3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một lý thuyết toán học có rất nhiều ứng dụng trong
khoa học, đặc biệt về kỹ thuật cơ học. Đã có nhiều nhà Toán học nghiên cứu
lý thuyết ổn định, tuy nhiên vẫn chỉ bó hẹp trong việc giải quyết bài toán xác
định sự ổn định cũng như không ổn định. A.M.Liapunov đã thiết lập hàng loạt
điều kiện đủ tổng quát cho sự ổn định và không ổn định của chuyển động
không có nhiễu, mô tả bởi hệ phương trình vi phân thông thường. Để đưa vấn
đề ổn định của chuyển động không có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cân
bằng. Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phép
đánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất
lượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.
Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trong
toàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt ra
ngoài giới hạn của một miền cho trước.
Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “lý thuyết ổn định và ứng
dụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lý
thuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trình
tuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ
phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổn
định và không ổn định của liapunov.
- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính.


4

ur
ur
( x,α ) a x.α
Thỏa mãn các tính chất sau (cũng nói thỏa mãn các tiên đề sau):
r r r
với mọi α , β , γ ∈V và với mọi x, y, z ∈ K :
r r
r r r r
1) α + β ) + γ = α + ( β + γ )

(

)

r
r r r r r
2) Có 0 ∈V sao cho 0 + α = α + 0 = α
r
r
r
r r r r r
3) α ' ∈V sao cho α '+ α = α + α ' = 0 kí hiệu α , = −α
r r r r
4) α + β = β + α
r
r
r
5) ( x + y ).α = x.α + y.α
r
r r

Các phần tử của V gọi là các véctơ, các phần tử của K gọi là vô
hướng.
Phép toán “+” gọi là phép cộng véctơ, phép toán “. ” gọi là phép nhân
véctơ với vô hướng.

r
r
Để cho gọn dấu “. ” nhiều khi lược bỏ, thay x.α ta viết xα .
Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép

cộng véctơ. Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân véctơ với
vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đối
với phép cộng véctơ và có tính chất kết hợp.
1.1.2. Ví dụ về không gian véctơ
a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian ¡ , ¡ 2 , ¡ 3 với các phép
toán cộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực.
b) Tập K [ x ] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép
cộng đa thức và nhân đa thức với một phần tử thuộc trường K là một K không gian véctơ.
c) Tập số phức £ với phép cộng số phức và nhân số phức là một £ không gian véctơ. Trong khi đó £ cùng với phép cộng số phức và nhân số
phức với một số thực là ¡ - không gian véctơ.
d) Tập ¡ các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu
tỷ là một ¤ - không gian véctơ.
e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ (m × n) trên trường K ta đưa vào
phép nhân với vô hướng sau, với:


7

A = (aij ) i = 1, m; j = 1, n thì kA = ( kaij )
Dễ thử thấy đó là một K - không gian véctơ.


n

∑ a .x . x

i , j =1

ij

i

j

r
với mọi α = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈V .
Ma trận A= (aij ) cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H .


8

1.2.3. Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương
r r
r
Nếu trong ¡ - không gian véctơ V có cơ sở ( µ1 , µ 2 ,..., µ n ), trong đó
r r
r r
η ( µi , µ j ) = 0 với mọi i ≠ j thì trong cơ sở đó ma trận A = (aij ), aij = η ( µi , µ j )
, có dạng chéo.
Dạng toàn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η trên V
n

nghiệm của phương trình (1.1) nếu:
a) ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x)) ∈ D với mọi x ∈ I .
b) F ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x)) ≡ 0 trên I .
Ví dụ 1: Phương trình:
dy
= 2y
dx
2x
có nghiệm là hàm y = ce xác định trên khoảng (−∞; +∞) (với c là hằng số

tùy ý).


9

Ví dụ 2: Phương trình:
y′ = 1 + y 2

(1.3)

π π
có nghiệm là hàm y = t anx xác định trên khoảng (− ; ) . Có thể kiểm tra
2 2
trực tiếp hàm y = tan ( x + c ) với mỗi hằng số c cố định cũng là nghiệm của
phương trình (1.3) trên khoảng xác định tương ứng.
1.3.2. Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:
F ( x, y, y′,..., y ( n ) ) = 0

(1.4)



10

Ví dụ 2: Phương trình:
xyy′′ + xy′2 − yy′ = 0
có nghiệm tổng quát là:
y = c1. x 2 + c2 , trong đó c1 , c2 là hai hằng số bất kỳ.
1.3.3. Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là:
a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + .... + an ( x) y = g ( x ) .

(1.6)

Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phương
(n)
trình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo y, y′,..., y . Ta giả

thiết các hàm a0 ( x); a1 ( x); ...; an ( x), g ( x) liên tục trên khoảng (a, b) và
a0 ( x) ≠ 0 trên (a, b) .
Khi đó chia hai vế của phương trình (1.1) cho a0 ( x) ta được phương trình:
y ( n ) + p1 ( x). y ( n −1) + ... + pn ( x ). y = f ( x )

(1.7)

trong đó :
pi ( x) =

ai ( x)
g ( x)

L L L L L

 dyn = f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx

(1.9)

Ở đây x là biến số độc lập y1 = y1 ( x); y2 = y2 ( x ); ... ; yn = yn ( x) là các
hàm phải tìm. Các hàm f i (i = 1,2,..., n) xác định trong miền G của không
gian n + 1 chiều ¡

n+1

.

Hệ n hàm khả vi y1 = ϕ1 ( x); y2 = ϕ 2 ( x); ...; yn = ϕ n ( x) xác định trên
khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.9) nếu với mọi x ∈ (a, b) điểm
( x,ϕ1 ( x),ϕ 2 ( x),...,ϕ n ( x)) ∈ G và khi thay chúng vào hệ (1.9) thì ta được n
đồng nhất thức theo x trên (a, b) .
Tập hợp điểm:
Γ = { ( x,ϕ1 ( x),ϕ 2 ( x),...,ϕn ( x)), x ∈ ( a, b)}
được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1 ( x),ϕ 2 ( x);...,ϕn ( x) hiển
nhiên Γ ⊂ ¡

n+1


1
2
n
 dt
L L L L L

 dxn = F (t , x , x ,..., x )
n
1
2
n
 dt
là hệ phương trình chuyển động của một điểm trong không gian pha ¡

(1.10)

n

mà:

dx 
 dx1 dx2
;
;.....; n ÷

dt 
 dt dt
là véctơ vận tốc của điểm đó. Tại mỗi điểm M của không gian pha véctơ vận
tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.10) xác định một trường vận tốc
không dừng. Nếu kí hiệu X là véctơ ( x1 , x2 ,..., xn ) , F là véctơ ( F1 , F2 ,..., Fn )

Đối với hệ (1.11) véctơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo
thời gian. Ta nói rằng hệ (1.11) xác định một trường vận tốc dừng và gọi nó là
hệ ô- tô-nôm hay hệ dừng.
1.5. Tiêu chuẩn Hurwitz


13

1.5.1. Một số khái niệm cần thiết
Xét đa thức:
f ( z ) = a0 + a1.z + .... + an .z n (với n ≥ 1 )

(1.12)

Trong đó z = x + i. y là số phức và a0 , a1 ,....an có thể là các hệ số thực hoặc
phức.
Định nghĩa: Đa thức f ( z ) bậc n ≥ 1 được gọi là đa thức Hurwitz. Nếu
tất cả các nghiệm (không điểm) z1 , z2 ,....zn của nó đều có các phần thực âm:
Re Z j < 0 ( j = 1,2,..., n )

(1.13)

tức là tất cả các nghiệm z j đều nằm ở nửa mặt phẳng phức bên trái. Sau đây
chúng ta giả thiết rằng các hệ số a0 , a1 ,....an của đa thức (1.12) f ( z ) là thực
và :
a0 > 0; an ≠ 0 .

(1.14)

Một đa thức như vậy rõ ràng không có nghiệm không và để ngắn gọn ta

dương, tức là:
∆1 = a1 > 0

∆ = a1 a0 > 0
 2
a3 a2


L
∆ n = an .∆ n −1 > 0
(Các điều kiện 1.17 còn gọi là điều kiện Hurwitz).

(1.17)


15

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LIAPUNOV
2.1. Định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov
Ta xét hệ phương trình vi phân:
dy
= Y ( y, t )
dt

(2.1)

Ta lấy ra một chuyển động y = f (t ) nào đó của hệ (2.1) và gọi nó là
chuyển động không có nhiễu loạn.

= Y ( x + f (t ), t ) − Y ( f (t ), t )
dt
bằng cách đưa ra kí hiệu:
X ( x, t ) = Y ( x + f (t ), t ) − Y ( f (t ), t )
ta nhận được hệ :
dx
= X ( x, t )
dt

(2.3)

trong đó X (0, t ) = 0 với t ≥ t0 .
Hệ (2.3) xác định phương trình vi phân của chuyển động có nhiễu loạn.
Chuyển động y = f (t ) , qua phép biến đổi đang xét, trở thành vị trí cân bằng
x = 0 của hệ mới. Như vậy, bài toán ổn định của chuyển động y = f (t ) trở
thành bài toán ổn định của nghiệm không x = 0 của hệ (2.3).
Nghiệm x = 0 của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối
với số dương ε bất kỳ luôn luôn có thể chỉ ra số dương σ sao cho từ bất
đẳng thức x(t0 < σ suy ra x(t ) < ε với t > t0 . Còn nếu như mọi nghiệm
x(t ) mà điều kiện ban đầu đã cho của nó được xác định bởi x(t0 ) < h thỏa
x(t ) = 0 thì nghiệm không gọi là ổn định tiệm cận theo
mãn tính chất lim
t →∞
nghĩa Liapunov.
2.2. Hàm số 2 Liapunov


17

Ta xét hàm số v ( x1 , x 2 …., x n ) xác định trong không gian pha các biến

v = ∑ aik .xi .xk trong đó aik = aki .
i , k =1

Ma trận hệ số của dạng này:


18

a11 L a1n
A= L L L L
an1 L ann
và xét các định thức:
a11 L a1k
∆ k = L L L L với k = 1,2,..., n .
ak 1 L akk
Nếu như có ∆ k > 0 với k = 1,2,..., n thì dạng v sẽ là xác định dương.
Định lí đảo cũng đúng tức là điều kiện ∆ k >0 là điều kiện cần và đủ để dạng v
xác định dương. Từ tiêu chuẩn Sylvester dễ dàng đưa ra điều kiện cần và đủ
để dạng v xác định âm. Điều kiện này được viết dưới dạng bất đẳng thức:
∆1 < 0; ∆ 2 > 0; ∆ 3 < 0;...
tức là các định thức ∆ k lập thành một dãy tuần tự đổi dấu, đồng thời ∆1 < 0 .
Hàm số v ( x1 , x 2 ,…., x n ) có các tính chất đã nói ở trên gọi là hàm
Liapunov.
2.3. Định lý về sự ổn định và không ổn định của Liapunov
2.3.1. Định lý của Liapunov về sự ổn định
Xét hệ phương trình vi phân:
dxi
= X i ( x1 ,..., xn ); i = 1,2,..., n .
dt


i =1 ∂x
i
n

v&= ∑

nên hàm v không tăng dọc theo quỹ đạo và vì vậy có v( q) ≤ v(q) < l . Mặt
khác vì l là cực tiểu của hàm v trên Sε nên nhất thiết phải có v( q) ≥ 1 . Mâu
thuẫn vừa nhận được chứng tỏ rằng điểm f ( p, t ) , khi thời gian tăng lên,
không thể vượt ra ngoài giới hạn của mặt cầu Sε .
Bây giờ ta có thể chứng tỏ rằng có thể sử dụng lược đồ chứng minh của
định lý để đánh giá miền nhiễu loạn thừa nhận được. Một miền E nào đó
được gọi là miền nhiễu loạn thừa nhận được của miền G đã cho, nếu như tất
cả các quỹ đạo xuất phát từ các điểm của nó, không vượt ra khỏi giới hạn của
miền G . Rõ ràng, trong trường hợp đã cho, miền J σ sẽ là miền nhiễu loạn
thừa nhận được đối với miền J ε . Vậy thì để xác định miền nhiễu loạn thừa


20

nhận được cần phải tìm cực tiểu l của hàm v trên biên của miền G và để lấy
làm miền E ta sẽ chọn miền, trong đó thỏa mãn v < l .
Định lí 2.3.2. (Định lí Liapunov về sự ổn định tiệm cận):
Nếu đối với hệ phương trình vi phân (2.4) có tồn tại một hàm xác định
dấu v , đạo hàm toàn phần của nó theo thời gian, lấy theo hệ (2.4), cũng sẽ là
hàm xác định dấu, trái dấu với v thì vị trí cân bằng sẽ ổn định tiệm cận.
Chứng minh:
Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương, giả sử R là một số sao
cho J R nằm trong miền D .
Từ định lí 2.3.1 ta suy ra rằng vị trí cân bằng sẽ ổn định nên có tồn tại

bé bao nhiêu cũng được nên từ đó ta suy ra rằng lim
t →∞
Vậy định lí được chứng minh.
2.3.2. Định lí về sự không ổn định của Liapunov
Định lí 2.3.3: Nếu có tồn tại một hàm số v , đạo hàm của nó theo thời
gian là một hàm xác định dấu và sao cho trong một lân cận bất kỳ của điểm 0,
v không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với v&thì nghiệm không
của hệ (2.4) không ổn định.
Chứng minh:
Giả sử trong hình cầu J ε các điều kiện của định lí được thỏa mãn. Để
xác định ta giả sử rằng v&là hàm xác định dương, xét trong lân cận khá bé J σ
của điểm 0. Ta hãy chứng tỏ rằng có tồn tại một điểm p , quỹ đạo của nó khi
t > 0 sẽ vượt ra ngoài giới hạn của J ε . Theo điều kiện của định lí trong J σ có
một điểm p sao cho v( p) = v0 > 0 . Do tính liên tục của hàm v , có tồn tại một
số η sao cho trong Jη ta sẽ có v < v0 . Bởi vì v&là hàm xác định dương nên
v( f ( p, t )) tăng khi t tăng và vì vậy điểm f ( p, t ) không thể rơi vào trong Jη .
Ta giả sử rằng điểm f ( p, t ) không vượt ra khỏi J ε . Bởi vì trong miền
J ε \ Jη v&có cực tiểu dương m nên ta sẽ có bất đẳng thức:
t

& > v( p) + mt
v( f ( p, t )) = v( p) + ∫ vdt

(2.6)

0

Từ đó ta thấy khi t tăng, hàm v( f ( p, t )) sẽ tăng không giới nội nhưng
mặt khác, hàm v liên tục nên nó lại phải giới nội trong lớp cầu J ε \ Jη . Mẫu
thuẫn đó suy ra định lý được chứng minh.

v( f ( p, t )) ≥ v0e λt
Vì λ > 0 nên khi t tăng, hàm v( f ( p, t )) tăng không giới nội và điều
này có nghĩa là điểm f ( p, t ) vượt ra khỏi miền J ε .
2.4. Sự ổn định trong toàn cục
Xét hệ:
dx
= X ( x)
dt
với điều kiện X (0) = 0 .

(2.8)


23

Định nghĩa : Nghiệm không của hệ (2.8) gọi là ổn định trong toàn cục
(hay là ổn định với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu) nếu nó ổn định theo nghĩa
Liapunov và nếu mọi nghiệm x(t ) khác của hệ đều có tính chất

x(t ) → 0

khi t → ∞ .
Hàm Liapunov v gọi là vô cùng lớn nếu đối với bất kỳ số dương A
n

đều có tồn tại một số dương R sao cho bên ngoài mặt cầu

∑x
i =1


24

Định lí 2.4.2: Giả sử có tồn tại một hàm v xác định dương, vô cùng
lớn sao cho

dv
dv
< 0 bên ngoài M và
≤ 0 trên M , trong đó tập hợp M
dt
dt

không chứa những quỹ đạo nguyên vẹn ( trừ ra vị trí cân bằng không). Khi ấy
nghiệm không của hệ (2.8) sẽ ổn định trong toàn cục.
Chứng minh định lí:
Giả sử p là một điểm tùy ý của không gian pha. Từ điểm p xuất phát
nửa quỹ đạo f ( p, t ) ( t > 0 ) . Theo điều kiện của định lý

dv
≤ 0 nên ta có:
dt

v( f ( p, t )) ≤ v0 . Vì tập hợp v( p) ≤ v0 giới nội nên nửa quỹ đạo f ( p, t ) nằm
trong một miền giới nội, do đó có điểm ω − giới hạn. Ta suy ra rằng toàn bộ
tập ω − giới hạn nằm trên cùng một mặt mức v = vω .
Ta xét hai trường hợp:
Nếu vω =0 thì mặt mức v = 0 là gốc tọa độ. Do đó toàn bộ tập ω − giới
x(t ) = 0 . Bởi
hạn của quỹ đạo f ( p, t ) trùng với gốc tọa độ và chúng ta có lim
t →∞

Cùng với phương trình tuyến tính cấp hai:
&
x&+ ax&+ bx = 0

(2.9)

Ta xét phương trình phi tuyến:
&
x&+ ax&+ f ( x) = 0, f (0) = 0

(2.10)

Nếu a > 0 và b > 0 thì nghiệm không của phương trình ổn định tiệm
cận trong toàn cục. Điều kiện b > 0 có thể giải thích như điều kiện phân bố
đường thẳng y = bx vào trong góc vuông thứ nhất và thứ ba của mặt mặt
phẳng tọa độ. Vậy thì nảy ra một vấn đề như sau: nếu như đồ thị của hàm đơn
trị y = f ( x ) cũng sẽ phân bố trong góc vuông thứ nhất và thứ ba thì nghiệm
không của phương trình (2.10) có ổn định tiệm cận trong toàn cục hay không?
Nói một cách khác, các điều kiện a > 0, f ( x) x > 0 đã đảm bảo cho sự ổn định
tiệm cận trong toàn cục chưa, hay còn cần thêm những điều kiện phụ nào
khác nữa?
Để giải quyết vấn đề này ta hãy xét hàm Liapunov:


26

x

v = y + 2 ∫ f ( x)dx.
2

dx1 n

= ∑ a1k xk − bx1

dt k =1

dxi n
= ∑ aik xk , i = 2,..., n.

dt k =1
ta xét hệ phi tuyến:

(2.11)


27

dx1 n

= ∑ a1k xk + f ( x1 )

dt k =1

dxi n
= ∑ aik xk , i = 2,..., n, f (0) = 0.

dt k =1

(2.12)



b
y=

x

y=a

0

x

x

Hình 1
thì đã đủ đảm bảo cho sự ổn định trong toàn cục của nghiệm không của hệ
(2.12) hay chưa? Bài toán này đã được M.A.Aizerman phát biểu lần đầu tiên
và là xuất phát điểm cho rất nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học
và cơ học.