q các mệnh đề sau tương đương:
i) Q là môđun nội xạ;
ii) Mỗi đơn cấu α : A → Bđều cảm sinh một toàn cấu:
α∗ : Hom(B, Q) → Hom(A, Q)
xác định bởi α ∗ (f ) = f α, với f ∈ Hom (B, Q).
iii) Mỗi đơn cấu α : Q → M đều chẻ ra.
1.6.3 Định lý. (Tiêu chuẩn Baer). Một R - môđun E là nội xạ khi và chỉ
khi mỗi R đồng cấu I → E từ một iđêal I của R (xem như R - môđun) vào
E luôn mở rộng được thành một đồng cấu R → E.
1.6.4 Định lý. Giả sử E là R môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) E là nội xạ.
(ii ) Mỗi dãy khớp Im α = Kerβ các R - môđun đều chẻ ra.
ϕ

(iii) Mỗi dãy khớp 0 → E →
− M → M → 0 các R - môđun, với M là
môđun xyclic đều chẻ ra.
α

(iv) Nếu dãy các R - môđun 0 → N →
− N → N → 0 là khớp thì dãy
0 → Hom (N , E) → Hom (E, N ) → Hom (N , E) → 0
là khớp.

1.7


tích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con.
1.8.1 Định nghĩa. 1) Một R môđun khác không M được gọi là không
phân tích được nếu và chỉ nếu M chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là
0 vàM .
2) Một R môđun con N của M được gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu
không tồn tại hai môđun con N1 và N2 của M chứa thực sự N sao cho
N = N1 ∩ N2 .
1.8.2 Định lý. Cho E là một R - môđun nội xạ khác không. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) E là không phân tích được;
(ii) E là bao nội xạ của mọi R - môđun con khác không của E;


14

(iii) Môđun không của E là bất khả quy;
(iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất;
(v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó.
1.8.3 Hệ quả. .Cho R - môđun M và N là một R - môđun con của M .
Khi đó bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con
bất khả quy của M .
1.8.4 Hệ quả. Bao nội xạ của một R - môđun đơn là môđun không phân
tích được.


CHƯƠNG 2

VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN HẦU
TỰ NỘI XẠ


2.1.5 Hệ quả. Một vành nếu thoã mãn một trong các mệnh đề của Định
lý 2.1.3 thì nó là vành địa phương.
2.1.6 Định lý. (Định lý phân tích vành tổng quát) (a) Cho vành R thoả
mãn R = ⊕ Ai với Ai
i∈I

R R,

thì:

(i) Tập I hữu hạn (I = I0 = {1, 2, ...,n})
(ii) Ai = Rei ∀i ∈ I0
+e2i = ei ∀i ∈ I0
+ ei ej = 0∀i, j ∈ I0 , i = j (*)
+ e1 + e2 + ... + en = 1.
(b) Ngược lại: nếu vành R có họ luỹ đẳng {e1 , e2 , ..., en } thoả mãn điều
kiện (*) thì R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren . Hơn nữa nếu các ei là luỹ đẳng tâm
(∀i = 1, n) thì các Rei là iđêan hai phía.
Chứng minh. a) Do 1 ∈ R nên từ giả thiết R = ⊕ Ai ta có
i∈I

1 = e1 + e2 + ... + en , ei ∈ Ai (∗∗)
.∀r ∈ R ⇒ r = re1 + re2 + ...ren ∈ Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren , Rei ∈ Ai
⇒ R ⊆ Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren
⇒ R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren
∀ai ∈ Ai (i = 1, n) ta có
ai = ai e1 + ai e2 + ... + ai en


17

i=k

⇒ a = rk ek (1)
n

⇒a=

ri ei (2)
i=1
i=k

(1) ⇒ aek = rk ek ek = rk ek = a
n

(2) ⇒ a = aek =

ri e i e k = 0
i=1
i=k

⇒a=0


18

Do đó R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren
Nếu ei thuộc tâm: ei x = xei , ∀x ∈ R, i = 1, n
⇒ rei x = rxei ∈ Rei , ∀r, x ∈ R
⇒ Rei


19

(iii) ⇒ (i): Giả sử R có sự phân tích bên trái
R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren ,
trong đó ei là các luỹ đẳng và ei ej = 0, i = j. Vì R chỉ có hai luỹ đẳng là
0,1 nên ei = 0 hoặc ei = 1. Suy ra Rei = 0 hoặc Rei = R. Vậy không tồn
tại sự phân tích bên trái.
2.1.8 Bổ đề. End(M ) tập tất cả các tự đồng cấu của môđun M là một
vành. Vành này được gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M .
2.1.9 Định lý. Môđun M không phân tích được khi và chỉ khi S = End(M )
chỉ có hai luỹ đẳng là 0 và 1.
Chứng minh. Điều kiện cần: Gọi e là phần tử luỹ đẳng của S. Ta có:M =
e(M ) ⊕ (1 − e)M .
Thật vậy: + M = e(M ) + (1 − e)M . + e(M ) ∩ (1 − e)M = 0 do
ker(e) = (1 − e)M , ta sẽ chứng ming điều này:
.x ∈ ker(e) ⇒ e(x) = 0 ⇒ x − e(x) = x ⇒ (1 − e)x = x ⇒ x ∈ (1 − e)M

.x ∈ (1 − e)M ⇒ ∃y ∈ M : x = (1 − e)y ⇒ x = y − e(y) ⇒ e(x) = e(y) − e2 (y) = o ⇒
Do M không phân tích được nên:
+ Hoặc
e(M ) = 0 ⇒ e = 0
+ Hoặc (1 − e)M = 0 ⇒ 1 − e = 0 ⇒ e = 1.
Điều kiện đủ: Giả sử M = A ⊕ B. Đặt
e:M →M
x = a + b → a(a ∈ A)
Suy ra e ∈ End(M ).
Ta có: e2 = e


20

21

Cho ϕ1 , ϕ2 ∈ End(M ), ϕ1 , ϕ2 không khả nghịch nên ker(ϕ1 ), ker(ϕ2 ) =
0. Mặt khác M là môđun nội xạ không phân tích được nên M bất khả quy
suy ra 0 = ker(ϕ1 ) ∩ ker(ϕ2 ) ⊂ ker(ϕ1 + ϕ2 ) ⇒ ϕ1 + ϕ2 không khả nghịch.
Theo Định nghĩa 2.1.4 End(M ) địa phương.

2.2

Vành các tự đồng cấu của môđun hầu tự nội xạ

2.2.1 Định nghĩa. Giả sử M và N là hai R - môđun. M được gọi là môđun
hầu N - nội xạ nếu và chỉ nếu với mỗi môđun con X của N và mỗi đồng
cấu f : X → M thì hoặc là tồn tại một đồng cấu g : N → M sao cho biểu
đồ (1) sau đây giao hoán hoặc tồn tại một hạng tử trực tiếpN1 = 0 của N
và một đồng cấu h : M → N1 sao cho biểu đồ (2) sau đây giao hoán:
/

0

i

X
f
 ~

/

N


Nếu M là hầu M - nội xạ thì ta nói M là môđun hầu tự nội xạ.
Vành R được gọi là vành hầu tự nội xạ nếu nó là R - môđun hầu tự nội
xạ.
2.2.2 Mệnh đề. Mỗi môđun hầu tự nội xạ và không phân tích được đều là
môđun tựa liên tục, do đó là môđun đều.
Chứng minh. Ta có M là hầu tự nội xạ không phân tích được nên M chỉ
có hai hạng tử trực tiếp là 0 và M .
Giả sử M1 , M2 là hai môđun con của M mà M1 ∩ M2 = 0.


22

Khi đó các phép chiếu chính tắc
pi : M1 ⊕ M2 → Mi
đều mở rộng thành tự đồng cấu của M .
Thật vậy, nếu có một Mi = 0, chẳng hạn M1 = 0. Khi đó
p1 = 0, p2 = 1M2 .
Thế thì mở rộng của p1 là đồng cấu 0, mở rộng của p2 là 1M . Giả sử
M1 = 0, M2 = 0 và pi không mở rộng được thành tự đồng cấu của M .
Vì M là môđun hầu tự nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : M → M sao cho
hp1 = 1M1 . Suy ra p1 là đơn cấu.
Nhưng p1 không phải là đơn cấu vì Kerp1 = M2 = 0.
Mâu thuẫn này chứng tỏ p1 mở rộng được thành tự đồng cấu của M .
Tương tự đối với p2 .
Vậy M là môđun tựa liên tục. Do đó mỗi môđun con khác không của
M là môđun con cốt yếu của M . Do đó là môđun đều.
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử M và N là các môđun đều. Thế thì M là môđun
hầu N - nội xạ khi và chỉ khi với mỗi f : E (N ) → E (M ) ta có f (N ) ⊆ M
hoặc f là một đẳng cấu và f −1 (M ) ⊆ N .
Chứng minh. Giả sử M là hầu N - nội xạ. Cho f ∈ Hom(E(M ), E(N )) và


N ⊆∗ E(N ), (f

f −1

f (X) và

m ∈ f (X) .Kết quả chứng minh đúng vì

− h)(M ) = 0. Do đó f −1 (M ) = h(M ) ⊆ N .

Chiều ngược lại chứng minh tương tự.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử R là một vành không có phần tử luỹ đẳng không
tầm thường. R là vành hầu tự nội xạ phải khi và chỉ khi với mỗi phần tử
c ∈ E (RR ) thì c ∈ R hoặc tồn tại một r ∈ R sao cho cr = 1.
Chứng minh. Giả sử R là hầu nội xạ phải. khi đó RR là đều bởi Bổ đề
2.2.2. Cho c ∈ E(RR ) và lc : R → E(RR ) là phép nhân trái đồng cấu. Khi
đó tồn tại f : E(RR ) → E(RR ) sao cho lc |R = f |R . Bởi Mệnh đề 2.2.3 thì
f (R) ⊆ R hoặc f là đẳng cấu và f −1 (R) ⊆ R. Nếu f (R) ⊆ R thì c ∈ R. Nếu
f −1 (R) ⊆ R thì tồn tại r ∈ R sao cho f (r) = 1 nên cr = lc (r) = f (r) = 1.
Giả sử mỗi c ∈ E(RR ) hoặc c ∈ R hoặc tồn tại r ∈ R sao cho cr = 1.
Chúng ta đã có E(RR ) là đều. Nếu e ∈ End(E(RR )) là luỹ đẳng khi đó
hoặc e(1) ∈ R hoặc tồn tại r ∈ R sao cho e(1)r = 1. Nếu e(1) ∈ R thì e(1)
là luỹ đẳng trong R và theo giả thiết e(1) = 0 hoặc e(1) = 1. Do đó e = 0
hoặc e = 1E(R) , bởi vì R⊆∗ E(RR ). Nếu e(1)r = 1 với mỗi r ∈ R khi đó
e(1) = 1 vì thế e(1) = e(e(r)) = e2 (r) = e(r) = 1. Vì vậy e |RR = 1RR .
Chúng ta tiếp tục chứng tỏ rằng e = 1E(RR ) . Giả sử ngược lại tồn tại
x ∈ E(RR ) sao cho e(x) = x. Khi đó e(x) − x = 0. Vì R⊆∗ E(RR ) nên tồn
tại r ∈ R sao cho (e(x) − x)r = 0 và (e(x) − x)r ∈ R. Vì (e(x) − x)r ∈ R
nên (e(x) − x)r = e(e(x) − x)r = 0. Mâu thuẫn với (e(x) − x)r = 0. Bởi

môđun con của nó là tập sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm.