Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là bài toán
có mặt ở hầu hết trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học.
Không những thế nó còn là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi.
Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn
người học. Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là
một vấn đề khó. Chủ đề này thường dành cho học sinh giỏi nên các bài
toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải
được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các
bài toán mà thôi.Một trong những phương pháp khá hiệu quả là dung đạo
hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến,
bằng cách xem các biến còn lại là tham số cố định. Không có một thuật
giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thong qua ví dụ để học sinh
rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài toán
cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải riêng cho mình.
Vì những lí do trên tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái
nhìn rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng
minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN.

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

NỘI DUNG
1 . Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán hai biến.


Lời giải
Ta có :
P = 2( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) − 3 xy
= 2( x + y )(2 − xy ) − 3 xy
( x + y)2 − 2
, vì thế sau khi đặt t = x + y thì:
2
t2 − 2
t2 − 2
3
P (t ) = 2t (2 −
)−3
= −t 3 − t 2 + 6t + 3
2
2
2
2
( x + y)
⇒ ( x + y ) 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ t ≤ 2 .
Ta có x 2 + y 2 ≥
2
3
P (t ) = −t 3 − t 2 + 6t + 3 với −2 ≤ t ≤ 2 .
Xét hàm số
2
2
Ta có P '(t ) = −3t − 3t + 6 .

Ta có : xy =

P(t)
-7

1

Vậy
min P(t ) = P(−2) = −7 khi x = y = −1
[ −2;2]


1+ 3
1− 3
x=
;y=

13
2
2
max P (t ) = P (1) = ⇔ 
[ −2;2]
2

1− 3
1+ 3
;y=
x =

2
2


1
t
=
xy
x
≥
0;
y
≥
0
= ⇒0≤t ≤
Đặt
. Do
nên 0 ≤ xy ≤
4
4
4
1
Xét hàm số f (t ) = 16t 2 − 2t + 12 với 0 ≤ t ≤ .
4
f
'(
t
)
=
32
t
−
2
Ta có

1
191
2+ 3
2− 3
2− 3
2+ 3
min f (t ) = f ( ) =
;y=
;y=
khi x =
hoặc x =
 1
16
16
0;


4
4
4
4
 4
1
25
1
max f (t ) = f ( ) =
x= y= .
khi
 1
4

≥ ( x 2 + y 2 )2 +
− 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
4
( x2 + y 2 )2
4
4
x
+
y
≥
( do
)
2
9
Hay A ≥ ( x 2 + y 2 )2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 .
4

- Vì vậy ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t = x 2 + y 2 .
- Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức x 2 + y 2 ≥

( x + y)2
.
2

Lời giải.
Ta luôn có kết quả : ( x + y ) 2 ≥ 4 xy , từ đó ta có :
( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ≥ ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2
⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ≥ 2
⇒ [ ( x + y ) − 1]  ( x + y ) 2 + ( x + y ) + 2  ≥ 0

2
9
4

Hay A ≥ ( x 2 + y 2 )2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 .
1
( x + y )2
( do x + y ≥ 1 ) nên x 2 + y 2 ≥ .
2
2
9
1
Đặt t = x 2 + y 2 . Ta có hàm số f (t ) = t 2 − 2t + 1 với t ≥ .
4
2
9
f '(t ) = t − 2
2
4
f '(t ) = 0 ⇔ t =
9

Vì x 2 + y 2 ≥

Ta có bảng biến thiên như sau :
Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
t

t=
Vậy min
đạt
được
khi
1
2 16
t≥
2
2

9
1
9
. Mặt khác, ta dễ thấy x = y = thì A = .
16
2
16
9
1
Kết luận : min A = khi x = y = và không có giá trị lớn nhất.
16
2

Suy ra A ≥

Thí dụ 4. (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực x, y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều
( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
kiện
A=

t +t
t +1
2

2

 1 1   t 2 + 2t + 1 
Từ đó A =  + ÷ =  2
÷.
 x y   t − t +1 
t 2 + 2t + 1
−3t 2 + 3
f
(
t
)
=
⇒
f
'(
t
)
=
2
Xét hàm số
t2 − t +1
( t 2 − t + 1) .
1
2


a b

(a + b) + 2  + ÷ ≥ 2 2(a + b)  + ÷ = 2 2  + + 2 ÷
a b
a b
b a







Suy ra: 2  + ÷+ 1 ≥ 2 2  + ÷+ 2 ⇒  + ÷≥ .
b a
b a
b a 2
a

b

a

b

a

b

5


Vậy min P = −

23
a b 5
1 1
đạt đươc khi và chỉ khi + = và a + b = 2  + ÷
4
b a 2
a b
(a; b) = (2;1) hoặc (a; b) = (1; 2)

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Thí dụ 6. (Thi HKI 2010-2011- Khối 12- Sở GD- ĐT Bắc Giang). Cho x, y là hai
số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2( x 2 + y 2 ) = xy + 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
T=

x4 + y4
2 xy + 1

Hướng dẫn:


- Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 4 xy ≤ xy + 1 ⇔ − ≤ xy ≤ . Vậy t ∈  − ;  .
5

1
4 và

 1
1 2
min f (t ) = f  − ÷ = f  ÷ =
 1 1
 5
 3  15
− 5 ; 3 




Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của T

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

1 1


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

2. Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến trong bài toán ba biến.
 Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một
bằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại,
bài toán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến. Luôn có tâm thế nhìn biểu
thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là
một hàm số để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm.
 Sơ đồ tổng quát.

để đưa P( x, y ) về hàm một biến. Tìm GTLN của
y

hàm số một biến này.
- Vậy P( x, y, z ) ≥ P ( x, y ) = P (t ) ≥

34
.
33

Lời giải.
x

y

z

Ta có : P = 2 x + 3 y + y + z + z + x .
Xem đây là hàm theo biến z ; còn x, y là hằng số

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
−y
z
( x − y )( z 2 − xy )
P '( z ) =
+
=

+
x
2 + 3 1+ x
y
y

Đặt t =

x
, do x ≥ y, x ≥ z và x, y, z ∈ [ 1; 4] nên 1 ≤ t ≤ 2 .
y

t2
2
+
. Ta có
2
2t + 3 1 + t
−2  4t 3 (t − 1) + 3(2t 2 − t + 3) 
f '(t ) =
< 0, ∀t ∈ [ 1; 2] .
(2t 2 + 3)2 (1 + t ) 2

Xét hàm f (t ) =

Suy ra f (t ) giảm trên [ 1; 2] , do đó P ≥ P( xy ) = f (t ) ≥ f (2) =

34
33




Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

- Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số. Khảo sát hàm số với điều
kiện đã cho suy ra giá trị lớn nhất của P, tức là : P(a, b, c) ≤ g (b, c) .
- Khảo sát hàm g (b, c) là một hàm theo biến c, còn b là hằng số. Khảo sát hàm số
với điều kiện đã cho, suy ra GTLN của g (b, c) , tức là g (b, c) ≤ h(b) .
8
5

- Tiếp theo khảo sát hàm h(b) suy ra h(b) ≤ .
8
5

- Vậy P(a, b, c) ≤ g (b, c) ≤ h(c) ≤ .
Lời giải:
a
b
c
+
+
a+b b+c c+a
Xem đây là hàm số theo biến a , còn b, c là hằng số.
P (a) =

Đặt

b
c

2
2
(b + c) (c + 3)
(b + c) (c + 3)
3 
1
3
3b
1
+
+ = h(b) .( xem h(b) là hàm số theo biến b)
Suy ra: g (c) ≤ g ( ) =
3 3 + b 3b + 1 10
3
3
(1 − b)(1 + b)
Ta có: h '(b) = (3b + 2) 2 − (b + 3)2 = (3b + 1) 2 (b + 3) 2 .
⇒ P (a ) ≤ P (3) =

Ta có bảng biến thiên.
b

1
3

1

h '(b)

+


Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
( a − b)(b − c)(a − c)

8
Mặt khác : P(a, b, c) − P(c, b, a) = (a + b)(b + c)(a + c) ≤ 0 ⇒ P(a, b, c) ≤ .
5


1 1
8
  1 
Vậy MaxS = , đạt được khi (a, b, c) =  3;1; ÷,  ;3;1÷,  3; ;1÷ .
3 3
5
  3 


Thí dụ 9. Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b . Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức :

P=

2
2
3
− 2

3
1
+ 2
= g (c ) .
suy ra f (a) ≤
2
c +1
c
1+ c
10
Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với 0 < c < +∞ suy ra g (c) ≤ .
3

- Khảo sát hàm biến a là f (a) với 0 < a


x0

0

f '( x )
f ( x)

+

0

-

f ( x0 )

Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) =

c

.

1 + c2
3
2c
3
S = 2 f (a) + 2
≤
+ 2
= g (c )

c0

0
+

0

-

g (c0 )

g (c )

Từ bảng biến thiên suy ra : g (c) ≤ g (c0 )
10
.
3
10
1
2
Vậy với c = , a = , b = 2 thì MaxS = .
3
2
8
⇒ S ≤ g (c) ≤ g (c0 ) =

Thí dụ 10. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . Tìm giá
P=

trị nhỏ nhất của biểu thức:

S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = 2 y +

32 y 2 + 14
9
+
= g ( y)
4y
2y

- Tiếp tục khảo sát hàm một biến g(y)
- Ta đi đến kết luận : S ≥ f ( x) ≥ g ( y ) ≥
Lời giải :

Gv : Tổ Toán THPT Nghèn sưu tầm

15
.
2


Sáng kiến: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến
1
a

1
b

1
c


7
4y

+∞

x0

f’(x)

-

0

+

f ( x)
f ( x0 )

Khi đó từ bảng biến thiên , ta có:
32 y 2 + 14
9
S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = 2 y +
+
= g ( y)
4y
2y
g '( y ) =

(8 y 2 − 9) 32 y 2 + 14 − 28
4 y 2 32 y 2 + 14


+∞

+