❜é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
tr➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝✈✐♥❤

❚r➢➡♥❣ ❚❤Þ ◆❣ä❝

▼ét sè ❧✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥
❝❤♦ ♠➯♥❣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ ❚♦➳♥ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿

▲ý t❤✉②Õt ①➳❝ s✉✃t ✲ ❚❤è♥❣ ❦➟ ❚♦➳♥ ❤ä❝
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✶✺

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✿ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ◗✉➯♥❣

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✶✷


✶

▼ô❝ ❧ô❝
◆❤÷♥❣ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥

✸

✶

✹

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ



✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳


✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳


✹
✹
✺
✺
✼
✾
✶✵
✶✶
✶✷
✶✸
✶✸
✶✸
✶✺
✶✺

▼ét sè ❧✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥
❝❤♦ ♠➯♥❣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹

❈➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
◗✉❛♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐ ✳ ✳ ✳ ✳
▲✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥ ❝❤♦ ♠➯♥❣ ❦❤➯ tÝ❝❤ ➤Ò✉ ✳
▲✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥ ❝❤♦ ♠➯♥❣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➠♥❣

✶✻


❑Õt ❧✉❐♥

✸✵

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✶


ờ ó
í tết st ộ t ứ ệ tợ
r ờ ử ố tế ỉ tứ ở P ù r ờ ộ ó
t trể ẽ ó ề ứ ụ tự tễ tr ộ số
ờ r từ ó trị ợ ủ í tết
st ị í ớ ết q ủ ế t q trọ t ủ
í tết st t số ớ t số ớ ợ ột tr
ọ qý ủ í tết st t ế số ớ tổ ế
ù ố ó tể tổ qt t ề ụ í
ủ tết ột số ề ệ ộ tụ ị ể ì
ột số t ế số ớ t ố tổ qt ế

ồ
trì ữ ế tứ ị ồ ệ
ế ố ộ tụ ỳ ọ ó ề ệ
ột số t tứ q
ộ í ủ r ồ
ị trộ ủ ế t ế số ớ ế
ết q q
ợ tự ệ t trờ ọ ớ sự ớ trự

✹

❈❤➢➡♥❣

✶

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
✶✳✶

✶✳✶✳✶

❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠

❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t

(Ω, F, P)✱ G ❧➭ σ ✲ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛

σ ✲ ➤➵✐ sè F ✳ ❑❤✐ ➤ã ➳♥❤ ①➵ X ✿ Ω −→ R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
➤♦ ➤➢î❝

♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ➳♥❤ ①➵

❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

G✲



B ∈ B(R)✱ t❤× B

∅,



A,
I−1
A (B) =
A,



Ω,

⊂ R ♥➟♥
♥Õ✉

0∈
/ B, 1 ∈
/ B.
♥Õ✉ 0 ∈ B, 1 ∈
/ B.
♥Õ✉ 0 ∈
/ B, 1 ∈ B.
♥Õ✉ 0 ∈ B, 1 ∈ B.

∈ F ✈í✐ ♠ä✐ B ∈ B(R)✳



X

í t



0 F (x) 1

ế tì

F (b) F (a) = P(a x < b) ó F (x)




lim F (x) = 1 lim F (x) = 0

x+



x

ế

ị ĩ

ột ế ợ ọ


ó ó

X x1 x2 xn ...
P p1 p2 pn ...
(ú ý r

pi = 1)
i

ét

ừ ố ủ

X t s r ợ ố st


✻
❤➭♠ ♣❤➞♥ ♣❤è✐✳

PX (B) =

pi ,

FX (x) =

xi ∈B
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳

❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥



p(x) ♥➟✉ tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ♠❐t ➤é ①➳❝ s✉✃t ❝ñ❛ X.

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳

✶✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é

p(x) =
❑❤✐ ➤ã t❛ ♥ã✐
❑ý ❤✐Ö✉

1
b−a

♥Õ✉
♥Õ✉

x∈
/ [a, b],
x ∈ [a, b].

X ❝ã ♣❤➞♥ ♣❤è✐ ➤Ò✉ tr➟♥ [a, b]✳

X ∼ U[a,b] .

✷✳ ❇✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤é

❑ý ❤✐Ö✉

X ∼ N (µ, σ 2 ).

➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉

X ∼ N (0, 1) t❤× p(x) = ϕ(x) =

−x
√1 e 2
2π

2

.


✼
❚Ý♥❤ ❝❤✃t✳

❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ s✉② r❛

✶✳ ❱í✐ ♠ä✐

a, b t❤á❛ ♠➲♥ −∞ ≤ a < b ≤ +∞ t❛ ❝ã
b

P(a < X < b) =

p(x)dx.

EX =

XdP.
Ω

◆Õ✉ tå♥ t➵✐
➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉
◆Õ✉

E|X|p < ∞ (p > 0) t❤× t❛ ♥ã✐ X

❦❤➯ tÝ❝❤ ❜❐❝

p✳

E|X| < ∞ t❤× X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦❤➯ tÝ❝❤✳

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ X =

n
i=1 ai IAi t❤×

n

EX :=

ai P(Ai ).
i=1

◆Õ✉

✽
❑❤✐ ➤ã✿

EX := EX + − EX − (♥Õ✉ ❝ã ♥❣❤Ü❛).

❑ú ✈ä♥❣ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②

✶✳ ◆Õ✉

X ≥ 0 t❤× EX ≥ 0.

✷✳ ◆Õ✉

X = C t❤× EX = C.

✸✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐

EX t❤× ✈í✐ ♠ä✐ C ∈ R t❛ ❝ã E(CX) = C EX.

✹✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐

EX ✈➭ EY t❤× E(X ± Y ) = EX ± EY.

✺✳

EX =





f : R → R ❧➭ ❤➭♠ ➤♦ ➤➢î❝ ✈➭ Y = f (X) t❤×
♥Õ✉

f (xi )pi

X rê✐ r➵❝ ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ x1 , x2 ...

i
+∞
−∞ f (x)p(x)dx

✈í✐

P(X = xi ) = pi .
♥Õ✉ X ❧✐➟♥ tô❝ ❝ã ❤➭♠ ♠❐t ➤éP (x).

(➜Þ♥❤ ❧ý ▲❡❜❡s❣✉❡ ✈Ò ❤é✐ tô ❜Þ ❝❤➷♥)✳ ◆Õ✉ |Xn | ≤ Y, EY < ∞ ✈➭

Xn → X t❤× X ❦❤➯ tÝ❝❤✱ E|Xn − X| → 0 ✈➭ EXn → EX (❦❤✐ n → ∞).

ý ♥❣❤Ü❛✿ ❑ú ✈ä♥❣ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ X

❧➭ ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ t❤❡♦ ①➳❝

s✉✃t ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ➤ã✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣

X ♥❤❐♥ ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ✈í✐ ①➳❝

s✉✃t ♥❤➢ ♥❤❛✉ t❤× ❦ú ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝é♥❣ ❝ñ❛ ♥ã✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻✳


DX ≥ 0✳

✸✳

DX = 0 ⇔ X = EX = ❤➺♥❣ sè ❤✳❝✳❝✳

✹✳

D(CX) = C 2 DX.


✾
✶✳✶✳✺

❈➳❝ ❞➵♥❣ ❤é✐ tô

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✼✳

♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

•

(Xn , n ≥ 1)

❤é✐ tô

X (❦❤✐ n → ∞) ❧➭

❍➬✉ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥

❑Ý ❤✐Ö✉

Xn −
→ X✳

➜➬② ➤ñ

♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

ε > 0 t❤×
∞

P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1

❑Ý ❤✐Ö✉

•

C

Xn −
→ X✳
p (p > 0) ♥Õ✉

❚❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝✃♣

lim E|Xn − X|p = 0.

n→∞

m≥n

❳❡♠ ❬✶❪✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳ ◆Õ✉

❤✳❝✳❝✳

Xn −−→ X

Lp

❤♦➷❝

Xn −→ X

t❤×

P

Xn →
− X.

➤Õ♥ ❜✐Õ♥


✶✵
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❤✳❝✳❝

|Xn − X|p t❛ ❝ã✱ ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0

(P(|Xn − X| > ε) = P(|Xn − X|p > εp ) ≤
❉♦ ➤ã

✶✳✶✳✻

E|Xn − X|p
→ 0.
εp

P

Xn →
− X ❦❤✐ n → ∞✳ ➜ã ❧➭ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚Ý♥❤ ➤é❝ ❧❐♣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✽✳
❧❐♣ ➤➠✐ ♠ét

❍ä ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

✮ ♥Õ✉ ❤ä

❚Ý♥❤ ❝❤✃t✿ ◆Õ✉

(Xi )i∈I ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤é❝ ❧❐♣



(, F, P) st X R

G số ủ F. ó ế Y ọ

ỳ ọ ó ề ệ

ủ

X ố ớ số G ế

(i) Y ế G ợ
(ii) ớ ỗ A G, t ó
Y dP =
A

ý ệ

XdP
A

Y = E(X|G) Y = EG X.

ú ý

ế
ủ

Y ế ị tr (, F, P) G số

ợ ý ệ
ố

ủ ế ố

A ố ớ số G. E(IA |X1 , X2 , ...)

P(A|X1 , X2 , ...) ợ ọ st ề ệ ủ ế

A ố ớ ế X1 , X2 , ...

ột số tí t ủ ỳ ọ ó ề ệ

ế

E|X| < tì tồ t t Y = E(X|G)

ế

X = c ( số) tì

E(X|G) = E(c|G) = c
ế

(h.c.c.).

X Y (h.c.c) tì

E(X|G) E(Y |G)


(h.c.c.).

E(XY |G) = X E(Y |G) (h.c.c.).
✶✳✶✳✽

▼❛rt✐♥❣❛❧❡

●✐➯ sö

(Xn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✱ (Fn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ❝➳❝ σ ✲

➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛

σ ✲ ➤➵✐ sè F : F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ... ⊂ Fn ... ⊂ F. ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉

Xn ∈ Fn (∀n ∈ N) t❤× ❞➲② (Xn , Fn , n ∈ N) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ♣❤ï ❤î♣✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✵✳

●✐➯ sö

❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥✱

(Ω, F, P) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ s✉✃t✱ (Xn , n ∈ N) ❧➭

(Fn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② t➝♥❣ ❝➳❝ σ ✲ ➤➵✐ sè✳ ❑❤✐ ➤ã ❞➲②

(Xn , Fn , n ∈ N) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
•

♠❛rt✐♥❣❛❧❡

●✐➯ sö

X ❧➭ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➞♠✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0✱ t❛ ❝ã

P(X ≥ ε) ≤

EX
.
ε

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❝ã

EX =
Ω

XdP ≥ ε

XdP +

XdP =

❙✉② r❛

P(X ≥ ε) ≤

✶✳✷✳✷

❱í✐


p ❝ñ❛ X ✳

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✲❇✉♥❤✐❛❦♦✇s❦✐✳

●✐➯ sö

X, Y ∈ L2 . ❑❤✐ ➤ã✿

E|XY | ≤ X

2

Y

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

(1.2.1) ❧➭ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ X
❱❐② ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt
❚❤❛②

X

2

Y

2
2



X2
+E
X 22

≤E
2

Y2
= 2.
Y 22

❚õ ➤ã t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

b.

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼✐♥❦♦✈s❦✐✳

●✐➯ sö

X, Y ∈ Lp , 1 ≤ p < ∞. ❑❤✐ ➤ã X + Y ∈ Lp ✈➭
X +Y

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

c.

≤ X

p


❚❤❛② ❛ ❜ë✐

X ✱ ❜ ❜ë✐ Y s❛✉ ➤ã ❧✃② ❦ú ✈ä♥❣ ❤❛✐ ✈Õ sÏ ➤➢î❝ ➤✐Ò✉ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤✳

d.

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▲✐❛♣✉♥♦✈

➜è✐ ✈í✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X ∈ Lt ❜✃t ❦× ✈➭ 0 < s < t✱ t❛ ❝ã✿
X

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❳❡♠ ❬✶❪✳

s

≤ X t.


✶✺
✶✳✷✳✸

❈❤♦


k=1

❑❤✐ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

X1 , X2 , ..., ➤é❝ ❧❐♣ t❤× (1.2.2) ❝ß♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜✃t

➤➻♥❣ t❤ø❝ ▼❛r❝✐♥❦✐❡✇✐❝③ ✲ ❩②❣♠✉♥❞ ✈➭ ♥ã ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣

p = 1.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❳❡♠ ❬✹❪✳
✶✳✷✳✹

❈❤♦

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❉❛✈✐s

(Xn , n ∈ N) ❧➭ ❞➲② ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ ✈➭ f = (f1 , f2 , ...) ❧➭ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡
n

✈í✐ fn

Xk ,

=

n ≥ 1.

k=1


❈❤➢➡♥❣

✷

▼ét sè ❧✉❐t ②Õ✉ sè ❧í♥
❝❤♦ ♠➯♥❣ ❝➳❝ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥
✷✳✶

❈➳❝ ❞➵♥❣ ❜Þ ❧➭♠ tré✐ ❝ñ❛ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳

❈❤♦

{kn ; n ≥ 1} ❧➭ ❞➲② sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ t❤á❛ ♠➲♥

lim kn = ∞✳ ▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ {Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

n→∞

(a)

❇Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤

❜ë✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

Y ♥Õ✉

|Yni | ≤ Y (❤✳❝✳❝) ➤è✐ ✈í✐ ♠ä✐ i ✈➭ n✳


❜ë✐ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ Y ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ γ

s❛♦ ❝❤♦
1
kn

(e)

kn

P(|Yni | > y) ≤ γ P(Y > y) ✈í✐ ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ n✳

i=1

❑❤➯ tÝ❝❤ ➤Ò✉

♥Õ✉

lim sup E|Yni |I{|Yni | > a} = 0.

a→∞ i,n

(g)

❑❤➯ tÝ❝❤ ➤Ò✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦

1
lim sup
a→∞ n kn


❉♦ ➤ã

P(|Yni | > y) ≤ P(Y > y), ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ♠ä✐ i, n.

❙✉② r❛

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✷✳ ▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1}

❜Þ ❝❤➷♥

♠➵♥❤ t❤× ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ {Yni ; 1
✈í✐ ♠ä✐

≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ ♥➟♥ |Yni | ≤ Y,

i ✈➭ n.

❙✉② r❛
kn

i=1

i=1

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ♠➵♥❤ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦✳ ➜ã ❧➭

➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✸✳ ▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1}

❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉

t❤× ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉ t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❈❡s➭r♦✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▼➯♥❣ ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥

{Yni ; 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} ❜Þ ❝❤➷♥ ②Õ✉ ♥➟♥

P(|Yni | > y) ≤ P(Y > y), ♠ä✐ y > 0 ✈➭ ♠ä✐ i, n.



ó
kn

P(|Yni | > y) kn P(Y > y).
i=1

r tồ t

lim sup E|Yni |I{|Yni | > a} = 0.

a i,n

ớ ỗ

n t ó
1
kn

kn

E(|Yni |I{(|Yni | > a} max E|Yni |I{|Yni | > a}.
1ikn

i=1

ó

1
sup
n kn

kn

E(|Yni |I{(|Yni | > a} sup E|Yni |I{|Yni | > a}.
i,n

i=1



1

E(|Xk |)) < .

(a) sup(n
n

(b)

k=1

ớ ỗ

> 0

>0

tồ t ột số

s

{Ak }

tỏ ề

ệ

n
1

n
1

|Xk |dP 1.

sup n
n

k=1

|Xk |>a0

ó

E(|Xk |) a0 +

|Xk |dP.

|Xk |>a0

r
n
1

n
1

E(|Xk |) a0 + n

n


t

= /(2a0 ) ó từ ề ệ () t ó
n

n

1

|Xk |dP n

n

k=1 A

1
k=1

k

|Xk |dP

a0 P(Ak ) +
|Xk |a0

n

n
1

k=1

a > 0,

P(|Xk | a) a1 E(|Xk |), ớ ọ k 1.
ì

n
1

P(|Xk | a) K/a, ớ ọ n 1.

n

k=1

ớ

> 0 tù ý từ () tồ t ột số > 0 s () é t ().

t a0

= K/. ế (a > a0 ) tì
|Xk |dP
|Xk |a

|Xk |dP.
|Xk |a0

ừ ó s r


ề ệ s ợ tỏ


✷✶
kn
i=1 E(|Xni |)

(a) sup k1n
n

(b)

❱í✐ ♠ç✐

ε > 0✱

< ∞.

tå♥ t➵✐ ♠ét sè

δ>0

s❛♦ ❝❤♦ ♥Õ✉

{Ani }

❧➭ ♠➯♥❣ t❤á❛

♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥
❱í✐

ε = 1 tå♥ t➵✐ ao > 0 s❛♦ ❝❤♦
sup
n

1
kn

|Xni |dP ≤ 1.
|Xni |>a0

❑❤✐ ➤ã

E(|Xni |) ≤ a0 +

|Xni |dP.

|Xni |>a0

❙✉② r❛

1
kn

kn

i=1



t

= /(2a0 ) từ () t ó
1
kn

kn

i=1 A

1
= a0
kn

1
|Xni |dP
kn
ni

kn

i=1

1
P(Ani ) +
kn

kn



P(|Xni | a) a1 E(|Xni |), ớ ọ i 1.
ó

1
kn
ớ

kn

P(|Xni | a)
0 tù ý từ () tồ t ột số > 0 s 2.2.1 s r 2.2.2

t a0

= K/ ế a > a0 tì
|Xni |dP
|Xni |a

|Xni |dP.
|Xni |a0

ừ ó s r



ị ý
tr ó

{Xni ; 1 i kn , n 1}

{kn ; n 1}

0
M > 0 t ì ớ ỗ 1 i kn , n 1

t

Xni = (Xni àni )I{|Xni àni | M }


Xni = Xni àni Xni = (Xni àni )I{|Xni àni | > M };

ớ

àni = 0 0 < p < 1,
àni = E(Xni |Fn,i1 ) 1 p < 2.






rờ ợ

ớ

1 p < 2 : ụ t tứ rr ( 1 < p < 2), t

tứ s (

p = 1) t tứ Cr t ó
kn



kn



Bp knp/2 M p

+

Bp kn kn1 E

|Xni |p
i=1

ớ

Bp số ỉ ụ tộ p

sẽ ứ r ế

{|Xni àni |p ; 1 i kn , n 1}
tí ề t ĩ sr
t t tết t ó

{|Xni |p ; 1 i kn , n 1} tí ề t ĩ sr
t t t r

E|àni |p E|Xni |p .
ó