B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

NGÔ THỊ BÌNH

DƯỚI VI PHÂN TỎNG QUÁT VÀ ỦNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOẤN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tác
giả đã nhận được sự động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp,
người thân, của các thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, các thầy, cô phòng
Sau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin được cảm
ơn tấ t cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến TS. Trần
Văn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tận tình để tôi có thể
hoàn thành Luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, 20 tháng 6 năm 2015
Tác giả

N gô Thị Bình


1. 1. Một số khái niệm về không gian Banach

6

1 . 2 . Hàm khả vi trên không gian Banach

9

Chương 2 Dưới vi phân tổn g quát và ứng dụng

14

2 . 1 . Dưới vi phân tổng quát

14

2 . 2 . Quy tắc tổng mờ

22

2.3. ứng dụng

29

K ết luận

37

Tài liệu tham khảo


Hình cầu đơn vị trên X

s* :

Mặt cầu đơn vị trên X

E :

Là tập con đóng của X

L :

Là không gian con hữu hạn chiều của X

L1

Là không gian trực giao của L

ỉ

X —ì Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y
Chuẩn trong không gian Banach X

(z*,z) :

Giá trị của hàm

/3:


X


cl CO :

Bao lồi đóng

l.s.c

Nửa liên tục dưới

Ư, V:

Các lân cận

/ ' {x,d) :

Đạo hàm của / theo phương d tại X

D p f (æ) : Tập tấ t cả các dưới đạo hàm nhớt Fréchet
của / tại X
DGf (z) : Tập tấ t cả các dưới đạo hàm nhớt Gâteaux
của / tại X
Dß f { x ) ■ Tập tấ t cả các ß — dưới đạo hàm nhớt
của / tại X
D+ß f i x ) '■ Tập tấ t cả các ß —trên đạo hàm nhớt của /
tại X
v /(x ):

Đạo hàm Fréchet của / tại X

vi của hàm trong lân cận của điểm định nghĩa. Thông thường, dưới vi
phân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn.

3


Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có
nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến và lý tuyết tối ưu. Tuy nhiên
vẫn còn rất nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu
và khai thác.
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài nghiên
cứu:
"Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng".

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Tìm hiểu về dưới vi phân tổng quát và ứng dụng của nó trong việc
nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi

3. N h iệm vụ n gh iên cứu
Hệ thống tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân tổng quát cùng một
số ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình
Hamilton-Jacobi.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm vi n gh iên cứu
Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng.
Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới.

4




(i) ||ri|| > 0 (với ||ri|| là số thực không âm)
(ii) ||'u|| = 0 nếu u = 0
(iii) ||cra|| = Io;I . ||rí||
(iv) ||ri + u|| < ||ri|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác ).
6


Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn II • II xác định trong
không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, II • II)
hay đơn giản là X
M ệnh đề 1.2 ([1], trang 12). Cho X là không gian định chuẩn với
chuẩn II • II. Với Vx, y € X , đặt
d( x , y ) = ||x - y II .
Khi đó d là một metric trên X .
Đ ịnh nghĩa 1.3 ([1J, trang 21). Cho X là không gian định chuẩn với
chuẩn II • II . Nếu X với khoảng cách d ( x , y ) = 11a: —y II là một không
gian metric đủ, khi đó X gọi là không gian Banach
Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được
kí hiệu là X . Chuẩn trong không gian Banach được kí hiệu là II • 11^- hay
II • II . Hình cầu đơn vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X kí hiệu lần
lượt là các tập hợp

sx := {x e X : ||z|| = 1}.

B x := {x e X : ||z|| < 1},
Một số ví dụ về không gian Banach
V í dụ 1.4 ([3J,[4],[9J). Ta có:

1. Không gian tuyến tính Mfc với chuẩn ||a;|| = Y2ị=1 |a:(ĩ)| là không

Đ ịnh nghĩa 1.5 ([1J, trang 61). Cho X là không gian định chuẩn với
chuẩn II • II ■Anh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> K gọi là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục xác định trên X .
Nếu X* : X —>K là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và X G X thì
giá trị của X* tại X được kí hiệu là (x*, x), nghĩa là (x*, x) = (x*, x ) .
Đ ịnh lý 1.6 ([3J, Định lý 2.6, trang 78 ). Không gian đối ngẫu X * của
không gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi
X

\\ = sup - L—xyo 1+

là một không gian Banach.
V í dụ 1.7 ([3J, trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của Lp(£l) lp (1

nếu tồn tại

một ánh xạ A : X —>Y thỏa mãn
lim

F ( X + t h ) - F ( x ) _ A( h)

t —¥0

=0

với mỗi h G X , trong đó t —>0 trong K
Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại

X

và giá trị của

nó tại h được kí hiệu là A (h) = dF (x, h).
Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux của một ánh xạ từ X vào Y
tại

X

G X là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Chú ý rằng nếu F

là một ánh xạ tuyến tính thì dF (x, h) = F (h) hay dF (z) = F với
G X.
Nếu / là một hàm trên X , hay / : X —>K và / khả vi Gâteaux tại
G X, thì


= 0.


Khi đó A được gọi là đạo hàm Fréchet của / tại

X

và kí hiệu là D f ( x )

hay v /( x ) .
Khi Y = K thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi
một phần tử của

X*

G X* và biểu thức định nghĩa thường được viết là:

y

f { x + h) - f {x) - ( x \ h ) = 0

h —>0

11h 11

N hận x ét 1.17. Nếu đạo hàm Fréchet tồn tại thì nó là duy nhất
Đ ịnh lý 1.18. Nếu một ánh xạ có một đạo hàm Fréchet tại một điểm
thì nó có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.
Đ ịnh nghĩa 1.19 ([10], trang 2). Ta nói chuẩn ||.|| của X là khả vi

\\x\\

X Ỷ

0-

V í dụ 1.21. Cho / : R 2 -> R:
I ¿ fe
f ( x u x 2) = y ì+xị
[0

nếu (aq, X 2 )

Ỷ

(0; 0)

nếu ( x i , x 2) = (0, 0),
11


Hàm này khả vi Gâteaux (có đạo hàm bằng 0) nhưng không khả vi
Fréchet tại (0, 0)
Đ ịnh lý 1.22 (Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3). Cho (X, ll-ll) ỉà
không gian Banach với không gian đối ngẫu X*. Khi đó chuẩn ||.|| khả
vi Fréchet tại X G Sx khi và chỉ khi với mọi dẫy fn, gn £ S x *, fn{x) —> 1
và gn(x) —> 1 ta đều có \\fn — gnII —>0.
V í dụ 1.23. Chuẩn ||a;|| = X X i 1^)1 trong không gian Banach l1
không trơn Fréchet.
T hật vậy, với mọi X = (z(z)) G Sịi. Ta định nghĩa fn, gn G Si°o bởi:

đều có chuẩn tương đương trơn Fréchet.
Đ ịnh nghĩa 1.26 ([2j, Hàm số Lipschitz). Hàm số / được gọi là Lipschitz địa phương tại
ư của

X,

X

£ X hay Lipschitz ở gần

X,

nếu tồn tại lân cận

số k > 0 sao cho
Vu,v £ ư \f (u) — f (v)\ < k \\u — v\

( 1. 1)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y c X nếu / Lipschitz
địa phương tại mọi u G Y.
Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập n ếu Ị i r
đúng với mọi u,

V

GY

13




tương ứng là miền hữu hiệu và trên đồ thị của /. Hàm / được gọi là
chính thường (proper) nếu dom / Ỷ 0Tập mức compac của hàm / là tập mà L c ( /) = {x : f (x) < c} với
c là hằng số
Đ ịnh nghĩa 2.1. Một borno ( bornoỉogy) ¡3 trên X là một họ các tập
con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X thỏa mãn các tiên đề sau
1. X bằng hợp của tấ t cả các tập thuộc /3, tức là X = u A;
2. /3 kín đối với phép nhân với một vô hướng, tức là: nếu A £ (3, A € K
thì XA € ¡3]
3. /3 được định hướng tăng, tức là nếu Bi, B 2 G/3 thì Bị

u B 2 G/3.

V í dụ 2.2 (Một số borno cơ bản). Cho X là một không gian định
chuẩn thực.
i) Họ F gồm tấ t cả mọi tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của X
là một borno trên X và gọi là borno Fréchet.
ii) Họ W H gồm tấ t cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của
X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu.
iii) Họ H gồm tấ t cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X là
một borno trên X và gọi là borno Hadamard.
iv) Họ G gồm tấ t cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là
một borno trên X và gọi là borno Găteaux.
Từ nay về sau ta luôn giả thiết ¡3 là một borno trên không gian định
chuẩn thực X . Kí hiệu X p l ầ không gian đối ngẫu của X và được trang
15


bị tô pô hội tụ đều trên tập thuộc ß , tức là: dãy các phiếm hàm tuyến

n —ìoo

Hơn nữa ta có:
e) Nếu fi, /2 nửa liên tục dưới thì /1 + / 2 cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu

là một họ các hàm l.s.c. thì f ( x ) = supiei fi{x) cũng

I . S . C. .

16


g)

Nếu f l.s.c. và E c X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhất

trên E.
Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng,
nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường (proper)
Đ ịnh nghĩa 2.7 (Hàm ß —khả vi). Cho hàm / xác định trên X , ta nói
rằng / là ß-kha vi tại

X

và có ß- đạo hàm là v ßf (æ) nếu / (æ) hữu hạn

và :
t ~1 ( / (X + tu) - f (z) - t { v ßỉ ( z ) , u))
khi


Sau đây ta sẽ định nghĩa

ß —dưới đạo hàm nhớt và ß —trên đạo hàm nhớt.
Đ ịnh nghĩa 2.8 ([7J, Định nghĩa 2.1). Cho / : X —> M là hàm nửa
liên tục dưới và / (æ) < Too. Ta nói rằng / là ß —du0i khả vi nhớt và
X*

là một ß —dudi đạo hàm nhớt của / tại

X

Lipschitz địa phương, sao cho g là ß —trơn tại
đạt cực tiểu địa phương tại
hàm nhớt của / tại
tại

X

X.

nếu tồn tại một hàm g là
X,

v ßg (æ) =

X*

và / —g


tập tấ t cả các ß —trên đạo hàm nhớt của / tại
ß —tren vi phân nhớt của / tại

X

X.

Ta kí hiệu

là D ß f ( x ) và gọi là

X.

N hận x ét 2.9 ([7], Nhân xét 2.3 ). Bằng cách cộng thêm hằng số ta có
thể giả thiết rằng hàm ß —trơn g trong định nghĩa nêu trên luôn thỏa
mãn g(x) = f ( x ) .
N hận x ét 2.10 ([7], Nhân xét 2.4 ). Để ý rằng ta cũng có định nghĩa
ß —dưới vi phân theo giới hạn dßf (æ) của / tại
X*

X

như sau: Phần tử

e dßf (æ) nếu với bất kì £ > 0 và mọi V € ß, đều 3rj > 0 sao cho
t~l ( / {x + th) — f (æ)) - (x*, h) > - £

Ví € (0, tị) , h e V.

Ta có thể kiểm tra rằng Dß~ f (x) c dßf ( x ) . Ví dụ sau đây là một
K (n > 2) là liên tục, giả sử rằng / khả
vi Gâteaux nhưng không khả vi Fréchet (hay không khả vi Hadamard
yếu) tại 0 (chẳng hạn / : M2 —> M xác định bởi / (X, y ) = x y 3/ (X2 + y4)
khi (x,y) Ỷ (0,0) v à /( 0 ,0 ) = 0 tại (0,0)). Đặt g(h) := - \ f ( h ) ~ f ( 0 ) ~
VG/(0 )h |. Khi đó g là liên tục đều địa phương và
1. dGg (0) = {0} ;
2. DGg{ 0) = 0 .
Chứng minh. Ta có thể kiểm tra trực tiếp rằng V Gg (0) = 0 , do đó
dGg ( 0) = {0}. Do ta có DGg{ 0) c dGg ( 0) nên hoặc khẳng định (2)
18


đúng hoặc ngược lại DGg (0) = {0} . Nhưng trường hợp thứ hai không
thể xảy ra vì khi đó tồn tại hàm k là Lipschitz địa phương và khả vi
Gâteaux (do đó khả vi Fréchet) sao cho k (0) = g (0) = 0 ,V Gfc(0) =
V Gg (0) = 0 và k < g trong một lân cận của 0. Do đó,

1/(0 +

- / ( 0) - v G/ ( 0)ft| < k { h ) - k { 0) < \k{h)-k{0)\
11h 1
I ll'll
I ll'll

Có nghĩa rằng / khả vi Fréchet tại 0, mâu thuẫn.

□

Đ ịnh lý 2.12 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [8J, Định

liên tục dưới và E tập con đóng của X. Ta nói rằng ( / 1;..., f N ) là nửa
liên tục dưới đều trên E nếu
inf ¿ / „ ( x )
n=1
N

< lim inf { V ]

fn { x n)

■\ \ x n -

x m \\




^ ^ fn (^n) "t" t ^ ^
1
n,m = l

_n =

Giả thiết rằng (x ị ,...,Xịy) thỏa mẫn điều kiện:
lim I Mị — J 2 ^ ( Xn ) + t
\\Xn ~ Xl
i—
>0o
_n=1
n,m=1
Khi đó
(i) lim tịdiam ({ s ị,
i—
>0o

x^ } ) ]2 = 0;

(n) lim Mi = in f Y) f n ( z ) .
í ^ ° °

X &E

7 1= 1

Chứng minh. Đặt
dt := M t -


do đó tồn tại M := lim Mị và M < inf ^2 f n (4 - Hơn nữa
t-*0o

i ễ

K) +ịj2

M t/2
71=1

£

n=i

\\Xn - xl II2

71,771 = 1

= Y , f n ( x n‘ )+t 52 \\Xn - X' Ẩ - \ 51 K - < |f
71= 1

71, 771= 1

= M t - d t - -t

71,771 = 1

1 1 4 - 4 II2
71,771 = 1


71,771 =

N

4 - s*m.
'**

1

N

> tliminf J 2 £ ỉn ( 4 ) > [ĩlị
J2
X &E
*

-

—7oo

71=1

'

71=1

21

ỉn ( 4 .